Ć w i c z e n i e 30
BADANIE ZALEŻNOŚCI PR
DKOŚCI Dy
WI
KU OD
TEMPERATURY
30.1 Wstęp teoretyczny
30.1.1. Prędkość dz
więku.
Do bardzo rozpowszechnionych procesów makroskopowych należą ruchy określone wspólną nazwą
fal dz
więkowych lub po prostu dz
więków. Dz
więk jest makroskopową falą powstającą w wyniku upo-
rządkowanych małych drgań substancji. Makroskopowość fali oznacza to, że jej długość  przewyższa
znacznie charakterystyczne liniowe rozmiary mikroskopowej struktury ośrodka. A zatem, dla dz
więku
w gazie *#*#s , gdzie s oznacza średnią drogę swobodną cząstek gazu. W warunkach normalnych
s jest rzędu 10-7 m, wobec czego *#*#10-7 m. W przypadku cieczy i ciał stałych musi być *#*#a ,
gdzie a oznacza średnią odległość między cząstkami ośrodka. Odległość ta jest rzędu 10-10 m, a więc
w przypadku takich ośrodków musi być spełniony warunek *#*#10-10 m.
Ograniczenia długości fali od strony wartości małych pociągają za sobą ograniczenia częstości od stro-
ny wartości dużych. W gazach, w warunkach normalnych, prędkość dz
więku zmienia się w granicach
od 102 do103 m/s (wyjątkiem jest wodór, w którym prędkość dz
więku jest większa: v *# 103 m/s). W
cieczach i ciałach stałych prędkość dz
więku jest prawie o rząd wielkości większa niż w gazach (patrz
Tabela 30.1). Wychodząc z ogólnej właściwości fal (patrz wzór 6.4 skrypt) v =  �" f otrzymujemy
następujący warunek na częstość drgań dz
więkowych w gazach w warunkach normalnych
� 102 m/s
f = )#)# H"109 Hz
2Ą 10-7 m
Regularna struktura (uporządkowanie) fali dz
więkowej wynika z tego, że dz
więk jest wzbudzany drga-
niami mechanicznymi. Np., fala dz
więkowa dochodząca od głośnika jest wytwarzana drganiami jego
membrany. Uporządkowanie cechujące fale dz
więkowe odróżnia je od ruchów bezładnych, takich jak
np. cieplne drgania cząstek kryształu. Ponieważ drgania dz
więkowe są małe, towarzyszące przecho-
dzeniu fali dz
więkowej odchylenia makroskopowych parametrów ośrodka od wartości równowago-
wych są niewielkie. Np., różnice ciśnień w gazie, powodowane przejściem fali dz
więkowej, są mniej-
sze niż ciśnienie w gazie nie zaburzonym przechodzeniem takiej fali.
Dz
więkiem w węższym sensie nazywamy takie drgania ośrodka, których częstość należy do zakresu
odbieranego przez ludzkie ucho, tj. które mieszczą się w zakresie od 16 do 2 �"104 Hz. Drgania o czę-
stościach mniejszych niż 16 Hz nazywamy infradz
więkami, a o częstości powyżej 2 �"104 Hz  ultra-
dz
więkami. Dział fizyki poświęcony badaniu zjawisk dz
więkowych nosi nazwę akustyki i w związku z
tym fale dz
więkowe nazywa się także falami akustycznymi.
Dzięki makroskopowemu charakterowi ruchu w polu fali dz
więkowej, można nie uwzględniać mikro-
skopowej budowy ośrodka, lecz zakładać, że ma on budowę ciągłą. W przypadku fali akustycznej roz-
chodzącej się w dowolnym ośrodku wielkością wykonującą ruch drgający jest każda składowa dosta-
tecznie małego przemieszczenia �(r,t) nieskończenie małego elementu objętości "V ośrodka względem
położenia równowagi.
W fizyce zjawisk dz
więkowych rozważa się następujące pytania:
1. Jaka jest zależność prędkości dz
więku od właściwości ośrodka?
