UOGÓLNIONE
PRAWO HOOKE A
Układ liniowosprężysty Clapeyrona
" Robert Hooke podał następującą, pierwotna postać prawa
liniowej sprężystości: ut tensio sic vis, czyli takie wydłużenie
jaka siła
" W klasycznej teorii sprężystości nadano temu prawu bardziej
precyzyjną, dwojaką formę, określającą w ciele sprężystym
liniowe związki między przemieszczeniami, a siłami bądz

odkształceniami, a naprężeniami, nazwano prawem Hooke a.
2/62
" Dowolne przemieszczenie uogólnione ui (i= 1,2, ...,n)
spowodowane jednoczesnym działaniem wszystkich sił uogól-
nionych (P1 ... Pj ... Pn ) jest równe sumie przemieszczeń
częściowych wywołanych działaniem poszczególnych, pojedyń-
czych sił i nie zależy od kolejności ich przyłożenia
n
ui = fi1P + fi2P2 +K + fijPj +K + finPn + = fijPj
"
1
j=1
7/62
" Dowolną siłę uogólnioną Pi (i=1,2, ..., n) można przedstawić jako
liniową funkcję uogólnionych przemieszczeń u1, u2, ..., uj, ..., un
n
Pi = ki1u1 + ki2u2 +K+ kijuj +K+ kinun =
"k uj
ij
j=1
" Liczba wpływowa kij jest częścią siły Pi, spowodowaną
przemieszczeniem uj =1. Liczby wpływowe kij nie zależą od wartości
przemieszczeń uj.
9/62
Uogólnione prawo Hooke a dla ciała
anizotropowego
39/62
" Właściwa energia potencjalna odkształceń sprężystych Ś
(potencjał sprężysty)
�ij
�
Ś =
ij
+"�d� = +"� d�ij
0 �ij =0
" Całka nie zależy od drogi całkowania (potencjał sprężysty), dlatego
funkcja podcałkowa jest różniczką zupełną
dŚ =�ijd�ij =�11d�11 +�22d�22 +�33d�33 + 2(�12d�12 +�23d�23 +�31d�31)
40/62
Stąd widać, że
"Ś
� =
ij
"�ij
Z drugiej strony wprowadzimy wyrażenie
dŚ* = �ijd�ij =�11d�11 +�22d�22+ �33d�33 + 2(�12d�12 +�23d�23 +�31d�31)
d(� �ij )
Wtedy suma dŚ + dŚ* jest różniczką zupełną
ij
tzn.
dŚ + dŚ* = "(� �ij )
ij
41/62
�
"Ś*
�ij =
Ś* =
dlatego
+"�d�
"�
ij 0
właściwa energia dopełniająca
Ś* a"
42/62
Ś + Ś* = �ij�ij
dla ciała liniowo-sprężystego
1
Ś = Ś* = � �ij
ij
2
W przypadku jednoosiowego rozciągania (ściskania) prawo Hooke a
� =E�
E- moduł sprężystości podłużnej Younga
43/62
" Dla dowolnego stanu naprężenia i odkształcenia prawo
to można uogólnić
�ij  tensor stanu naprężenia
� = Eijkl�kl
ij
lub odwrotnie
�ij  tensor stanu odkształcenia
�ij = Dijkl�kl
Eijkl - tensor IV rzędu modułów sprężystości,
Dijkl - tensor sprężystych podatności
W przypadku ogólnym
� = � (�ij )
- zależność nieliniowa
ij ij
44/62
W zapisie macierzowym:
{�} = [E]{�}
gdzie
{�}1�9 = [�11,�22,�33,�12,�21,�23,�32,�13,�31]T
{�}1�9 = [�11,�22,�33,�12,�21,�23,�32,�13,�31]T
[E] = [Eijkl ]
9�9
Macierz [E] zawiera 81 stałych!
