WPISUJE ZDAJ
CY
KOD
PESEL
PRÓBNY
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
PRZED MATUR

MAJ 2015
POZIOM ROZSZERZONY
1. Sprawdz
, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 22 strony
(zadania 1 19). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
zespołu nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to
przeznaczonym.
Czas pracy:
3. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń
180 minut
w rozwiązaniu zadania otwartego może spowodować, że za
to rozwiązanie nie będziesz mógł dostać pełnej liczby
punktów.
4. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym
tuszem lub atramentem.
5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraz
nie przekreśl.
6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane.
7. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora prostego.
8. Na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej
naklejkÄ™ z kodem.
Liczba punktów
9. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla
do uzyskania: 50
egzaminatora.
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
2 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
W każdym z zadań 1. 4. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedz
.
Zadanie 1. (0 1)
1 1
Dane sÄ… proste l1: y = 2x  28, l2: y = x  1, l3: y = x + 2 i l4: 9x  13y  58 = 0. Wszystkie
2 3
one przechodzÄ… przez punkt (18, 8).
A. Prosta l3 jest obrazem prostej l4 w symetrii względem prostej l2.
B. Prosta l4 jest obrazem prostej l2 w symetrii względem prostej l3.
C. Prosta l2 jest obrazem prostej l1 w symetrii względem prostej l4.
D. Prosta l1 jest obrazem prostej l3 w symetrii względem prostej l4.
Zadanie 2. (0 1)
Niech a = log23 i b = log53. Wtedy
1 1
A. log3100 = + B. log3100 = 2a + 2b
a b
ab
C. log 3 = D. log 3 = ab
a + b
Zadanie 3. (0 1)
Wyrażenie sin a + 3cos a nie może osiągnąć większej wartości niż wtedy, gdy
1 1 1 5
A. Ä… = Ä„ B. Ä… = Ä„ C. Ä… = Ä„ D. Ä… = Ä„
6 3 2 3
Zadanie 4. (0 1)
Rzucamy 8 razy kostką. Spośród poniższych zdarzeń wybierz najbardziej prawdopodobne.
A. Pierwsza szóstka wypadła w pierwszym rzucie, a druga szóstka w ósmym rzucie.
B. Pierwsza szóstka została wyrzucona za drugim razem, a druga szóstka w siódmym rzucie.
C. Pierwsza szóstka wypadła przy trzecim rzucie, a druga szóstka w szóstym rzucie.
D. Pierwsza szóstka wypadła w czwartym rzucie, a druga szóstka w piątym.
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 3
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
4 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
W zadaniach 5. i 6. zakoduj we wskazanym miejscu wynik zgodnie z poleceniem.
Zadanie 5. (0 2)
Kod składa się z czterech znaków, wśród których musi być przynajmniej jedna cyfra i przynaj-
mniej jedna duża i jedna mała litera. Na klawiaturze jest 26 liter i 10 cyfr.
Ile kodów można w ten sposób utworzyć? Wpisz w kratki trzy pierwsze (od lewej strony) cyfry
odpowiedzi.
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 5
Zadanie 6. (0 2)
Dwa różne rozwiązania równania x2  11x + 1 = 0 to x1 i x2. Bez rozwiązywania tego równania
oblicz wartość (x1)5 + (x2)5.
Zakoduj występujące w obliczonej liczbie różne cyfry od najmniejszej do największej.
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
6 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Rozwiązania zadań 7. 19. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.
Zadanie 7. (0 2)
Rozwiąż nierówność
2x(x + 3) x + 3
d" dla x `"  2 i x `" 5.
(x + 2)(x - 5) (x + 2)(x - 5)
Odpowiedz
: ..................................................................................................................................
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 7
Zadanie 8. (0 2)
W niewypukłym czworokącie ABCD dane są długości boków: |AB| = 4, |BC| = 3, |CD| = 5,
|AD| = 6 oraz kÄ…t wklÄ™sÅ‚y ABC = 300°. Na rysunku kÄ…t ADC oznaczony zostaÅ‚ jako x.
D
x
300°
5
B
6
3
4
C
A
a) Oblicz cos x.
b) Oblicz pole czworokÄ…ta ABCD.
Odpowiedz
: a) .................................................. b) ....................................................................
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
8 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Zadanie 9. (0 3)
Udowodnij, że wyrażenie W(n) = (n2  10n + 24)(n2  8n + 15) jest dla każdego n = 0, 1, 2, 3, ...
podzielne przez największy wspólny dzielnik W(0) i W(7).
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 9
Zadanie 10. (0 3)
a) Na ile sposobów można dojść z S do F zgodnie z kierunkiem strzałek?
b) Na ile sposobów można dojść z S do F zgodnie z kierunkiem strzałek, a potem wrócić prze-
ciwnie do kierunku strzałek do S inną drogą?
A
D
S
B
F
E
C
Odpowiedz
: a) ................................................. b) .....................................................................
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
10 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Zadanie 11. (0 3)
Na pewnÄ… groz
ną chorobę choruje 1% całej populacji. Przygotowano tani i łatwy w użyciu test
na tę chorobę. Test jest wygodny, ale nie jest w pełni dokładny. Test wykrywa chorobę u chorej
osoby tylko w 99% przypadków, natomiast test może wskazać, że osoba jest chora, nawet jeśli
osoba jest zdrowa, ale zdarza się to tylko w 2% przypadków.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba jest zdrowa, mimo że test był dodatni?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli test był ujemny, to testowana osoba była chora?
Odpowiedz
: a) ................................................. b) .....................................................................
