P K M I
wytrzymałość zmęczeniowa
Wytrzymałość - obciążenie
" Wytrzymałość doraz
na  obciążenia
statyczne (było)
" Wytrzymałość zmęczeniowa  obciążenia
zmienne w czasie (np. wielokrotne zginanie
metalowego pręta)
Współczynniki bezpieczeństwa ?
naprężenia zmienne w czasie  przyczyna zmęczenia !
�
�
Naprężenia stałe w czasie
Naprężenia zmienne w czasie
t
t
Samolot 
obciążenia losowe
Zginanie zmęczeniowe szyny
Przykłady
" Obracający się zginany wał
" T
" f
" inne
naprężenia zmienne okresowe  np. sinusoidalnie zmienne
�
�max
�m
Okres T [s] lub
�min
częstotliwość f [Hz]
t
s� +�s�
max min
naprężenia średnie s� =�
m
2
s� -�s�
max min
s� =�
amplituda naprężeń
a
Przykład
2
1,2,3
naprężenia zmienne
�
�max
�m
�min
t
s�
min
R =�
współczynnik asymetrii cyklu
s�
max
s�
m
k� =�
współczynnik stałości obciążenia
s�
a
naprężenia zmienne
�
s�min
Asymetria cyklu: R =�
s�max
s�
�max
Współczynnik
m
k� =�
�m
stałości obciążenia
s�a
�min
t
Związki R - k� ?
jednostronny odzerowo odzerowo
naprężenia stałe wahadłowy
dodatni tętniący dodatni tętniący ujemny
R = 0
R = +1
R = -1
0 < R < 1 R = ?��
k� = -1
k� = +�� k� = 1 k� = 0
1 < k� < +��
wykres W�hlera  najczęściej cykle wahadłowe
�a
N
wykres W�hlera
I - wytrzymałość.
quasi-statyczna
�a
II - w. niskocyklowa
III - w. wysokocyklowa
IV - w. nieograniczona
1�107 - stal
1�108 - metale nieżelazne
I II III IV
104
1/4 107 N
103
wykres W�hlera
Zg0 - zginanie wahadłowe
Zgj - zginanie odzerowe
�a
Zs0 - skręcanie wahadłowe
Zsj - skręcanie odzerowe
Zrc - rozciąganie-ściskanie
wahadłowe
Zrj - rozciąganie odzerowo
tętniące
Zcj - ściskanie odzerowo
tętniące
Zg
Nieograniczona wytrzymałość zmęczeniowa
N0 Log N
103
Zg  granica zmęczenia
wykres W�hlera
Równanie nachylonej prostej:
s�a +� k logN =� Zg +� k log N0
�a
s� -� Zg
a
k =�
Współczynnik:
log N0 -� log N
�a
stal 45 (C45)  wahadłowe zginanie:
�a = 350 MPa N = 105
Zg = 280 MPa N0 = 1,2�106
k=65
Zg
N0 Log N
N
103
Zg  granica zmęczenia
granica zmęczenia  stale konstrukcyjne
zginanie
przybliżone wartości granic zmęczenia:
stale węglowe i stopowe obrabiane cieplnie:
Zg0=0,45�Rm Zgj=0,7�Rm
Zrc=0,33�Rm Zrj=(0,55�0,63)�Rm
Zs0=0,25�Rm Zsj =(0,45�0,5)� Rm
granica zmęczenia  ujęcie probabilistyczne (duże rozrzuty !)  zginane próbki stal C45
wykres zmęczeniowy Smitha  uwzględnia naprężenia średnie
 opisuje właściwości materiałowe - zmęczeniowe
�max
�min
Granice zmęczenia z
wykresów W�hlera
Zg
�max
�m
�min
�max
�m
�m
�m
Rm
�min
s�m =� const
wykres zmęczeniowy Smitha - uproszczony
�max
�min
Re
Zg
Zrj
Jakie dane ?
Zrc
Jakie N ?
Jakie R ?
�m
Zrj/2
wykres zmęczeniowy Haigha
�a
Re
Obciążenie odzerowo-tętniące
Zrc
s�
min
R =� =� const
Zrj/2
s�
max
�m
Zrj/2
Re Rm
Obciążenie
wahadłowe
Obciążenie
statyczne
Zadanie 1  wykres Smitha
Element ze stali 45 poddany jest czystemu zginaniu, przy czym
naprężenie średnie wynosi �m1=100 MPa lub �m2=350 MPa.
