ĆWICZENIE NR 53
PRAWO OHMA DLA PR
DU PRZEMIENNEGO
Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy
wykorzystaniu prawa Ohma dla prÄ…du przemiennego; sprawdzenie prawa Ohma dla prÄ…du
przemiennego dla układu zło\
onego z opornika, cewki indukcyjnej i kondensatora.
I. Wstęp teoretyczny:
We wstępie przypomnimy podstawowe definicje i prawa dotyczące przepływu prądu w
obwodzie prądu przemiennego. Bardziej szczegółowy opis mo\
na znalez
ć w skrypcie 1.
I.A. Prąd przemienny. Jak wiemy prąd to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych np.
elektronów w metalu. Natę\
enie prądu jest wprost proporcjonalne do średniej prędkości
uporządkowanego ruchu ładunków. Je\
eli prędkość ta jest stała w czasie, to natę\
enie prÄ…du
jest stałe a gdy zmienna  zmienne. W szczególnym przypadku ładunki w swoim ruchu
uporządkowanym mogą poruszać się ruchem harmonicznie zmiennym  wtedy mamy prąd
zmienny. Taki prąd daje n.p. domowa sieć elektryczna.
I.B. Opór (oporność). Przyjmijmy, \
e mamy obwód
zasilacz
prądu przemiennego (rys. 1), w którym natę\
enie
prÄ…du I zmienia siÄ™ w czasie t harmonicznie zgodnie z
U R
zale\
nością
2Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
I = I0 sin(2Ä„ft)= I0 sin t ,
ìÅ‚ ÷Å‚ Rys.1. Obwód prÄ…du zmiennego
T
íÅ‚ Å‚Å‚
zawierajÄ…cy opornik o oporze R.
gdzie I0  amplituda, f  częstotliwość, a T- okres drgań natę\
enia prÄ…du. Argument funkcji
sinus nazywa siÄ™ fazÄ…. Jednemu okresowi zmian natÄ™\
enia prÄ…du odpowiada zmiana fazy o 2Ä„;
dotyczy to równie\
odpowiednich wielokrotności i części okresu. W obwodzie oprócz z
ródła
prÄ…du znajduje siÄ™ opornik o oporze R. Zgodnie z prawem Ohma
U
= R (1)
I
napięcie na oporniku jest proporcjonalne do natę\
enia prÄ…du:
U = ðRI = ðRI0 sin(2Ä„f t) =U0 sin(2Ä„f t),
gdzie U0 = RI0  amplituda napięcia.
1
Patrz skrypt: K.Sierański& & & .. Repetytorium. Wzory i prawa z objaśnieniami , rozdział 86.
~
I.C. Wartości skuteczne natę\
enia prądu i napięcia. W obwodzie prądu przemiennego z
opornikiem o oporze R, moc prÄ…du elektrycznego wydzielana w oporniku zmienia siÄ™ w czasie
jak
P (t)
2 2
P(t) = UI = RI = RI0 sin2(2Ä„ f t)
Pmax
Pmax
Rys.2. Zale\
ność mocy przemiennego prądu elektrycznego
2
od czasu  z własności funkcji sinus kwadrat pola
zaciemnione są sobie równe.
t
T
2
(patrz tak\
e rys.2). Moc ta oscyluje w czasie od zera do wartości maksymalnej Pmax = RI0 z
okresem T/2 (okres drgań mocy wynosi T/2) tak jak funkcja sinus kwadrat ( y = Asin2 x ). W
ka\
dym przedziale czasowym pole pod krzywą P(t), zakreślone liniami w prawo, jest co do
wartości równe pracy prądu W, a tym samym energii cieplnej Q wydzielonej w oporniku, w
tym przedziale. Z własności funkcji sinus kwadrat wynika, \
e pole pod krzywÄ… P(t), w
przedziale równym połowie okresu jest równe polu prostokąta o długości równej połowie
okresu T/2 i wysokości równej połowie amplitudy Pmax/2 (patrz tak\
e rys.2).
Pmax T
W = Q =
2 2
Dzieląc pracę wykonaną w skończonym czasie przez ten czas otrzymujemy moc średnią Pśr.
Stąd dla czasu T/2 wartość średnia mocy prądu wynosi
2
W Pmax RI0
Psr = = = .
