Cel wiczenia
Pomiar zale no ci oporu próbek od temperatury, wyznaczenie temperaturowego współczynnika
rezystancji dla metali i przerwy energetycznej dla półprzewodników wyst puj cych w ród próbek.
Wprowadzenie
Je eli mi dzy dwoma punktami ciała wytworzymy ró nic potencjałów (przyło ymy napi cie) to
wewn trz ciała pojawi si pole elektryczne. Je li w tym ciele istniej swobodne ładunki - no niki pr du (m.in.
elektrony, jony a tak e tzw. dziury w półprzewodnikach) to pole elektryczne wprawia je w ruch. Taki przepływ
ładunków nazywamy pr dem elektrycznym. No niki pr du mog mie ładunek ujemny lub dodatni. Ciała
wyró niaj ce si dobrym przepływem pr du nazywamy przewodnikami pr du. Typowymi przewodnikami s
metale.
Metale s to ciała stałe, których atomy posiadaj jeden lub dwa elektrony walencyjne. Przy ł czeniu si
takich atomów, elektrony walencyjne trac bezpo redni kontakt ze swoimi atomami i staj si swobodnymi
no nikami pr du, tzn. mog swobodnie porusza si po całej obj to ci próbki. Natomiast atomy, które utraciły
elektrony staj si jonami, które wykonuj drgania wokół ich poło enia równowagi.
Innym typem materiału jest półprzewodnik., którego przewodno wła ciwa pr du nie jest tak wysoka
jak w przypadku dobrych przewodników oraz którego nie mo na zaliczy do dielektryków, gdy w porównaniu
z nimi ma znacznie wi ksz przewodno .
Zale no koncentracji no ników od temperatury ró ni si istotnie dla metali i półprzewodników. W
przypadku metali koncentracja nie zale y od temperatury i jest rz du koncentracji atomów. Wzrost temperatury
powoduje zwi kszanie prawdopodobie stwa zderzenia si swobodnych no ników pr du (elektronów w metalu) z
drgaj cymi atomami, przez co zmniejsza si ruchliwo elektronów, a tym samym nast puje wzrost oporu.
Zatem opór metalu wyra nie ro nie ze wzrostem temperatury. W przypadku półprzewodników zwi kszanie
temperatury powoduje wykładniczy wzrost liczby no ników mog cych bra udział w przewodnictwie.
Wynikaj c z powy szych obserwacji zale no oporu dla metali i półprzewodników przedstawiaj
poni sze wykresy.
Wykres 1. Zale no oporu od temperatury dla metali Wykres 2.Zale no oporu od temperatury dla
półprzewodników
Układ i metody pomiarowe
Do opracowania wyników pomiarów skorzystamy z okre lonych zale no ci fizycznych.
W przypadku metali opór wzrasta liniowo ze wzrostem temperatury, zgodnie z wyra eniem:
gdzie: to  temperatura pocz tkowa pomiarów [oC], Ro  opór metalu w temperaturze pocz tkowej [ ], 
temperaturowy współczynnik oporu, t  temperatura mierzona [oC]. Na podstawie powy szego wzoru obliczymy
temperaturowy współczynnik oporu .
W przypadku półprzewodników koncentracja no ników pr du ro nie ekspotencjalnie wraz ze wzrostem
temperatury, tak wi c opór próbki z półprzewodnika b dzie malał wraz z jej wzrostem. Zale no oporu
półprzewodnika od temperatury jest funkcj wykładnicz :
gdzie: Ro  stała zale na od rodzaju półprzewodnika i jego rozmiarów, T  temperatura [K], kB  stała
Boltzmana, EA  energia aktywacji.
2