1. Narysować wykres Smitha wg stałych materiałowych
podanych w tabeli.
2. Obliczyć dopuszczalne amplitudy naprężenia �a1 oraz �a2
tak, aby element miał nieograniczoną wytrzymałość
zmęczeniową.
własności mechaniczne [MPa]
Rm Re Zg0 Zgj
650 430 280 470
Zadanie 1  wykres Smitha
Zg 500 Zgj
450
Re
400
�a2
�max
�min
350
Re
300
Zrj
Zg0
250
�a1
Zrc
200
150
Zrj/2
100 �m
50
�m2
�m1
Zgj/2
0
-50
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
-100
�m
-150
-200
własności mechaniczne [MPa]
-250
Rm Re Zg0 Zgj
-300 -Zg0
650 430 280 470
proces zniszczenia zmęczeniowego
�
brak wzrost pęknięcie
pęknięć pęknięcia krytyczne
Zg
log N
proces zniszczenia zmęczeniowego  przełom zmęczeniowy
gładkie
1 - ognisko
2 - strefa przyogniskowa
3 - uskoki pierwotne
4 - prążki zmęczeniowe
5 - uskoki wtórne
6 - strefa przejściowa
7 - strefa resztkowa
Właściwości zmęczeniowe
" Współczynnik kształtu ąk (wałek z karbem)
" Współczynnik działania karbu �k
(wrażliwość materiału na działanie karbu �k
- materiał kruchy i plastyczny)
" Współczynnik wielkości przedmiotu �
" Współczynnik obróbki powierzchni �p
"
współczynnik kształtu  karb  zmiana rozkładu naprężeń (spiętrzenie) ! Zmęczenie
Rowki, otwory, wycięcia, gwinty &
rozciąganie zginanie skręcanie
s�max t�max
s�max
a�k =� a�k =�
a�k =�
s�n t�n
s�n
współczynnik kształtu  zależny wyłącznie od geometrii karbu
v�
r� R
ć� ��
a�k =� f , ,v�
�� ��
r r
Ł� ł�
R
r
r�
współczynnik kształtu
skręcanie pręta okrągłego
z odsadzeniem
R = D/2 = 24 mm
r = d/2 = 20 mm
R/r = 24/20 = 1,2
� = 4 mm �/r = 4/20 = 0,2 ąk = 1,35
� = 2 mm �/r = 2/20 = 0,1 ąk = 1,76
� = 1 mm �/r = 1/20 = 0,05 ąk = 2,4
Zmniejszenie wpływu karbu (współczynnika kształtu)  odciążenie  przykłady
wgłębienie
wgłębienie
rowek odciążający rowek odciążający
zaokrąglenie
pierścień dystansowy
zaokrąglenie eliptyczne
rowek i zaokrąglenie
współczynnik działania karbu - model
Zgł - granica zmęczenia próbki gładkiej
Zgł
b�k =�
Zk - granica zmęczenia próbki z karbem
Zk
Z wykresów lub ze wzoru lub będzie podany:
b�k =�1+�h�k(�a�k -�1)� �k - współczynnik wrażliwości
materiału na działanie karbu
�k = 1 dla materiałów doskonale sprężystych
i doskonale kruchych
�k = 0 dla materiałów doskonale
współczynnik kształtu plastycznych
s�max
z wyjątkiem żeliwa szarego - �k bliskie zeru
a�k =�
s�n
współczynnik działania karbu
810
�k
�k
0,875
Rm
1,58
4
�
ąk
1,65
a�k =�1.65
Stal C45 o Rm = 810 MPa
element z karbem o �=4 mm
współczynnik działania karbu  obciążenie wahadłowym zginaniem wałka
Z
�k
ąk
380
1,54
1,65
�
4
Wpływ wielkości przekroju
- wytrzymałość zmęczeniowa próbki o dowolnej średnicy
Z
d
Z
- wytrzymałość zmęczeniowa próbki z tego samego
10
materiału o średnicy 7- 10 mm
Z
d
e� =�
Z
10
