Informatyka I  Lab 07, r.a. 2011/2012
prow. SÅ‚awomir Czarnecki
Przykład  Algorytm  Zadanie na laboratorium nr. 7
Przykład kratownicy dwu-prętowej
Dane:
Geometria: kÄ…ty Ä… 0, ² 0,Ä…1, ²1;
Numeracja prętów: 0, 1
Numeracja węzłów: 0, 1, 2
ObciÄ…\
enia: obciÄ…\
enie węzła 2 w postaci dwóch (znanych) sił: Q20, Q21.
Warunki brzegowe: przegubowo nieprzesuwne podpory w węzłach: 0, 1
równowa\
ne odebraniem stopni swobody o numerach: 0, 1, 2, 3.
Rys.1. Kratownica dwuprętowa  schemat oznaczeń
Rys.2. Uwolnione od więzów węzły kratownicy.
Nieznane siły podłu\
ne oznaczono jako: F0, F1 w prętach 0, 1,
Nieznane reakcje podporowe oznaczono jako: Q00, Q01, Q10, Q11 w węzłach 0, 1
Znane siły zewnętrzne oznaczono jako: Q20 i Q21 w węz
le 2.
Równania równowagi kratownicy dwu-prętowej (równania równowagi wszystkich węzłów):
Q00 + F0Å"cosÄ… 0 = 0,
Q01+ F0Å"cos ² 0 = 0,
Q10 + F1Å"cosÄ…1 = 0,
(1)
Q11+ F1Å"cos ²1 = 0,
Q20 - F0Å"cosÄ… 0 - F1Å"cosÄ…1 = 0,
Q21- F0Å"cos ² 0 - F1Å"cos ²1 = 0.
Równania równowagi (1) mo\
na zapisać w równowa\
nej postaci jako
D F = Q (2)
gdzie
îÅ‚-cosÄ…0 0 Q00
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚- cos ² 0 0 śł ïÅ‚Q01śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 - cosÄ…1 Q10 F0
îÅ‚ Å‚Å‚
D = , Q = , F = . (3)
ïÅ‚
0 -cos ²1śł ïÅ‚Q11śł ïÅ‚ F1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚Q20śł
cosÄ…0 cosÄ…1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
cos ² 0 cos ²1
ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚Q21śł
ûÅ‚
Macierz D wygodnie jest potraktować jako transpozycję
D = BT (4)
następującej macierzy geometrycznej kosinusów kierunkowych
îÅ‚- cosÄ…0 -cos ² 0 0 0 cosÄ…0 cos ² 0
Å‚Å‚
B = . (5)
ïÅ‚
0 0 -cosÄ…1 -cos ²1 cosÄ…1 cos ²1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Jednoczesne przegrupowanie wierszy macierzy D i odpowiadających im składowych wektora Q
w taki sposób, aby w górnej części wektora Q znalazły się wielkości znane (u nas Q20 i Q21)
pozwala zapisać układ równań (2) w postaci dwóch równań macierzowych
Dg F = Qg
(6)
Dd F = Qd
gdzie
cosÄ…0 cosÄ…1 Q20
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Dg = (7)
ïÅ‚cos ² 0 cos ²1śł , Qg = ïÅ‚Q21śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚-cosÄ…0 0 Q00
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚-cos ² 0 0 śł ïÅ‚Q01śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Dd = , Qd = . (8)
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 -cosÄ…1 Q10
ïÅ‚
0 - cos ²1śł ïÅ‚Q11śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
W przypadku kratownic statycznie wyznaczalnych, macierz Dg definiująca liniowy układ
równań (6)1 jest zawsze kwadratowa i tym samym mo\
liwe jest znalezienie jednoznacznego
rozwiązania tego układu równań, tzn. wszystkich składowych wektora sił podłu\
nych F,
F = D-1 Qg (9)
g
a następnie obliczenie wszystkich reakcji czyli składowych wektora Qd z relacji (6)2 .
W naszym przypadku, rozwiązanie układu równań (6) ((6)1, a następnie (6)2) jest następujące
îÅ‚-(-Q21Å"cosÄ…1+ Q20Å"cos ²1 cosÄ…0Å‚Å‚
)
ïÅ‚-
(-Q21Å"cosÄ…1+ Q20Å"cos ²1 cos ² 0śł
)
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Q20Å"cos ² 0 - Q21Å"cosÄ…0 cosÄ…1
îÅ‚ -Q21Å"cosÄ…1+ Q20Å"cos ²1 ( )
Å‚Å‚
ïÅ‚-Q20Å"cos ² 0 + Q21Å"cosÄ… 0śł ïÅ‚ Q20Å"cos ² 0 - Q21Å"cosÄ…0 cos ²1 śł
( )
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
F = , Qd = . (10)
cosÄ…0Å"cos ²1- cosÄ…1Å"cos ² 0 cosÄ…0Å"cos ²1- cosÄ…1Å"cos ² 0
Oznaczając przez L0, L1 długości prętów odpowiednio 0, 1, cosinusy kierunkowe obliczamy ze
wzorów
X 20 - X 00 X 21- X 01
X 00 X 01
îÅ‚ Å‚Å‚
cosÄ…0 = , cos ² 0 =
L0 L0 ïÅ‚
, gdzie X = X10 X11śł (11)
ïÅ‚ śł
X 20 - X10 X 21- X11
cosÄ…1 = , cos ²1 = ïÅ‚ śł
ðÅ‚X 20 X 21ûÅ‚
L1 L1
jest globalną macierzą współrzędnych kartezjańskich kolejnych węzłów 0, 1, 2
Algorytm (dla kratownic płaskich)
Krok 0. Zdefiniuj globalny układ współrzędnych kartezjańskich 0XY.