 Logarytmuj c to równanie oraz przyjmuj c skal (1/T) na osi ox oraz lnR na osi oy, powinni my
otrzyma liniow zale no oporu od temperatury, która pozwoli nam wyznaczy energi aktywacji
półprzewodnika przy pomocy regresji liniowej.
Układ, w którym zostały dokonane pomiary prezentuje poni szy rysunek:
Rys. 1. Schemat układu pomiarowego
Pomiary i obliczenia
o
Opór próbek mierzyli my kolejno dla temperatur z zakresu 30 � 110 C zmieniaj c j co 5 oC.
Rozpoczynaj c prac nie wiedzieli my, które próbki s metalami, a które półprzewodnikami.
Pomiary zostały przeprowadzone przy pomocy przyrz dów: Sondy pomiarowej zawieraj cej grzejnik,
regulator temperatury oraz badane próbki, a tak e miernika oporu  model METEX M-3850. Charakterystyki
w/w przyrz dów:
" METEX M-3850 dla zakresów 400 � 4 k , na których były robione pomiary, posiada
dokładno :
ą 0,5% rdg + dgt, gdzie rdg - warto odczytana, dgt  rozdzielczo urz dzenia
" dokładno czujnika temperatury, w który jest wyposa ona Sonda:
ą 1 oC
Odczytanie ustabilizowanego oporu próbek nie było łatwym zadaniem, poniewa próbki nagrzewały si
szybko, chłodziły nieco wolniej. W wyniku ci głych zmian temperatury mierzony opór zmieniał si do
dynamicznie.
3

 Wyniki pomiarów przedstawia Tabela 1:
Tabela 1. Pomiary oporu próbek wraz ze wzrostem temperatury
Lp T [oC] R1 [k ] R2 [ ] R3 [ ] R4 [ ]
1. 30 1,991 51,9 30,2 111,7
2. 35 2,024 47,8 27,3 113,4
3. 40 2,067 42,8 23,8 115,2
4. 45 2,126 37,9 20,4 117,1
5. 50 2,182 33,6 17,6 118,8
6. 55 2,236 29,4 15,3 120,6
7. 60 2,284 27,1 14,0 122,8
8. 65 2,348 23,8 11,9 124,1
9. 70 2,389 22,2 1,1 126,3
10. 75 2,443 19,8 9,6 127,9
11. 80 2,488 18,4 8,8 129,6
12. 85 2,545 16,7 7,8 131,2
13. 90 2,599 15,3 7,0 133,1
14. 95 2,639 14,2 6,5 134,7
15. 100 2,701 13,0 5,8 136,5
16. 105 2,764 11,8 5,1 138,3
17. 110 2,818 11,0 4,9 140,3
Na podstawie powy szych pomiarów mo emy wysun pierwszy wniosek. W przypadku próbek nr 2 i
3 wraz ze wzrostem temperatury opór maleje. S to zatem półprzewodniki. Natomiast w próbkach nr 1 i 4 opór
ro nie wraz z temperatur  czyli mamy do czynienia z metalami.
Dla próbek które s metalami rysujemy wykresy zale no ci oporu od temperatury (T-T0). Metod
regresji liniowej obliczamy parametry prostej. Dokładn analiz przeprowadzimy dla próbki nr 1. Dane do
wykresu dla próbki nr 1 przedstawia Tabela 2:
Tabela 2. Dane do sporz dzenia wykresu zale no ci dla próbki 1
Lp (T-T0) [oC] (T-T0) [oC] R1(t) [ ] R1(t) [ ]
1. 0 1 1991,00 10,96
2. 5 1 2024,00 11,12
3. 10 1 2067,00 11,34
4. 15 1 2126,00 11,63
5. 20 1 2182,00 11,91
6. 25 1 2236,00 12,18
7. 30 1 2284,00 12,42
8. 35 1 2348,00 12,74
9. 40 1 2389,00 12,95
10. 45 1 2443,00 13,22
11. 50 1 2488,00 13,44
12. 55 1 2545,00 13,73
13. 60 1 2599,00 14,00
14. 65 1 2639,00 14,20
15. 70 1 2701,00 14,51
16. 75 1 2764,00 14,82
17. 80 1 2818,00 15,09
Warto R1(t) uzyskujemy z dokładno ci Multimetru METEX M-3850. Przykładowe obliczenia dla
pierwszego pomiaru dla próbki nr 1:
"R1(t) = 0,5% �"1991+1 H" 10,96&!
Dla pozostałych próbek obliczenia zostały wykonane analogicznie, maj c na uwadze zakresy, na
których zostały wykonane pomiary.
4