Wytrzymałość zmęczeniowa maleje wraz
ze wzrostem wymiarów elementów
współczynnik wielkości przedmiotu (stal konstrukcyjna) w odniesieniu do wałka Ś10 mm
1/�
Zd
e� =�
Z10
1,65
1,39
ąk
d
50
380
Z
współczynnik obróbki powierzchni
- wytrzymałość zmęczeniowa próbki polerowanej
Z
pol
Zobr - wytrzymałość zmęczeniowa próbki po (różnej)
Z
obróbce skrawaniem
pol
b� =�
p
Z
obr
" Obróbka skrawaniem
" do obliczeń wytrzymałościowych elementów
z karbami stosuje się zależność;
b� =� b�k +� b�p -�1
- współczynnik działania karbu
b�k
współczynnik obróbki powierzchni (odniesienie  próbka polerowana)
rozciąganie i zginanie
skręcanie
�p
Z
pol
�p
b� =�
p
Zobr
Karb obrączkowy
�p=�p =1, dla próbek
polerowanych
�p
Zgrubnie toczone
toczone
10
1,2
1,1
szlifowane
Ra
810
b� =� b�k +� b�p -�1
Ra  średnie arytmetyczne odchylenie profilu od linii średniej
Obróbki polepszające warstwę wierzchnią
" Kulowanie
" Wałeczkowanie i krążkowanie
" Młotkowanie
" Rozwalcowanie otworów i wciskanie stempli
" Przeprężanie
Obróbka cieplna / chemiczna
 Hartowanie
 Umacnianie laserowe
 Nawęglanie
 Azotowanie
 Cyjanowanie
 Wegloazotowanie
 itp,&
 Powlekanie galwaniczne zwiększa odporność na ścieranie ale
obniża granicę zmęczenia
współczynnik wpływu obróbki powierzchni
obróbka rodzaj próbki średnica [mm]
�obr
7-20 0,77-0,91
gładka
30-40 0,91-0,93
kulowanie
7-20 0,40-0,70
z karbem
30-40 0,57-0,90
8-15 0,80-0,87
gładka
30-40 0,87-0,90
azotowanie
8-15 0,33-0,52
z karbem
30-40 0,50-0,77
Z
b�obr =�
Zobr
b� =� b�k �� b�obr
Naprężenia nominalne i maksymalne
s�n �� b�
s�max =�
e�
współczynniki bezpieczeństwa  cykle symetryczne
� - współczynnik bezpieczeństwa
Z - granica zmęczenia
Z Z ��e�
� - współczynnik wielkości przedmiotu
d� =� =�
� - współczynnik działania karbu i powierzchni
s�a max b� ��s�a
�a - nominalna amplituda obciążenia
przyjmowana wartość współczynnika bezpieczeństwa �
� przypadek
wykorzystanie wyników badań eksperymentalnych
1,3�1,5
zwykła dokładność obliczeń, elementy niewielkie, dobra
1,5�1,7
technologia wykonania
zwykła dokładność obliczeń, elementy duże lub o średniej
1,7�2,0
technologii wykonania
obliczenia orientacyjne, ciężkie warunki pracy, elementy
2,0�3,0
odlewane
ZADANIE 1 - współczynniki bezpieczeństwa  cykle symetryczne
Wyznaczyć współczynnik bezpieczeństwa �1 dla pręta ze stali C35
(normalizowanej) o średnicy D = 20 mm obciążonego wahadłowo zmiennym
momentem zginającym o amplitudzie M =50 Nm. Własności stali: Zg0=255 MPa,
Rm = 550 MPa. Określić współczynnik bezpieczeństwa �2 jeśli na pręcie
wykonany zostanie karb obrączkowy o promieniu � = 2 mm, przy czym średnica
pręta ulega w tym miejscu zmniejszeniu do d = 15 mm. Wał został dokładnie
wytoczony, wartość Ra= 10źm.
