6518466064

16

Załącznik do Uchwały RW MIM Nr 2-24 z dnia 1 marca 2007 r.

3.    Operatory liniowe, norma operatora, widmo operatora. Przykłady ważnych operatorów: transformata Fouriera i twierdzenie Plancherela. (1-3 wykłady)

4.    Operatory sprzężone na przestrzeni Hilberta. Operatory unitarne. Diagonalizacja operatora zwartego, samosprzęż-onego. (2-3 wykłady)

5.    Twierdzenie Banacha-Steinhausa i jego zastosowania, twierdzenie Hahna-Banacha i twierdzenia o oddzielaniu, tw. o domkniętym wykresie. (2-3 wykłady)

6.    Ponadto, mogą zostać omówione następujące tematy: Przestrzenie sprzężone do przestrzeni Banacha, w szczególności przestrzenie sprzężone do przestrzeni C(0,1) i przestrzeni funkcji całkowalnych L^p. Operatory sprzężone na przestrzeniach Banacha. Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym.

Funkcje analityczne

Przypomnienie i rozszerzenie wiadomości z I roku. Moduł, argument i postać trygonometryczna liczby zespolonej. Potęga o wykładniku całkowitym i pierwiastek liczby zespolonej. Wzór de Moivre'a. Rozszerzony zbiór liczb zespolonych i sfera Riemanna. (1 wykład)

Pochodna w dziedzinie zespolonej. Funkcje holomorficzne. Równania Cauchy'ego-Riemanna. Odwzorowania konforemne. (1 wykład)

Ciągi i szeregi funkcyjne zespolone. Szeregi potęgowe zespolone. Wzór na promień zbieżności. Twierdzenie Abela o ciągłości na brzegu koła zbieżności. Różniczkowanie wyraz po wyrazie. Podstawowe funkcje elementarne w dziedzinie zespolonej: funkcja wykładnicza, funkcje trygonometryczne, logarytm, potęga zespolona, gałęzie. (2 wykłady)

Funkcje wymierne i grupa homografii. (1 wykład)

Całka funkcji wzdłuż drogi. Niezależność całki od drogi całkowania a istnienie funkcji pierwotnej. Twierdzenie Cauchy’ego. Wzór całkowy Cauchy’ego. Rozwijanie funkcji holomorficznych w szereg potęgowy. (1 wykład)

Zera funkcji holomorficznych, zasada identyczności. Twierdzenie Weierstrassa o ciągach funkcji holomorficznych. Nierówność Cauchy’ego. Twierdzenie Liouville’a. Zasadnicze twierdzenie algebry. Twierdzenie Morery. Zasada symetrii Schwarza. (1 wykład)

Całki po krzywych homotopijnych. Twierdzenie Cauchy’ego. Istnienie funkcji pierwotnej w obszarze jednospójnym. Gałąź logarytmu. Całki krzywoliniowe. Funkcje harmoniczne i ich związek z funkcjami holomorficznymi. Istnienie funkcji harmonicznej sprzężonej w obszarze jednospójnym. (1-2 wykłady)

Rozwijanie funkcji holomorficznych w szereg Laurenta. Twierdzenie Riemanna o osobliwości pozornej. Klasyfikacja izolowanych punktów osobliwych. Twierdzenie Casoratiego-Weierstrassa. Funkcje meromorficzne. (1 wykład)

Twierdzenie o residuach i jego zastosowania. (1 wykład)

Indeks punktu względem krzywej. Zasada argumentu. Twierdzenie Rouche'go. Twierdzenie Hurwitza. (1 wykład) Twierdzenie o krotnościach i o odwzorowaniu otwartym. Zasada maksimum. Lemat Schwarza. Twierdzenie Riemanna (bez dowodu). (1 wykład)

Dodatkowo do wyboru: Model Poincarego geometrii Łobaczewskiego. Globalne twierdzenie Cauchy’ego dla całek po cyklach. Residuum w nieskończoności. Automorfizmy koła jednostkowego i sfery Riemanna. Twierdzenie Rungego dla obszarów jednospójnych. Twierdzenie Montela dla rodzin ograniczonych. Dowód twierdzenia Riemanna. Charakteryzacja obszarów jednospójnych przez różne ich własności (np. spójność uzupełnienia). Funkcja modularna i małe twierdzenie Picarda. Zagadnienie Dirichleta. Funkcja zeta Riemanna.

Literatura

1.    J. Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej. PWN, Warszawa 2000.

2.    J. Conway, Functions of One Complex Variable, Springer-Verlag, 1978.

3.    J. Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych. PWN, Warszawa 1965.

4.    F. Leja, Funkcje zespolone. PWN, Warszawa 1979.

5.    W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona. PWN, Warszawa 1998.

6.    S. Saks, A. Zygmund, Funkcje analityczne. Monografie Matematyczne t. 28, PWN, Warszawa 1952 (w postaci plików pdf: http: //matwbn. icm. edu. pl/ksspis. php?wyd=10)

7.    B. W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej. PWN, Warszawa 1974.