Wykres 3. Zale no oporu od temperatury dla próbki nr 1
3000
y = 10,423x + 1973,9
2800
R2 = 0,999
2600
2400
2200
2000
1800
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Temperatura (T - To) [oC]
Wykres 3 przedstawia zale no oporu od temperatury dla próbki nr 1. Wyznaczona przy pomocy
arkusza kalkulacyjnego Excel oraz programu Regresja.pas na poziomie ufno ci 0,3096 linia trendu
charakteryzuje si równaniem:
R(t) = 10,423t + 1973,9
Współczynnik R2 wynosi 0.999, co oznacza, e zaprezentowana zale no jest idealnie liniowa.
Potwierdza to nasze wcze niejsze przypuszczenia i obserwacje, e pomiar dotyczył przewodnika metalowego.
Program Regresja.pas wyznaczył nam dodatkowo niepewno ci współczynników tej prostej. Wynosz one
odpowiednio a = 0,007784 oraz b = 3,651.
Kolejnym krokiem naszych działa jest obliczenie temperaturowego współczynnika metalu .
a 10,423
- 1
ą = = = 0,0052K
Ro 1991
Warto niepewno ci temperaturowego współczynnika oporu metalu wynosi:
a �" "R
"a
0 - 1
"ą = + = 0,00774 / 1991 + 10,423 * 10,96 / 19912 H" 0,0000327K
2
R
R
0
0
Bł d wzgl dny okre lenia temperaturowego współczynnika oporu metalu wynosi:
0,0000327
= = = 0,63%
0,0052
5

1
Opór R (t) [ ? ]
 Dla próbki nr 4 wykonano obliczenia analogicznie. Wyniki zostały zaprezentowane poni ej:
Wykres 4. Zale no oporu od temperatury dla próbki nr 4
145,0
y = 0,3555x + 111,75
140,0
R2 = 0,999
135,0
130,0
125,0
120,0
115,0
110,0
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Temperatura (T - To) [oC]
R(t) = 0,3555t + 111,75
R2 = 0,999
a = 0,001632
b = 0,07656
= 0,032 K-1
= 0,000033373 K-1
= 1%
Nast pnie przeszli my do analizy zachowa półprzewodników. Dokładn analiz przeprowadzimy dla
próbki nr 2. Ponownie przyst pujemy do wyznaczenia prostej regresji liniowej, tym razem rysuj c wykres
zale no ci lnR od 1/T.
Dane potrzebne do sporz dzenia wykresu i oblicze przedstawia Tabela 3:
Tabela 3. Dane do sporz dzenia wykresu zale no ci dla próbki 2
Lp T[oC] T [K] 1/T [1/K] R2 [ ] LnR2
1. 30 303 0,00330 51,9 3,949
2. 35 308 0,00325 47,8 3,867
3. 40 313 0,00319 42,8 3,757
4. 45 318 0,00314 37,9 3,635
5. 50 323 0,00310 33,6 3,515
6. 55 328 0,00305 29,4 3,381
7. 60 333 0,00300 27,1 3,300
8. 65 338 0,00296 23,8 3,170
9. 70 343 0,00292 22,2 3,100
10. 75 348 0,00287 19,8 2,986
11. 80 353 0,00283 18,4 2,912
12. 85 358 0,00279 16,7 2,815
13. 90 363 0,00275 15,3 2,728
14. 95 368 0,00272 14,2 2,653
15. 100 373 0,00268 13,0 2,565
16. 105 378 0,00265 11,8 2,468
17. 110 383 0,00261 11,0 2,398

6

4
Opór R (t) [?]
Wykres 5. Zale no temperatury od oporu dla próbki nr 2
3,90
y = 2289,5x - 3,5799
3,70
R2 = 0,999
3,50
3,30
3,10
2,90
2,70
2,50
2,30
0,0026 0,0027 0,0028 0,0029 0,0030 0,0031 0,0032 0,0033
Temperatura 1/T [1/K]

Wykres przedstawia zale no oporu od temperatury dla półprzewodnika. Wyznaczona przy pomocy
arkusza kalkulacyjnego Excel oraz programu Regresja.pas na poziomie ufno ci 0,02088 linia trendu
charakteryzuje si równaniem:
lnR(1/T) = 2289,5 1/T  3,5799
Współczynnik R2 wynosi 0,999, co oznacza, e zaprezentowana zale no jest niemal idealnie liniowa.
Pozwoli nam to stosunkowo dokładnie obliczy warto energii aktywacji. Program Regresja.pas wyznaczył
nam dodatkowo niepewno ci oblicze współczynników tej prostej. Wynosz one odpowiednio:
a = 37,6 b = 0,06022
Obliczamy warto energii aktywacji (kB = 1,38 * 10-23 J/K  stała Boltzmanna)
EA = kB * a = 1,38 * 10-23 J/K * 2289,5 K = 3,1595 * 10-20 J
Dzielimy przez warto ładunku elektronu e = 1,602 * 10-19 C
EA = 3,1595 * 10-20 J / 1,602 * 10-19 C = 0,1972 eV.
Niepewno warto ci energii aktywacji wynosi:
EA = |kB| * a = 5,1888 * 10-22 J = 3,2390 * 10-3 eV
Bł d wzgl dny okre lenia warto ci energii aktywacji wynosi:
"EA
� = = 1,64%
EA
7