T / 2 2 2
Powy\
szy wzór jest równie\
słuszny dla odpowiedniej wielokrotności połowy okresu. Dla
przedziału czasu t1, który nie jest wielokrotnością połowy okresu wzór powy\
szy jest słuszny
jedynie w przybli\
eniu przy czym przybli\
enie to jest tym lepsze im większy jest stosunek t1/T.
Innymi słowy dla czasu t1>>T moc prądu jest równa w przybli\
eniu mocy średniej
2
1 1 1 U0
2
Psr = I0 R = I0U0 = .
2 2 2 R
Powy\
szy wzór na moc średnią jest identyczny jak wzór na moc prądu stałego o natę\
eniu
I0 U0
Isk = płynącego pod napięciem Usk = . Wielkości Isk i Usk to tzw. skuteczne
2 2
wartości natę\
enia prądu i napięcia. Innymi słowy wprowadzając skuteczne wartości
natÄ™\
enia prądu i napięcia otrzymujemy wzory na moc średnią prądu przemiennego takie jak
na moc prądu stałego o wartości Isk płynącego pod napięciem Usk
2
Usk
2
Psr = IskR = IskUsk = .
R
Uwaga! Większość mierników natę\
enia prądu i napięcia zmiennego mierzy odpowiednie
wartości skuteczne.
I.D. Opór (oporność reaktancja) pojemnościowy. Je\
eli w obwodzie prądu stałego
znajdzie się kondensator (rys. 3.), to prąd stały nie popłynie ze względu na przerwę w
obwodzie. Prąd zmienny będzie płynął, gdy\
nośniki prądu płyną raz w jedną a raz w drugą
stronę ładując naprzemiennie okładki kondensatora.
I,U
zasilacz
I U
I0
C
U
t
U0 T
4
Rys.3. Obwód prądu zmiennego zawierający kondensator o pojemności C
oraz wykres zmian w czasie natÄ™\
enia prądu i napięcia.
Na rys. 3. przedstawiony jest te\
wykres zmian w czasie natÄ™\
enia prądu i napięcia. Na
wykresie maksima natÄ™\
enia prądu pojawiają się wcześniej ni\
maksima napięcia o ź okresu
t.j. napięcie na kondensatorze jest opóz
nione w fazie o Ą/2 względem natę\
enia prÄ…du. W
momencie, gdy kondensator jest maksymalnie naładowany (maksima zale\
ności U(t)) prąd
nie płynie a zmienia kierunek na przeciwny. Stosunek maksymalnych wartości napięcia do
natÄ™\
enia prÄ…du (a tak\
e stosunek wartości skutecznych tych wielkości) nazywa się oporem
pojemnościowym, który dla kondensatora o pojemności C wynosi:
1
XC = (2)
2Ä„ f C
I.E. Opór (oporność reaktancja) indukcyjny. W układzie prądu zmiennego (rys. 4.), do
którego włączono cewkę indukcyjną o indukcyjności L powstaje siła elektromotoryczna
samoindukcji. Napięcie na cewce jest co do wartości równe tej sile elektromotorycznej lecz
ma przeciwny znak.
I,U
U0
zasilacz
U
I0
I
L
U
t
T
4
Rys.4. Obwód prądu zmiennego zawierający cewkę indukcyjną o
indukcyjności L oraz wykres zmian w czasie natę\
enia prądu i napięcia.
~
~
Na wykresie zale\
ności napięcia i natę\
enia prÄ…du od czasu, maksima natÄ™\
enia prÄ…du
pojawiają się póz
niej ni\
maksima napięcia o ź okresu t.j. natę\
enie prądu płynącego przez
cewkę jest, opóz
nione w fazie o Ą/2 względem napięcia na cewce. Stosunek maksymalnych
wartości napięcia do natę\
enia prÄ…du (a tak\
e stosunek wartości skutecznych tych wielkości)
nazywa się oporem indukcyjnym, który dla cewki o indukcyjności L wynosi
XL = 2Ä„f L. (3)
I.F. Prawo Ohma dla prądu przemiennego. Dla prądu przemiennego, gdy w obwód (rys.
