6518466063

15

Załącznik do Uchwały RW MIM Nr 2-24 z dnia 1 marca 2007 r.

A Dodatki

A.l Zmienione programy przedmiotów na matematyce A.1.1 Przedmioty fundamentalne drugiego rzutu Algebra II

Wykład stanowi uzupełnienie przedmiotu Algebra I. Po krótkim wprowadzeniu do podstawowych pojęć teorii kategorii i przedstawieniu zagadnienia rozwiązalności grup następuje część główna wykładu, dotycząca rozszerzeń ciał. W tej części dowodzi się twierdzenie o istnieniu algebraicznego domknięcia, twierdzenie Galois oraz, jako zastosowanie, zasadnicze twierdzenie algebry. Końcowe wykłady poświęcone są teorii modułów nad pierścieniami przemiennymi, jako zastosowanie dowodzi się twierdzenie Jordana z algebry liniowej.

Przykładowy plan wykładu

1.    Kategorie i funktory, izomorfizmy. Przykłady: Vect, Top, Gr, Ab, jednoobiektowa, snopy itd. Produkt i suma prosta w kategorii, produkt i suma prosta w kategorii grup i grup abelowych. (1-2 wykłady)

2.    Komutator elementów, komutant grupy, abelianizacja. Grupy rozwiązalne, grupy proste, rozwiązalność S„, n < 5, prostota A_n, n > 4. Produkt półprosty. Ciąg dokładny, rozszczepialność. Przykłady. (2-3 wykłady)

3.    Rozszerzenia ciał, grupa automorfizmow rozszerzenia. Rozszerzenia algebraiczne, rozszerzenie o pierwiastek wielomianu, ciało rozkładu wielomianu, rozszerzenia normalne, własność uniwersalna rozszerzenia normalnego. Algebraiczne domknięcie ciała - konstrukcja i jednoznaczność. (2 wykłady)

4.    Pierwiastki z jedności. Istnienie i jednoznaczność ciała o p" elementach.

5.    Teoria Galois w przypadku charakterystyki zero i rozszerzeń skończonych. Wielomian nierozkładalny w charakterystyce 0 nie ma pierwiastków wielokrotnych. Twierdzenie Abela. Automorfizmy rozszerzeń, rozszerzenia Galois. Zasadnicze twierdzenie teorii Galois. (2-3 wykłady)

6.    Zastosowania teorii Galois: zasadnicze twierdzenie algebry, rozszerzenia rozwiązalne, rozwiązywanie równań przez pierwiastniki. (1-2 wykłady)

7.    Zastosowanie teorii Galois: konstrukcje geometryczne.

8.    Moduły, elementy torsyjne, suma prosta, moduły skończenie generowane, moduły wolne. Homomorfizmy modułów, jądro, moduł ilorazowy, ciąg dokładny modułów, rozszczepialnosc. Klasyfikacja skończenie generowanych modułów nad DIG. wnioski: klasyfikacja skończenie generowanych grup abelowych oraz tw. Jordana z algebry liniowej o postaci kanonicznej macierzy. (2-3 wykłady)

9.    Iloczyny tensorowe modułów, potęga zewnętrzna modułu, algebra zewnętrzna.

Uwagi: Tematy 4, 7 i 9 mogą być realizowane fakultatywnie lub wyłącznie na ćwiczeniach. Dla dowodu zasadniczego twierdzenia algebry jako wniosku z twierdzenia Galois potrzebne jest twierdzenie Sylowa.

Literatura

1.    A. Białynicki-Birula, Zarys algebry.

2.    J. Browkin, Teoria ciał.

3.    I. Kostrykin, Algebra.

4.    I. Kostrykin, Zadania z Algebry.

5.    M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry.

Analiza funkcjonalna I

1.    Definicja przestrzeni Banacha, przestrzenie ciągowe, przestrzenie C(K), przestrzenie funkcji całkowalnych L^p - zupełność, przypomnienie nierówności Hóldera i Minkowskiego. Pojęcie funkcjonału liniowego i jego normy. Przykłady. (2-3 wykłady)

2.    Przestrzeń Hilberta, układy i bazy ortonormalne, twierdzenie o rzucie ortogonalnym. Przykłady baz ortonormalnych: układ trygonometryczny, układ Haara, falki. Postać funkcjonału liniowego na przestrzeni Hilberta. (2-3 wykłady)