2
Opór lnR [?]
Dla próbki nr 3 wykonano obliczenia analogicznie. Wyniki zostały zaprezentowane poni ej:
Wykres 6. Zale no oporu od temperatury próbki nr 3
3,50
3,30
y = 2707,4x - 5,5099
3,10
R2 = 0,998
2,90
2,70
2,50
2,30
2,10
1,90
1,70
1,50
0,0026 0,0027 0,0028 0,0029 0,0030 0,0031 0,0032 0,0033
Temperatura 1/T [1/K]
lnR(1/T) = 2707,4 1/T  5,5099
a = 37,02 b = 0,0187
EA = 3,7362 * 10-20 J = 0,2332 eV
EA = 5,1088 * 10-22 J = 3,2 * 10-3 eV
= 1,37%
Wnioski ko cowe
Pomiary przeprowadzili my na 4 ró nych próbkach, nie wiedz c czy s to metale, czy te
półprzewodniki. Zanotowane w Tabeli 1 wyniki oraz znajomo zale no ci przedstawionej na wykresach we
wprowadzeniu teoretycznym do wiczenia pozwoliły wywnioskowa , e próbki nr 2 i 3 s półprzewodnikami,
natomiast próbki nr 1 i 4 to metale. Po przeprowadzonych obliczeniach utwierdzamy si tylko w rozpoznaniu
próbek. Dodatkowo potwierdzili my na wykresach, e zarówno dla przewodników jak i półprzewodników
zale no oporu od temperatury, przy odpowiednich oznaczeniach osi, mo na przedstawi liniowo.
Z danych dla próbek, które jak ustalili my s metalami, wyznaczyli my temperaturowe współczynnik
oporu, wyniosły one odpowiednio:
" dla próbki nr 1:
= 0,0052 ą 0,000033 K-1
" dla próbki nr 4:
= 0,0032 ą 0,000034 K-1
Korzystaj c z tablic fizycznych mo emy spróbowa okre li rodzaj metalu, z których były wykonane
próbki. I tak dla próbki nr 1 temperaturowy współczynnik oporu pokrywa si z tablicowym współczynnikiem
oporu temperaturowego dla wolframu, a uzyskana przez nas warto dla próbki nr 4 le y najbli ej stali, której
współczynnik oporu wynosi 3,3 * 10-3 K-1. Nale y tu zaznaczy , e współczynniki z tablic uwzgl dniały
przyrostu oporu w zakresie od 0 oC do 100 oC. A górn granic naszych pomiarów było 110 oC.
Dla półprzewodników energia aktywacji wyniosła odpowiednio:
" dla próbki nr 2:
EA = 0,1972 ą 3,239 * 10-3 eV
" dla próbki nr 3:
EA = 0,2332 ą 3,200 * 10-3 eV
8

3
Opór lnR [?]
 Mie ci si to w przedziale pasma wzbronionego dla półprzewodników, wi c przypuszczamy, e
oszacowali my je poprawnie:

Rys. 2. Porównanie układu pasm
( ródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/Półprzewodniki)

S to warto ci na tyle niedu e, e mo na  w ciemno powiedzie , e s to półprzewodniki
domieszkowe. Porównuj c otrzymane wyniki z tablicami, mo emy spróbowa zidentyfikowa te substancje.
Najbli szym dla próbki nr 2 wynikiem odczytanym z tablic jest przerwa energetyczna równa 0,2 eV i warto ta
nale y do tellurku antymonu (Sb2Te3). Natomiast otrzymany wynik dla próbki nr 3 le y najbli ej tablicowej
warto ci przerwy energetycznej selenka ołowiu (PbSe).
Bł dy i niepewno ci naszych pomiarów wynikaj głównie z trudno ci z ustabilizowaniem temperatury
próbek, a tak e z dokładno ci odczytów z termometru, którego niepewno przyj li my ą 1oC, mimo, e
dokładno podziałki wynosiła 0,1 oC. Warto ci bł dów pomiarowych oporu były stosunkowo niewielkie (<1%).
9