604495124

Przykład 2

Pomierzyliśmy długość L = 200 m ze średnim błędem m = ±2 cm. Oblicz błąd względny tej długości.

m

in = —

L

_{= ±}uu₌^— _{= ±}-_{= ±}o,0001

^w 200m    20000cm    10000

^mw =100ppm _{(partspermillion)}

Własności średniej arytmetycznej i błędów pozornych

Obserwacje Li, L2, ...L_n otrzymane w wyniku pomiarów tej samej wielkości, stanowiącej niewiadomą, nazywamy spostrzeżeniami bezpośrednimi. Niezależnie od zwiększania liczby pomiarów „n”, nieznana wartość prawidłowa „X” tej wielkości nie daje się określić. Poszukujemy, zatem jej najbardziej prawdopodobną wartość „x” spełniającą związek: x = Lj + Vj

Uwzględniając zasadę, że [w] = min., otrzymujemy:

[w] = (x-Li)²+(x-L2>²+. . ,+(x-L„)² = n x²-2x [L]+[LL]

Otrzymana funkcja przedstawia funkcję typu y = ax²+bx+c, minimum tej funkcji występuje

dla wartości = ——. Ponieważ a = n, b - ~1 [L], więc x = — .

2 a    n

Najbardziej prawdopodobną wartością dla spostrzeżeń Li, L2, ...L„ jest średnia arytmetyczna, czyli suma spostrzeżeń podzielona przez liczbę pomiarów. Dla uniknięcia dużych liczb średnią arytmetyczną możemy obliczać za pomocą wartości przybliżonej „x₀”

[AL]

n

x = x₀ +

Wielkość „x₀” może mieć dowolną wartość, jednak dla wygody obliczeń najprościej jest przyjąć jako „x₀” najmniejsze ze spostrzeżeń. Wielkości AL stanowią różnicę pomiędzy kolejnymi spostrzeżeniami a wartością „x₀”

ALj = Lj - x₀

Po wyznaczeniu średniej arytmetycznej obliczamy poprawki poszczególnych spostrzeżeń Vj = x - Lj

Ponieważ suma poprawek spełnia zależność [v] = nx - [L], to podstawiając do równania

wartość x = —, otrzymamy [v] = 0. n

Oceny dokładności pomiaru i wielkości wyrównanych dokonujemy przez obliczenie średniego błędu pojedynczego spostrzeżenia

m

. V n-1

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego"

11