672581050

0.1.4 Prawdopodobieństwo sumy

Zachodzi wzór

P( U Ai) = P(Ai) - P(^Ai n Aj) + Y1 ^P(-^A* r\AjnA_k) + --- + (-i)ⁿ⁺¹P(i4! n • • • n A_n)

j=l    t=l    i<j    i<j<k

Nierówności Bonferroniego.

^<0 *)<!>(*)

i^,(U^Ai)>E^p(A)-E^p(An^)

i= 1    «'=    1    i<j

P(LM<)< E-P(^)-E^J’(^^nAi)+ E P(A,nAjnA_k)

«=1    *= 1    i<j    i<j<k

Wybieranie z urny kolorowych kul jest matematyczną idealizacją wielu eksperymentów, w których losowo wybiera się skończoną ilość obiektów różnych typów.

Model urnowy . W urnie znajduje się M kul czerwonych i N kul czarnych. Wyciągamy z urny n kul bez zwracania ich. Wtedy prawdopodobieństwo, że wyciągniemy r kul czerwonych wynosi

0(„E)

^M+JVj

gdzie dla j < 0 lub j > m przyjmujemy (™) = 0.

Przykład 0.1.3 (Lotto). Wybieramy 6 liczb ze zbioru {1,.... 54}. 1 nagroda to 6 trafionych, 2 nagroda to 5 trafionych, 3 nagroda 4 trafione. Jakie są prawdopodobieństwa zdobycia tych nagród?

Przykład 0.1.4 (Kontrola jakości). Wyprodukowano M żarówek, w tym N wadliwych. Testujemy n żarówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie testowane żarówki są dobre?

Przykład 0.1.5 (Wnioskowanie o wielkości populacji). Student biologii złowił w stawie 60 wodnych chrząszczy, oznaczył farbą i wypuścił. Po pewnym czasie wrócił i złowił 50 chrząszczy, w tym znajdując 12 oznaczonych farbą. Jak można oszacować wielkość populacji chrząszczy w tym stawie?

0.1.5 Powtarzanie eksperymentów

Z urny zawierającej K kul ponumerowanych od 1 do AT wyciągamy kolejno kule, notując ich numery i zwracając je do urny.

Wyciągając k kul, prawdopodobieństwo, że wszystkie kule mają różne numery wynosi P_K<k K-k + lK — k + 2    I<

~ K    K    K

Rzuty symetryczną monetą. Przyjmujemy, że K = 2 (np. K = 1 oznacza orła, K = 2, oznacza reszkę). Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie j orłów w k rzutach wynosi