2. Od jakich wielkości fizycznych zależą zjawiska akustyczne?
30.1.2. Teoretyczne wyznaczanie prędkości dz
więku.
Wyznaczymy prędkość dz
więku w ośrodku gazowym. Zauważmy, że w takim ośrodku rozchodzą się
tylko fale podłużne, ponieważ ani gaz, ani ciecz nie stawiają oporu podczas prób zmiany ich kształtu.
Inaczej mówiąc, uporządkowane drgania w takich ośrodkach można wytwarzać tylko przez ściskanie
ich i rozciąganie.
Rozważmy najprostszy przypadek fali dz
więkowej jednowymiarowej. Taką falę można, np., wzbudzić
w długiej rurze wypełnionej gazem lub cieczą, umieszczając w jednym z jej końców drgającą membra-
nę. Proces falowy będzie wówczas polegał na przemieszczaniu się w ośrodku stref zgęszczeń i rozrze-
dzeń wywołanych drganiami membrany. Wielkość � będzie w tym przypadku oznaczała przesunięcie
nieskończenie cienkiej (ale o grubości jeszcze makroskopowej!) warstewki substancji wzdłuż osi rury.
Wielkość przemieszczenia zależy od wartości współrzędnej x warstewki w stanie niezaburzonym oraz
od czasu: � = �(x,t) (rys.30.1). Jest oczywistą rzeczą, że i gęstość, i ciśnienie też będą funkcjami x i t.
P(x+dx,t)
x x+dx
P(x,t)
x
�
(x,t) �
(x+dx,t)
Rys.30.1. Mechanizm powtawania fali dz
więkowej w długiej rurze. Jest to fala podłużna.
Ciśnienie i koncentrację w punkcie x w chwili t oznaczymy odpowiednio symbolami P(x,t) i n(x,t).
Wartości tych wielkości odpowiadające stanowi równowagi oznaczymy literami P i n (bez argumen-
tów).
Wez
my pod uwagę substancję zawartą w warstwie o małej grubości dx (rys. 30.1). Jej przyspieszenie
jest równe:
2
a = " � (x, t) / " t2 .
Masa tej substancji wynosi:
M = mcdx S = � dx S
�"
gdzie: m oznacza masę pojedyńczej cząstki, � = mc - masę właściwą, c  koncentracja cząsteczek gazu
(tzn ilość cząsteczek w 1 m3), S - przekrój poprzeczny rury.
Na rozważaną porcję substancji działają siły ciśnienia przyłożone w punktach o współrzędnych x i
x+dx (rys. 30.1 ). Wypadkowa sił ciśnienia wynosi:
" P(x,t)
F = - [P(x+dx,t)-P(x,t)]S = - dx S
" x
Na podstawie drugiej zasady Newtona możemy napisać:
M a = F
2
" � (x, t) " P(x, t)
� Sdx = - dxS
" t2 " x
a po podzieleniu przez dxS otrzymamy
2
" � (x, t) " P(x,t)
� = - (30.1)
2
" t " x
Powyższe równanie opisuje ruch uporządkowany ośrodka wypełniającego rurę.
Trzeba zwrócić uwagę na następujące fakty::
a) rozchodzenie się dz
więku jest procesem adiabatycznym, gdyż sprężanie i rozprężanie gazu
następuje bardzo powoli (nie ma czasu na wymianę ciepła z otoczeniem).
b) amplituda drgań dz
więkowych jest mała.
Adiabatyczność procesu rozchodzenia się dz
więku wynika z samej istoty fali dz
więkowej. Fale dz
wię-
kowe powodują bowiem powstawanie w ośrodku niejednorodności temperatury w skali odległości rzę-
du długości fali . Załóżmy, że dz
więk rozchodzi się w ośrodku gazowym. Czas zaniku niejednorodno-
ści temperatury o rozmiarach rzędu  wynosi
2 2
 
� = =
T
ł v s
T
gdzie: ł - oznacza współczynnik przewodzenia temperatury w gazie, vT - termiczną prędkość ruchu
cząstek gazu, s - średnią drogę swobodną tych cząstek.