5.) zawiera szeregowo połączone: opór R, opór pojemnościowy XC i indukcyjny XL (bądz
jeden
z tych dwóch oporów), tak jak na ze względu na przesunięcie fazowe, natę\
enie prÄ…du nie jest
proporcjonalne do napięcia w dowolnej chwili czasu  czyli prawo Ohma w nie jest spełnione.
R
zasilacz
U
C
Rys.5. Obwód prądu przemiennego zawierający :
- opornik o oporze R,
- kondensator o oporze pojemnościowym C,
L
- cewkÄ™ indukcyjnÄ… o oporze indukcyjnym L.
Mo\
na natomiast pokazać1, \
e spełnione jest tzw.  prawo Ohma dla prądu przemiennego
odnoszące się do amplitud lub wartości skutecznych w postaci
U0 = ZI0 lub Usk = Z Isk , (4)
gdzie Z nazywa się zawadą, która wynosi
Z = R2 + (X - XC )2 . (5)
L
W przypadku, gdy w obwodzie brak pojemności w równaniu (5) przyjmujemy XC =0, a gdy
brak indukcyjności wtedy XL=0.
II. Układy pomiarowe i metody pomiaru.
II.A. Układ do wyznaczenia pojemności kondensatora.
Stosujemy układ RC jak na rys.6. W układ włączono dodatkowo opornicę dekadową do
ustalenia wartości oporu R natomiast jako zasilacz napięcia przemiennego stosuje się
generator drgań elektrycznych o regulowanym napięciu wyjściowym i częstotliwości f lub
układ autotransformator - transformator separujący o częstotliwości f=50Hz. Następnie
wykonujemy pomiary zale\
ności napięcia od natę\
enia prÄ…du Usk = f(Isk)  dla kilku do
kilkunastu punktów pomiarowych.
~
zasilacz
mA
V
C
R
Rys.6. Układ pomiarowy do wyznaczenia
pojemności w obwodzie RC .
II.B. Układ do wyznaczenia indukcyjności cewki.
Stosujemy układ RL jak na rys.7. Dalej postępujemy jak w punkcie II.A. t.j. wykonujemy
pomiary zale\
ności napięcia od natę\
enia prÄ…du Usk = f(Isk) dla od kilku do kilkunastu
punktów pomiarowych.
zasilacz
mA
L
V
Rys.7. Układ pomiarowy do wyznaczenia
R
indukcyjności w obwodzie RL .
II.C. Układ do wyznaczenia zawady obwodu z cewką i kondensatorem.
Wykorzystując kondensator i cewkę, których wartości odpowiednio pojemności i inukcyjności
zostały wyznaczone w punktach II.A. i II.B. budujemy układ RLC jak na rys.8. Dalej
postępujemy tak jak w II.A. i II. B. t.j. wykonujemy pomiary zale\
ności napięcia od
natÄ™\
enia prądu Usk = f(Isk) dla od kilku do kilkunastu punktów pomiarowych.
zasilacz
mA
L
V
C
Rys.8. Układ pomiarowy do
R
wyznaczenia zawady obwodu RLC
III. Opracowanie wyników
III.A. Wyznaczenie pojemności kondensatora
ZmierzonÄ… zale\
ność napięcia od natę\
enia prÄ…du Usk = f(Isk) przedstawiamy na wykresie.
Zale\
ność ta powinna być liniowa. Metodą regresji mo\
emy wyznaczyć zawadę ZC , dla tego
układu, jako współczynnik kierunkowy prostej (patrz przykład na rys.9).
:
:
:
Usk
Usk = ZC Isk
+
+
+
+
Rys.9. Przykład zale\
ności napięcia
+
od natÄ™\
enia prÄ…du
+
+
Isk
Następnie, korzystając ze wzorów (2) i (5), wyznaczamy pojemność kondensatora jako
1
C = , (6)
2
2Ä„ f ZC - R2
a następnie, metodą ró\
niczki zupełnej, wykorzystując niepewność oporu "R opornicy
dekadowej oraz niepewność zawady "ZC, otrzymaną metodą regresji liniowej, wyznaczamy
niepewność pojemności kondenatora "C ze wzoru
ZC"ZC + R"R
"C = C . (7)
2
ZC - R2
Poniewa\
dokładność określenia częstotliwości jest du\
o większa od dokładności pomiaru
wartości R oraz wyznaczenia ZC przy wyprowadzaniu zale\
ności (8) i dalszch przyjęto "f=0.
