6518466067

18

Załącznik do Uchwały RW MIM Nr 2-24 z dnia 1 marca 2007 r.

4.    D. K. Arrowsmith, C. M. Place, Theory of bifurcations of dynamical systems on a piane, Chapman and Hall, 1982.

5.    W. Szlenk, Wstęp do teorii gładkich układów dynamicznych, PWN, Warszawa, 1982.

6.    R. L. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, Cummings, 1986.

7.    J. Guckenheimer, P. Holmes, Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields, Springer-Verlag, 1983.

8.    C. Robinson, Dynamical systems. Stability, symbolic dynamics and chaos, CRC Press, 1995.

Matematyka dyskretna

1.    Podstawowe metody zliczania (ok. 2 wykładów). Reguła dodawania i reguła mnożenia. Współczynniki dwumianowe i ich interpretacje kombinatoryczne. Dowody kombinatoryczne. Zliczanie rozmieszczeń.

2.    Zasada włączeń i wyłączeń i jej zastosowania (ok. 2 wykładów). Zliczanie nieporządków (le probleme des rencontres). Zliczanie funkcji z jednego zbioru skończonego na drugi; liczby Stirlinga I i II rodzaju, liczby Bella. Zadanie Lucasa o parach małżeńskich przy okrągłym stole (le probleme des menages). Wzór na liczbę elementów należących do dokładnie k zbiorów spośród danych n zbiorów. Zliczanie permutacji mających dokładnie k punktów stałych; średnia liczba punktów stałych permutacji.

3.    Relacje rekurencyjne (ok. 2 wykładów). Rozwiązywanie równań rekurencyjnych. Metoda funkcji tworzących. Liczby Catalana. Wykładnicza funkcja tworząca dla liczb Bella.

4.    Zliczanie orbit grupy (1 wykład). Lemat Burnside'a. Zliczanie kolorowań (np. liczba geometrycznie odróżnialnych kolorowań wierzchołków sześcianu dwoma kolorami).

5.    Podstawowe pojęcia teorii grafów (1 wykład). Sposoby reprezentacji grafów. Rodzaje grafów. Drogi i cykle. Sposoby umieszczania grafów (twierdzenie o umieszczaniu w R³, grafy planarne).

6.    Cykle Eulera i Hamiltona (1 wykład). Twierdzenie Eulera o istnieniu cyklu Eulera, algorytm Fleury’ego. Zastosowania cykli Eulera (np. do istnienia ciągów de Bruijna). Twierdzenia Diraca i Orego o cyklach Hamiltona.

7.    Drzewa. Podstawowe własności drzew. Twierdzenie Cayleya o zliczaniu drzew oznakowanych.

8.    Grafy planarne (ok. 2 wykładów). Wzór Eulera. Przykłady grafów nieplanarnych (K$ i A’3,3). Informacja o twierdzeniu Kuratowskiego. Kolorowanie grafów planarnych, twierdzenie o 5 barwach, informacja o twierdzeniu o 4 barwach.

9.    Skojarzenia w grafach dwudzielnych (1 wykład). Twierdzenie Halla. Zastosowania twierdzenia Halla (kwadraty łacińskie, twierdzenie Birkhoffa o macierzach bistochastycznych).

10. 1-2 wykłady poświęcone innym działom kombinatoryki i teorii grafów, do uznania wykładowcy. Mogą to być na przykład: Konfiguracje kombinatoryczne (twierdzenie o istnieniu systemów trójek Steinera); Kwadraty Rooma i turnieje brydżowe; Twierdzenia minimaksowe (np. twierdzenie Dilwortha); Własności podziałowe (tw. Ramseya, tw. van der Waerdena); Inne metody zliczania (np. wielomiany szachowe, teoria Polya); Kolorowanie grafów (tw. Vizinga).

Literatura

1.    Victor Bryant, Aspekty kombinatoryki, WNT Warszawa 1997.

2.    Witold Lipski, Wiktor Marek, Analiza kombinatoryczna, PWN Warszawa 1986.

3.    Robin J. Wilson, Wprowadzenie do teorii grafów, wyd. 2, PWN Warszawa 2000.

4.    Martin Aigner, Gunter M. Ziegler, Dowody z Księgi, PWN Warszawa 2002.

Rachunek Prawdopodobieństwa II

Zbieżność rozkładów prawdopodobieństwa — własności, charakteryzacja, przykłady. Związek ze zbieżnością dystrybuant. Ciasność rodziny rozkładów. Twierdzenie Prochorowa. (2 wykłady)

Funkcje charakterystyczne — definicja i własności. Funkcje charakterystyczne podstawowych rozkładów. Zastosowanie do obliczania momentów. Twierdzenie o jednoznaczności. Zastosowanie do znajdowania rozkładów sum niezależnych zmiennych losowych. (2 wykłady)

Twierdzenie Levy’ego-Cramera. Centralne twierdzenie graniczne— przypadek jednakowych rozkładów; twierdzenie Linde-berga-Levy’ego. (2 wykłady)

Warunkowa wartość oczekiwana — definicja, istnienie i jednoznaczność, własności. Warunkowa wartość oczekiwana jako rzut w L?. (2 wykłady)