Charakterystycznym czasem procesu falowego jest jego okres T = , gdzie v oznacza prędkość
v
dz
więku. Jak wynika z doświadczenia v i vT są wielkościami tego samego rzędu. W przypadku fal
dz
więkowych *#*#s wobec czego, z dokładnością do rzędu wielkości
s
T
= )#)#1
� 
T
Jak wynika z powyższej nierówności, fala dz
więkowa przebywa tak szybko odległości porównywalne
z rozmiarami wywołanych przez siebie niejednorodności, że w tym czasie nie dochodzi do wymiany
ciepła między różnymi obszarami ośrodka.
Prędkość dz
więku w ośrodku gazowym lub ciekłym jest określona wyrażeniem
�ł �ł
" P
u = �ł �ł (30.2)
�ł �ł
" �
�ł łład
Wzór ten pokazuje, że prędkość dz
więku w gazie lub w cieczy zależy tylko od właściwości ośrodka w
stanie równowagi cieplnej.
Wyznaczmy teraz prędkość dz
więku w gazie rozrzedzonym. Posłużmy się opisującym przemianę adia-
batyczną równaniem Poissona:
�
PV = const
gdzie � jest współczynnikiem adiabaty
M
Wstawiając V = otrzymujemy:
�
�
PM
= const
�
�
Ponieważ masa gazu jest wielkością stałą, zależność tą możemy zapisać w postaci:
�
P = const �
różniczkując
�ł " P �ł � � P
� -1 �
�ł �ł = const �" � � = �" const � =
�ł �ł
" � � �
�ł łład
Biorąc pod uwagę równanie stanu gazu doskonałego: P = ckT , możemy napisać:
�ł �ł
" P � ckT � kT
�ł �ł = =
�ł �ł
" �
�ł łład � m
a podstawiając uzyskany wynik do wzoru (30.2) otrzymujemy końcowo:
� kT
u = (30.3)
m
W tabeli 30.1. zestawiliśmy prędkości dz
więku w kilku ośrodkach gazowych w temperaturze 0o C.
Zwraca uwagę anomalnie duża prędkość dz
więku w wodorze. To "odchylenie od normy" wynika ze
stosunkowo małej masy cząsteczkowej wodoru .
 Tabela 30.1
__________________________________________________
G a z u [m/s] C i e c z u [m/s]
__________________________________________________
ęzot 334 Aceton 1192
Wodór 1284 Benzen 1326
Powietrze 331 Woda 1480
Hel 965 Nafta 2330
Tlen 259 Rtęć 1451
Dwutlenek węgla 268 Spirytus metyl. 1123
___________________________________________________
30.2 Opis układu pomiarowego
Podstawowym elementem układu pomiarowego jest długa (350 ą 005 m) rura (R) umieszczona w ter-
. .
mostacie (T) (patrz rys 30.2). Na jej końcach są zamocowane: z jednej strony głośnik (G), a z drugiej
mikrofon (M). Do głośnika jest doprowadzony sinusoidalny sygnał z generatora sygnałowego (Gs) o
częstotliwości mieszczącej się w zakresie 1000-2000 Hz. Tak powstała fala dz
więkowa po przejściu
przez rurę jest wychwytywana przez mikrofon. Oba sygnały (ten z generatora i ten z mikrofonu) są
porównywane na oscyloskopie dwustrumieniowym (Os). Mikrofon posiada własny zasilacz (ZM) z
wyłącznikiem (Km).