45/62
Ponieważ tensory �ij i �ij są symetryczne, więc
�ij = � {�}1�6 = [�11,�22,�33,�12,�23,�31]T
ji
�ij = �
ji
{�}1�6 = [�11,�22,�33,�12,�23,�31]T
Eijkl = Ejikl = Eijlk = Ejilk
[E] = [Eijkl ]
gdzie
6�6
E1111 E1122 E1133 E1112 E1113 E1123
Ą# ń#
[E] ma 36
ó#EE2222 E2233 E2212 E2213 E2223 Ą#
stałych 2211
ó# Ą#
ó# Ą#
E3311 E3322 E3333 E3312 E3313 E3323
[E] =
ó# Ą#
6�6
1211
ó#EE1222 E1233 E1212 E1213 E1223 Ą#
ó#E1211 E1322 E1333 E1312 E1313 E1323 Ą#
ó# Ą#
E2322 E2333 E2312 E2313 E2323 Ś#
ó# Ą#
Ł#E2311
46/62
" Dalsze zmniejszenie liczby niezależnych składowych tensora [E]
można otrzymać z rozważań termodynamicznych, jeśli założyć
istnienie właściwej energii potencjalnej
dŚ
" Różniczka jest równa
"Ś
d Ś = � d�ij = Eijkl� d�ij = d�
ij kl ij
"�ij
Stąd
" "Ś
"Ś "
() = Eijkl

= Eijkl�kl /
"�kl "�ij
"�ij "�kl
47/62
" Zmieniając kolejność różniczkowania mamy
" "Ś "2Ś
= Eijkl = Eklij
() = Eklij Stąd
"�ij�kl
"�ij "�kl
" Liczba niezależnych modułów redukuje się do 21. Jest to przypadek
najbardziej ogólny  anizotropia materiału sprężystego
" Wiele materiałów cechuje się:
- jednorodnością (własności mechaniczne jednakowe we wszystkich
punktach)
- izotropowością (własności mechaniczne jednakowe we wszystkich
kierunkach)
48/62
" W przypadku izotropii tensor
Eijkl jest tzw. tensorem
izotropowym IV rzędu, tzn. w każdym układzie współrzędnych
prostokątnych ma jednakowe elementy  składowe
" Izotropowym tensorem II rzędu jest tensor Kroneckera
1 i = j
ż#
�ij =
�#
�#0 i `" j
" Tensorami IV rzędu są oraz i są one także
�ij�kl �ik�jl +�il�jk
tensorami izotropowymi
49/62
Eijkl
" Tensor da się przedstawić jako liniowa ich kombinacja
Eijkl = a� � + b� � + c� �
ij kl ik jl il jk
gdzie a,b,c to stałe
" Prawo Hooke a w wyniku symetrii ma postać:
�ij = a�ij�kk + b�ij + c�ij
lub
�ij = a�ij�kk + (b + c)�ij
2ź

50/62
" Mamy zatem tylko dwie stałe a i (b+c). Stałe te nazywane są
stałymi Lamego =a i 2ź=b+c (mają wymiar naprężeń)
� = �ij�kk + 2ź�ij
ij
Gdzie stałe Lamego wyrażąją się wzorami:
:
2vG
 =
ź = G
1- 2v
gdzie
G  moduł sprężystości poprzecznej Kirchhoffa,
� - liczba Poissona.
2vG
�ij = 2G�ij +�kk�ij
1- 2v
51/62
Uwzględniając, że zależność między G i E
E
G =
2(1+ v)
stałe Lamego wyrażąją się następująco:
E
� E
ź =
 =
(1- 2� )(1+� )
2(1+� )
E � E
�ij = �ij + �kk�ij
1+� (1- 2� )(1+� )
27/62
E � E
�ij = �ij + �kk�ij
1+� (1- 2� )(1+� )
i,j,k=1,2,3
1+ vv
E v
�11 = [�11 + (�11 + �22 + �33)] �ij = �ij - �kk�ij
1+ v 1- 2v
EE
E v
1+ vv
� = [�22 + (�11 + �22 + �33)]
22
�11 = �11 - [�11 + �22 + �33]
1+ v 1- 2v
EE
E v
1+ v
� = [�33 + (�11 + � + �33)]
33 22
�12 = �12
1+ v 1- 2v
E
E E
E
�12 = �12
�31 = �31
�23 = �23
1+�
1+� 1+�
25/62
2vG
(i,j,k=1,2,3)
� = 2G�ij + �kk�ij
ij
1- 2v
2vG
�11 = 2G�11 +(�11 + �22 + �33)
1- 2v
2vG
�22 = 2G�22 +(�11 + �22 + �33)
1- 2v
2vG
�33 = 2G�33 +(�11 + �22 + �33)
1- 2v
�12 = 2G�12
� = 2G�23 � = 2G�31
23 31
26/62
" Dla ciała izotropowego tensor Eijkl przyjmuje postać:
Eijkl = �ij�kl + ź(�ik� + �il� )
jl jk
i, j,k,l =1,2,3
�ij = Eijkl�kl
TYLKO DWIE
STAA
E!