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 11
Zadanie 12. (0 3)
a) Udowodnij, że prosta l: 3x + 4y  19 = 0 jest styczna do okręgów o1 i o2, gdzie
o1: (x  2)2 + (y  2)2 = 1 oraz
o2: (x  6)2 + (y  4)2 = 9.
b) Obie proste y = 1 i x = 3 są styczne do obu okręgów. Naszkicuj rysunek okręgów o1 i o2,
prostej l, prostej y = 1 i prostej x = 3 w układzie współrzędnych umieszczonym na następ-
nej stronie.
Znajdz
równanie czwartej prostej stycznej do okręgów o1 i o2. Narysuj ją.
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
12 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 13
Zadanie 13. (0 3)
Udowodnij, że czworokąt mający kolejne boki o długości 21, 15, 7 i 13 może być trapezem.
Oblicz jego pole.
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
14 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 15
Zadanie 14. (0 3)
S1
S2
S3
að
O
R3 R2 R1
Pierwszy odcinek koła o polu P1 powstał z okręgu o środku O i promieniu r = |OR1| = |OS1| po
odcięciu odcinkiem R1S1. Drugi odcinek koła powstał następująco: prosta prostopadła do pół-
prostej OR1 i przechodząca przez S1 przecina półprostą OR1 w punkcie R2. Odcinek S2R2 odcina
od koła o środku w O i promieniu |OR2| = |OS2| odcinek o polu P2. Po zatoczeniu łuku o środku
w O i promieniu OR2 powstaje punkt S3 na półprostej OS1 itd. powstaje nieskończony ciąg od-
cinków coraz mniejszych kół. Oblicz sumę nieskończonej liczby wszystkich tych odcinków kół
i określ ją jako funkcję a (wyrażonego w radianach) i r.
Odpowiedz
: ..................................................................................................................................
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
16 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Zadanie 15. (0 4)
Od czworościanu foremnego ABCD o krawędzi 4 odcięto płaszczyzną przechodzącą przez
punkt B2 na krawędzi AB, punkt C2 na krawędzi AC i D2 na krawędzi AD ostrosłup AB2 C2 D2 ,
przy czym |AB2 | = 3, |AC2 | = 2, |AD2 | = 1.
D
C
D2
C2
A
B2
B
a) Oblicz objętość ostrosłupa ABCD i AB2 C2 D2 .
b) Oblicz wysokość ostrosłupa AB2 C2 D2 , gdy za jego podstawę przyjmiemy B2 C2 D2 .
Odpowiedz
: a) ................................................. b) .....................................................................
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 17
Zadanie 16. (0 4)
C
W trójkącie ABC zaznaczono punkt A2 na boku BC,
tak że |A2 B| : |A2 C| = 1 : 2, i punkt B2 na boku AC,
B2
tak że |B2 A| : |B2 C| = 3 : 1. Odcinki AA2 i BB2 prze-
cinajÄ… siÄ™ w punkcie D.
Prosta CD przecina odcinek AB w punkcie C2 .
Pole trójkąta BA2 D jest równe 14. A2
14
D
a) Oblicz pole trójkąta ABC.
b) Oblicz stosunek |CD| : |DC2 |.
A
B
C2
Odpowiedz
: a) ................................................. b) .....................................................................
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
18 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Zadanie 17. (0 4)
Pole powierzchni całkowitej stożka to Ą.
a) Jaka jest możliwie największa objętość takiego stożka?
b) Jakim trójkątem jest przekrój osiowy stożka o największej objętości?
Odpowiedz
: a) ................................................. b) .....................................................................
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 19
Zadanie 18. (0 4)
W graniastosłupie prostym prostokątnym ABCDEFGH krawędzie podstawy mają długość 3
i 4 (|AB| = 4, |BC| = 3), a wysokość 10. Dodatkowo wyróżnione są trzy punkty: punkt B2 na
krawędzi BF w odległości 3 od wierzchołka B, punkt C2 na krawędzi CG w odległości 7 od
wierzchołka C i punkt D2 na krawędzi DH w odległości 4 od wierzchołka D.
H
G
E
F
C2
D2
7
4
B2
D
3 C
3
A
B
4
a) Udowodnij, że płaszczyzna B2 C2 D2 przecina krawędz
AE w punkcie A.
b) Oblicz pole przekroju graniastosłupa ABCDEFGH płaszczyzną B2 C2 D2 .
c) Oblicz cosinus kąta między płaszczyzną B2 C2 D2 i płaszczyzną podstawy ABCD.
d) Oblicz objętość mniejszej części graniastosłupa powstałej z przecięcia płaszczyzną B2 C2 D2 .
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
20 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Odpowiedz
: b) ...................................... c) ................................... d) .....................................
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 21
Zadanie 19. (0 4)
a) Jeśli na trójkącie opiszemy okrąg, to z każdego łuku, na który podzieliły okrąg wierzchołki
tego trójkąta, widać trójkąt pod pewnym kątem (zobacz na rysunku poniżej). Udowodnij, że
a2 + b2 = g + 180°
b2 + g2 = a + 180°
a2 + g2 = b + 180°.
b) Udowodnij, że jeśli n-kąt da się wpisać w okrąg, to suma kątów, pod jakimi widać ten czwo-
rokÄ…t z Å‚uków, na które wierzchoÅ‚ki czworokÄ…ta podzieliÅ‚y okrÄ…g, jest o 180° wiÄ™ksza niż
suma wszystkich wewnętrznych kątów tego n-kąta (na rysunku poniżej po prawej stronie
narysowany jest n-kÄ…t, gdy n = 4).
a) b) að4
að45
bð
að34
gð2
að3
að23
að
að2 að1
að12
gð
að2
bð2
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
22 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro