672581040

Wybierając losowo osobnika z tej populacji, oznaczmy przez X jego wzrost, przez Y jego ciężar. Wtedy łączna funkcja prawdopodobieństwa P(x,Y)(h j)i dla i = 1,2,3 oraz j = 0,1,2,3 (poza tym zero) zawarta jest w tabelce

2    3

0.06 O 0.16 0.08 0.1 0.12

P(x,Y)(iJ)    O    1

1    0.08    0.08

2    0.08    0.16

3    O    0.08

Oczywiście Ei,jP(x,Y)(}J) = 1-

W przypadku zmiennych losowych typu ciągłego definiujemy (łączną) gęstość:

Definicja 0.4.6 Para (wektor) zmiennych losowych (X, Y) ma gęstość f(x,y) jeśli F((X,F) e A) = J Jj(x,y)dxdy

dla f : R² —* R², takiej, że f > 0 oraz f J_R2 f(x,y)dxdy = 1, gdzie A jest obszarem regularnym.

W szczególności, gdy A = [x,x + Aa:] x [y + Ay], dla małych dodatnich wartości Ax, Ay,wtedy

/x+Ax ry+Ay

J f(u, v)dudv « f(x, y)AxAy

Przykład 0.4.15 Niech f{x,y) = e~^vl^_{x y}-_);Q<x<vy(x, y). Wtedy f f f(x,y)dxdy = 1.

Przykład 0.4.16 (Rozkład jednostajny na kole). Wybieramy losowo punkt na kole jednostkowym K = {(a:,y) : x² +y² < 1}. Niech (X, Y) oznacza wektor jego współrzędnych. Wtedy gęstość tego wektora

f(x,y) = (1/tt)I _K(x,y) dla wszystkich x,y € R.

Dystrybuanta dwuwymiarowa

Definicja 0.4.7 Niech (X, Y) będzie wektorem zmiennych losowych. Dystrybuantą (X, Y) nazywamy funkcję F : R² —> [0,1], określoną wzorem

F(x,y) = P(X<x,Y<y)

Uwaga 0.4.6 Jeśli (X, Y) ma gęstość f(x, y), to

F(x,y) = J j f(u,v)dydx

Dla dowolnych aj < oraz a? < ł>2, związek

^(X,r)((®i^i] ^x («2,Ó2]) = P(ai < X < &i,a2 < Y < 62)

określa prawdopodobieństwo P(x,Y) ^na płaszczyźnie R² (i o—ciele zbiorów borelowskich). Przestrzeń probabilistyczną Q(x,y) = (R², P(x,Y)) nazywamy kanoniczną przestrzenią probabilistyczną wektora (X, y). Szansę uzyskania wartości w prostokącie można wyrazić przy pomocy dystrybuanty:

P(a 1 < X < 61,02 < y < 62) = F(bi,b2) + F(ai,a2) - F(aj,b2) - F(bi,d2)

14