 + 2ź   0 0 0
Ą# ń#
ó# Ą#
lub w zapisie
 + 2ź0 0 0
ó# Ą#
macierzowym:
ó# Ą#
  + 2ź 0 0 0
[E] =
ó# Ą#
6�6
000 ź 0 0
ó# Ą#
ó# Ą#
000 0 ź 0
ó# Ą#
000 0 0 źŚ#
ó# Ą#
Ł#
{�}1�6 = [E] {�}1�6
6�6
52/62
Energia sprężysta właściwa
53/62
" Obliczamy porcję energii sprężyste zmagazynowaną w
infinitezymalnym prostopadłościanie, traktując go jako układ liniowo-
sprężysty
" Siły powierzchniowe proporcjonalne do składowych stanu
naprężenia wykonują pracę na odpowiadających im przemie-
szczeniach, proporcjonalnych do składowych stanu odkształcenia
" Porcja energii sprężystej dV=dL zmagazynowana w elementarnym
prostopadłościanie objętości wynosi zatem
1
dV = dL= [(�11dx2dx3)(�11dx1) + (�22dx3dx1)(�22dx2) + (�33dx1dx2)(�33dx3) +
2
+ (�21dx3dx1)(2�21dx2) + (�32dx1dx2)(�32dx1dx2) + (2�32dx3) + (�13dx2dx3)(2�13dx1)]
54/62
�11dx2dx3 na
" Sposób obliczania pracy wykonanej przez siłę
� dx3dx1 2�21dx2
przemieszczeniu oraz siłę na przemieszczeniu
�11dx1
21
jest zilustrowany na rysunku
ROZCI
GANIE ŚCINANIE
(ŚCISKANIE)
55/62
" Po podzieleniu dV=dL przez objętość prostopadłościanu otrzymamy
energie sprężystą przypadającą na jednostkę objętości, zwaną
właściwą energią sprężystą w analizowanym punkcie ciała
1
Ś = (�11�11 + � � + � �33 + �12 2�12 + � 2� + � 2�31)
22 22 33 23 23 31
2
56/62
" Po wstawieniu zamiast składowych stanu odkształcenia lub
naprężenia otrzymuje się:
1 1
Ą#
2 2 2
Ś= (�11 +�22 +�33)2 +(1+v)(�12 +�23 +�31 -�11�22 -�22�33 -�33�11)ń#
Eó#2
Ł#Ą#
Ś#
v
2 2 2 2 2 2
Ś=GĄ#Ą#
ó#1-2v (�11 +�22 +�33)2 +�11 +�22 +�33 + 2(�12 +�23 +�31)ń#
Ł#Ś#
Energia sprężysta właściwa jest jednokrotną kwadratową funkcją
składowych stanu naprężenia lub odkształcenia.
57/62
Właściwą energię można traktować jako sumę
energii zmiany objętości ŚV i zmiany postaci ciała Śf
Ś = ŚV + Ś
f
1- 2v
ŚV = (�11 + � + � )2
22 33
6E
1+vĄ#
2 2 2
ń#
Śf =
Ł#(�11 -�22)2 +(�22 -�33)2 +(�33 -�11)2 +6(�12 +�23 +�31)Ś#
6E
59/62
Ś
" Energia sprężysta wyrażona przez składowe stanu naprężenia
bądz
odkształcenia nosi nazwę potencjału sprężystego, ponieważ
spełnia warunki, jakie musi spełnić funkcja, aby być potencjałem
"Ś "Ś
"Ś
= �11
= �
= �33
22
"�11
"�
"�
22
33
"Ś "Ś
"Ś
= 2�
= 2�31
= 2�12
23
"�
"�
"�12
23
31
60/62
albo
"Ś "Ś
"Ś
= � = �
= �11
22 33
"� "�33
"�11
22
"Ś
"Ś "Ś
= �
= �
= �12
31
23
"(2�31)
"(2� )
"(2�12 )
23
61/62
KONIEC
62/62