III.B. Wyznaczenie indukcyjności cewki
Postępujemy jak w punkcie III.A. Najpierw zmierzoną zale\
ność napięcia od natę\
enia prÄ…du
Usk = f(Isk) przedstawiamy na wykresie. Zgodnie z modelem zjawiska oczekujemy, \
e
zale\
ność ta powinna zale\
nością być liniową.
Usk = ZL Å" Isk
MetodÄ… regresji mo\
emy wyznaczyć zawadę ZL oraz jej niepewność "ZL. Dla tego układu, ZL
jest współczynnikiem kierunkowym prostej (patrz przykład na rys.10).
U s k = Z C I s k
Usk
Usk = ZL Å" Isk
+
+
+
+
Rys.10. Przykład zale\
ności napięcia w
+
od natÄ™\
enia prÄ…du
+
+
Isk
1
2
L = ZL - (R + RL )2 (8)
2Ä„ f
(we wzorze na L uwzględniono opór drutu RL , z którego wykonano cewkę). Metodą ró\
niczki
zupełnej przy wykorzystaniu niepwności "ZL , "R i "RL, wyznaczamy niepewność indukcyjności
ZL"ZL + R"R + RL"RL
"L = L . (9)
2
ZL - (R + RL )2
III.C. Sprawdzenie słuszności prawa Ohma dla prądu przemiennego.
ZawadÄ™ (oznaczmy jÄ… jako Z1) wyznaczamy, metodÄ… regresji liniowej, z liniowej zale\
ności
napięcia od natę\
enia prądu, Usk = f(Isk) jako współczynnik kierunkowy prostej, a niepewność
zawady DðZ1 jako niepewność współczynnika kierunkowego. Z drugiej strony, zgodnie z (5)
zawada (oznaczmy ją jako Z2) powinna być równa
1
Z2 = (R + RL)2 + (2Ä„ fL - )2 . (10)
2Ä„ fC
a jej niepewność "Z2 równa niepewności otrzymanej metodą ró\
niczki zupełnej
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 ëÅ‚ "C öÅ‚
"Z2 = + RL )("R + "RL ) + 2Ä„ fL - 2Ä„ f "L + (11)
ìÅ‚
Z2 ïÅ‚(R 2Ä„ fC 2Ä„ fC2 ÷łśł
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Je\
eli prawo Ohma dla prądu przemiennego jest słuszne to Z1 i Z2 z dokładnością do błędów
ich wyznaczenia powinny być sobie równe.
Uwaga! We wzorach (7), (9) i (11) na obliczanie niepewności przyjęto, \
e niepewność
częstotlowości "f jest zaniedbywalnie mała.
Pytania kontrolne
1. Jaki prąd nazywamy prądem przemiennym? Opisz równaniem i przedstaw na wykresie.
2. Jaka moc prÄ…du elektrycznego wydzielana jest w oporniku w obwodzie prÄ…du
przemiennego? Opisz równaniem i przedstaw na wykresie. Zdefiniuj i przedstaw na wykresie
moc średnią?
3. Podaj definicję wartości skutecznych natę\
enia prądu i napięcia.
4. Jak zmienia się w czasie napięcie na kondensatorze i prąd ładujący lub rozładowujący
kondensator w szeregowym obwodzie RLC? Zdefiniuj opór pojemnościowy.
5. Jak zmienia się w czasie napięcie na cewce i prąd płynący przez cewkę w szeregowym
obwodzie RLC? Zdefiniuj opór indukcyjny.
6. Napisać prawo Ohma dla prądu przemiennego dla szeregowego obwodu RLC. Napisać wzór
na zawadÄ™; rozwa\
yć przypadki, gdy w obwodzie brak jest jednego z elementów RLC.
7. Przedstaw układy do wyznaczenia:
- pojemności kondensatora w układzie RC,
- indukcyjności cewki w układzie RL.
8. Jak doświadczalnie sprawdzamy słuszność prawa Ohma dla prądu przemiennego dla
szeregowego obwodu RLC