Z ��e�
d� =�
b� ��s�
a
b� =� b�k +� b�p -�1
M M
s� =� =�
a
3
Wx p� ��d
32
Zgj
Re
Z = Zgo
Zgo
�a A
Z ��e�
d� =�
b� ��s�
a
Zrj/2
�m
b� =� b�k +� b�p -�1
M M
s� =� =�
a
3
Wx p� ��d
-Zrc
32
ZADANIE 1 - współczynniki bezpieczeństwa  cykle symetryczne
ZADANIE 1 - współczynniki bezpieczeństwa  cykle symetryczne
ZADANIE 1 - współczynniki bezpieczeństwa  cykle symetryczne
ZADANIE 1 - współczynniki bezpieczeństwa  cykle symetryczne
współczynniki bezpieczeństwa  cykle niesymetryczne  wsp. bezp. zmęczeniowy
�max
�min
Zrj
Re
L
Zrc
s�
min
R =�
s�
max
A
L0 Założenie: dla R = const
A0
A
L
Zrj/2
�m
A 
s� LL'
L 
maxL
d� =� =�
s� AA'
maxA
-Zrc
współczynniki bezpieczeństwa  cykle niesymetryczne  wsp. bezp. plastyczny
�max
�min
Zrj
P
Re
Zrc
B
P0
s�
min
R =�
B0
s�
max
P 
B 
P
Dla R = const
B
Zrj/2
�m
s� PP'
maxP
d�e =� =�
s� BB'
maxB
-Zrc
współczynniki bezpieczeństwa  cykle niesymetryczne  wsp. bezp. zmęczeniowy
�ma
x
Zrj
�min
Dla R = const
Re
L
Zrc
s� LL'
maxL
d� =� =�
A s� AA'
maxA
A
L
Zrj/2
�m
-Zrc
Zrc Zrc
d� =� =�
2�� Zrc -� Zrj b�
b�
s� +�s� ��y�s�
s� +�s�
a m
a m
e�
e� Zrj
współczynniki bezpieczeństwa  cykle niesymetryczne  wsp. bezp. zmęczeniowy
�ma
x
Zrj
�min
Dla �m = const
Re
S
Zrc
s� SS'
maxS
d� =� =�
C s� CC'
maxC
C =S
Zrj/2
�m
2�� Zrc -� Zrj
Zrc -�s�
-Zrc
m
Zrj
Zrc -�s� ��y�s�
m
d� =� =�
b� b�
s� s�
a a
e� e�
ZADANIE 2 - współczynniki bezpieczeństwa  cykle niesymetryczne
Wał obciążony jest momentem skręcającym M = Mm ą Ma = 5000ą2000 Nm.
W pewnym miejscu jego średnica zmienia się z D = 80 mm na d = 60 mm, przy
czym wykonane jest tam odsadzenie o promieniu � = 5 mm.
1. Narysować wykres Smitha jeżeli dane stali C55 z której wykonano wał są
następujące: Zs0 = 225 MPa; Zsj = 405 MPa; Res = 320 MPa; Rm = 700 MPa.
2. Określić dopuszczalną chropowatość wału jeżeli współczynnik
bezpieczeństwa ma być nie mniejszy niż � = 1,45. W przypadku
przeciążenia współczynnik asymetrii cyklu pozostaje stały.
M
t�a =�
3
p� ��d
16
ZADANIE 2 - współczynniki bezpieczeństwa  cykle niesymetryczne
ZADANIE 2 - współczynniki bezpieczeństwa  cykle niesymetryczne
ZADANIE 2 - współczynniki bezpieczeństwa  cykle niesymetryczne
ZADANIE 2 - współczynniki bezpieczeństwa  cykle niesymetryczne
hipoteza kumulacji uszkodzeń
�
N1
�1
N2
�2
N3
�3
N4
�4
�5
N5 = ��
n1 n2 n3 n4 n5
N
k
ni
hipoteza Palmgrena-Minera: D =� =� 1
��
Ni
i=�1
ZADANIE 3  kumulacja uszkodzeń
Okrągłe cięgno pokazane na rysunku obciążone jest naprężeniami blokami wg.
tabeli. Obliczyć maksymalną liczbę bloków do zniszczenia, jeżeli granica
zmęczenia wynosi Zg=280 MPa przy N0 = 1,2�106 cykli, zaś dla �x = 350 MPa
zmniejsza się do Nx = 105. Pozostałe stałe materiałowe: Re = 290 MPa,
Rm = 480 MPa.
5�
r� = 1 mm
5�
amplituda liczba
lp.
obciążenia [kN] cykli
1 10,5 10
2 7,5 300
3 8,5 80
4 9 50
�
�
d = 7 mm
D = 10 mm
ZADANIE 3  kumulacja uszkodzeń
ZADANIE 3  kumulacja uszkodzeń
ZADANIE 3  kumulacja uszkodzeń
wytrzymałość niskocyklowa
�ac - amplituda odkształcenia całkowitego
�apl - amplituda odkształcenia plastycznego
�as - amplituda odkształcenia sprężystego
wytrzymałość niskocyklowa
�apl
�a = const
N
�a
�apl = const
N
materiał wykazujący: umocnienie, osłabienie, stabilność