Gs
Os
M
G
G
R
Km
T
ZM
Rys 30.2. Schemat układu pomiarowego
Czas w jakim fala dżwiękowa przechodzi przez całą długość l rury wynosi t = l /u. Podstawiając
prędkość dz
więku ze wzoru (30.3) i przekształcając otrzymujemy:
l m
t = (30.4)
� k
T
Podczas zmiany temperatury zmienia się prędkość dz
więku, a więc i czas t. Jeżeli zmiana temperatury
( "T ) jest mała, wówczas zmianę czasu przechodzenia fali dz
więkowej przez rurę ( "t ) można wyrazić
wzorem (wynik zróżniczkowania wyrażenia (30.4) po T):
l m 1
"t = �" "T (30.5)
2 � k T3
W ćwiczeniu na oscyloskopie odczytujemy zmianę "t , podczas ogrzewania powietrza w rurze o
H" 20o C (w granicach od 20o do 40oC).Odpowiada mu przesunięcie sygnału uzyskanego z mikrofonu
względem sygnału z generatora. Dobierając odpowiednio podstawę czasu oscyloskopu pomiar "t
można wykonać z dokładnością H" 10�s .
30.3 Przebieg pomiarów
1. Włączyć zasilania: oscyloskopu, generatora sygnałowego i mikrofonu.
2. Ustawić temperaturę wody w termostacie poniżej 20oC ( To ) .
3. Delikatnie kręcąc pokrętłem na generatorze drgań dobrać taką częstotliwość z przedziału 1000-
2000Hz, aby na oscyloskopie oba przebiegi (z mikrofonu i z generatora) pokryły się fazami. Po
czym wyłączyć generator i zasilanie mikrofonu (klucz Km).
4. Powoli podgrzewać zawartość termostatu, ustawiając jego przełącznik na funkję H1, do temperatu-
ry 40oC ( Tk ). Co 2o C powtarzać następujące operacje:
a) wyłączyć termostat
b) włączyć zasilanie mikrofonu i generatora sygnałowego
c) na oscyloskopie odczytać wielkość przesunięcia sygnału mikrofonowego względem sygnału
z generatora (w �s ).
d) wyłączyć zasilanie mikrofonu i generatora sygnałowego
e) włączyć termostat
5. Po wykonaniu ostatniego pomiaru ochłodzić termostat do temperatury poniżej 20o C. W tym celu
należy ustawić funkcję termostatu na H0 , otworzyć kran z wodą chłodzącą oraz skręcić termometr
kontaktowy do pozycji 15oC
6. Zanotować dokładność odczytu temperatury " T.
30.4 Opracowanie wyników pomiarów
1. Na podstawie wyników pomiarów wykreślić liniową zależność "t = f ("T) , gdzie "T jest zaist-
niałym w ćwiczeniu przyrostem temperatury od temperatury początkowej do aktualnej.
2. Posługując się metodą najmniejszych kwadratów wyznaczyć współczynnik a prostej i średni błąd
kwadratowy � .
a
3. Porównując wielkość a z teoretyczną jej wartością (patrz wzór 30.5) wyznaczyć współczynnik �
dla powietrza.
1
T = Tsr = (Tk - To )
Przyjąć: a.
2
b. m jako średnią masę cząsteczek powietrza (o składzie 4 części azotu i 1 część
tlenu) :
4 �" 28 + 32 1 1
m = E" 29 [g]
5 NA NA
gdzie NA - liczba Avogadro
4. Obliczyć graniczny błąd względny współczynnika � biorąc pod uwagę dokładność termometru
�
"T , dokładność wyznaczenia długości rury oraz błąd :
a
�
"� "l "T
a
= + +
� l T
a
5. Obliczyć graniczny błąd bezwzględny.
30.5. Pytania kontrolne
1. Omówić zjawisko fali dz
więkowej.
2. Od czego zależy prędkość dz
więku?.
3. Wyprowadzić równanie stanu gazu doskonałego w postaci: : P = ckT
4. Omówić praktyczny przebieg ćwiczenia.
L i t e r a t u r a
[1] Astachow:A.W. Kurs fizyki - Mechanika, Teoria kinetyczna. WNT W-wa 1988r.
[2] Crawort F.C.: Fale. PWN W-wa 1973r.