Krok 1. Dla danej kratownicy statycznie wyznaczalnej, zdefiniuj numeracjÄ™ globalnÄ… wszystkich
węzłów w = 0,..., N -1 oraz prętów p = 0,..., M -1, gdzie N, M oznaczają odpowiednio liczbę
węzłów i prętów kratownicy, a tak\
e zdefiniuj liczbÄ™ Z  zerowych (odebranych) stopni
swobody.
Krok 2. Zdefiniuj macierz alokacji ALOKM × 2 . W ka\
dym wierszu p macierzy ALOKM × 2
składowe ALOK , ALOK oznaczają kolejno numer globalny węzła początkowego oraz
p,0 p,1
węzła końcowego w pręcie p, przy czym zakładamy, \
e zawsze ALOK < ALOK .
p,0 p,1
Krok 3. Zdefiniuj wektor RZ numerów tych stopni swobody s = 0,1,..., Z -1, które (w
globalnym układzie współrzędnych kartezjańskich 0XY) odpowiadają numerom odebranych
stopni swobody węzłów w skutek nało\
enia na nich więzów (warunki brzegowe). Przyjmujemy
następującą regułę obliczania dwóch kolejnych, globalnych numerów stopni swobody węzła w:
2w (w kierunku poziomej osi X) oraz 2w + 1 (w kierunku pionowej osi Y) (w = 0,..., N  1)
Krok 4. Posortuj (od najmniejszej do największej wartości) wektor RZ .
Krok 5. Zdefiniuj macierz XN × 2 współrzÄ™dnych kartezjaÅ„skich wÄ™złów inicjalizujÄ…c wszystkie
jej składowe współrzędnymi kartezjańskimi X i Y kolejnych węzłów w = 0,..., N -1.
Krok 6. Zdefiniuj wektor QT , T = 2N obciÄ…\
eń węzłów inicjalizując najpierw wszystkie jego
składowe zerami, a następnie modyfikując rzeczywistymi wartościami obcią\
eń węzłowych te
jego składowe, które odpowiadają stopniom swobody węzłów, w kierunku których przyło\
ona
została znana (i ró\
na od zera) siła węzłowa. Składowe wektora QT , które odpowiadają
działającym na węzły (i nieznanym na tym etapie) siłom reakcji pozostaw równe 0.
Krok 7. Zdefiniuj wektor LM dÅ‚ugoÅ›ci prÄ™tów oraz macierz geometrycznÄ… BM × T cosinusów
kierunkowych wszystkich prÄ™tów. W tym celu:  wyzeruj wszystkie skÅ‚adowe macierzy BM × T ,
a następnie, dla wszystkich kolejnych prętów p = 0,..., M -1 wykonaj następujące obliczenia:
" i0 = ALOK , i1 = ALOK (numery globalne końców pręta)
p,0 p,1
" "X = Xi ,0 - Xi ,0 , "Y = Xi ,1 - Xi ,1 (rzuty pręta na oś odpowiednio: X i Y)
1 0 1 0
"X "Y
2 2
" Lp = "X + "Y , Ä… = , ² = (dÅ‚ugość prÄ™ta i kosinusy kierunkowe)
Lp Lp
" Bp,2 i0 = -Ä… , Bp,2 i0 +1 = -²; Bp,2 i1 = Ä… , Bp,2 i1+1 = ² (4 skÅ‚adowe macierzy B w
wierszu p)
Krok 8. Zdefiniuj macierz DT × M = BT (transpozycjÄ™ macierzy B).
M × T
Krok 9. Na podstawie macierzy DT × M , zdefiniuj macierze Dg , Dd o wymiarach odpowiednio
T
( - Z × M , Z × M , wektor F o wymiarze M, wektor Qg o wymiarze T  Z oraz wektor Qd o
)
wymiarze Z. Dla wszystkich kolejnych numerów wierszy macierzy DT × M interpretowanych jako
numery kolejnych stopni swobody s = 0,...,T -1 wykonaj następujące obliczenia:
" jeśli stopień swobody s jest elementem wektora RZ , to zapisz wiersz s macierzy
DT × M do pierwszego  wolnego wiersza macierzy Dd ,
" w przeciwnym przypadku zapisz wiersz s macierzy DT × M do pierwszego
 wolnego wiersza macierzy Dg , a składową s wektora QT do pierwszej  wolnej
składowej wektora Qg .
Krok 10. Jeśli T - Z = M , oblicz siły F w prętach oraz składowe reakcji Qd z relacji:
Dg F = Qg Ò! F = D-1 Qg , Qd = Dd F . (12)
q