STATYSTYKA

Weryfikacja hipotez statystycznych

(przykłady zastosowań)

Weryfikacja hipotez dotyczących prawdopodobieństw

(wskaźnika struktury)

Weryfikacja hipotezy p=p₀ (duże liczności prób n ł 100)

Hipotezę na danym poziomie istotności a=1-b odrzucamy gdy:

lub

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy p=p₀.

Weryfikacja hipotezy płp₀ (duże liczności prób n ł 100)

Hipotezę na danym poziomie istotności a=1-b odrzucamy gdy:

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy płp₀.

Weryfikacja hipotezy pŁp₀ (duże liczności prób n ł 100)

Hipotezę na danym poziomie istotności a=1-b odrzucamy gdy:

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy pŁp₀.

Przykład

Firma prowadząca sprzedaż sprzętu sportowego postanowiła wprowadzić na rynek nowy typ obuwia narciarskiego. Przeprowadzono badanie rynku, w wyniku którego oceniono, że 10% osób jeżdżących na nartach skłonna jest zakupić obuwie tego typu. Menedżment firmy uznał, że jest to zbyt mało, by przedsięwzięcie powiodło się finansowo. Przeprowadzono więc dodatkową akcję promocyjną, po której przebadano próbę losową 200 osób, z których 27 wyraziło chęć zakupu butów nowego typu. Czy dodatkowa akcja promocyjna spełniła swoje zadanie?

Na poziomie istotności a=0.10 weryfikujemy hipotezę:

H : p=p₀=0,1

Mamy

oraz

Tak więc nie ma podstaw do zakwestionowania weryfikowanej hipotezy. Uzyskane wyniki badania rynku nie są wystarczającym dowodem by twierdzić, że akcja promocyjna zakończyła się sukcesem.

Weryfikacja hipotez dotyczących bardzo małych wartości prawdopodobieństw

W badaniach jakości interesuje nas spełnienie wymagania by frakcja wyrobów niezgodnych z wymaganiami (wadliwych) była nie większa od pewnej wartości krytycznej p₀. Należy wyznaczyć minimalną liczność próby n, tak by na poziomie istotności a=0.05 zweryfikować hipotezę p Ł p₀ , przy założeniu, że w badanej próbie nie ma ani jednej jednostki niezgodnej.

Przykład

Hurtownia kosmetyków zamawia u producenta flakony wody toaletowej. Przyjęto, że jeden na tysiąc flakonów może zawierać wyraźnie mniej wody niż podano na opakowaniu. Ile kolejnych skontrolowanych (i właściwie napełnionych) flakonów daje gwarancję (na poziomie istotności 5%), że postawione wymaganie jest spełnione dla danej dostawy towaru?

Należy więc poddać kontroli co najmniej 3000 flakonów, z których każdy powinien być właściwie napełniony.

Porównywanie dwu prawdopodobieństw

Obserwujemy realizacje dwu zmiennych losowych, z których każda ma dwupunktowy rozkład prawdopodobieństwa o parametrach, odpowiednio, p₁ oraz p₂. Badaniu poddano n₁ obiektów opisanych przez pierwszą zmienną losową obserwując k₁ przypadków zajścia opisanego przez tą zmienną zdarzenia losowego oraz n₂ obiektów opisanych przez drugą zmienną losową obserwując k₂ przypadków zajścia opisanego nią zdarzenia losowego. Na podstawie takich danych z eksperymentu losowego należy zweryfikować hipotezę:

H: p₁ = p₂

Można wykazać, że przy słuszności powyższej hipotezy zmienna losowa

gdzie

, ,

ma standaryzowany rozkład normalny N(0,1).

Jeżeli , to hipotezę p₁ = p₂ odrzucamy na rzecz hipotezy p₁ > p₂ gdy

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy p₁=p₂.

Przykład

Porównywano skłonność do zakupu pewnego wyrobu wśród kobiet i mężczyzn. Gdyby okazało się, że np. kobiety są bardziej skłonne do zakupu tego wyrobu niż mężczyźni, wówczas akcję reklamową skierować należy właśnie na kobiety. Zbadano n₁=100 kobiet, z których k₁=20 wyraziło chęć zakupu tego wyrobu. Z kolei, wśród zbadanych n₂=120 mężczyzn chęć zakupu tego wyrobu wyraziło k₂=18 osób. Zweryfikować (na 10% poziomie istotności) hipotezę o podobnej skłonności do zakupu wśród obu grup klientów.

Nie ma więc podstaw do zakwestionowania hipotezy, że kobiety są równie skłonne do zakupu tego wyrobu niż mężczyźni.

Porównywanie dwu małych prawdopodobieństw

W przypadku gdy porównujemy dwa względnie małe prawdopodobieństwa (mniejsze od 0,2) na podstawie badania dwu prób losowych o tej samej liczności większej od 20 elementów, to w przypadku zaobserwowania nierówności hipotezę p₁ = p₂ odrzucamy na rzecz hipotezy p₁ > p₂ gdy

gdzie F(1-a,2(k₂+1),2k₁) jest kwantylem rzędu 1-a w rozkładzie F-Snedecora o parze stopni swobody (2(k₂+1),2k₁).

Przykład

Badano niezawodność odbiornika TV. Przez 1000 godzin badano n₁=50 odbiorników, z których uszkodziły się cztery (k₁­=4). Po przeprowadzeniu zmian technologicznych ponowiono badanie. Tym razem wśród n₂=50 odbiorników uszkodziły się dwa (k₂­=2). Czy są podstawy do stwierdzenia, że zmiany technologiczne poprawiły niezawodność badanych telewizorów?

Hipotezę p₁ = p_2­ weryfikujemy na poziomie istotności a=0.05. Z tablic kwantyli rozkładu F-Snedecora odczytujemy F(0.95,6,8)=3.581. Tak więc mamy

Tak więc nie ma podstaw do zakwestionowania hipotezy o tej samej niezawodności badanych telewizorów przed i po zmianach technologicznych. Nie ma więc podstaw do stwierdzenia, że zmiany technologiczne poprawiły niezawodność badanych telewizorów.

Weryfikacja hipotez dotyczących

wartości oczekiwanych (średnich)

Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m,s), przy czym parametry m oraz s są nieznane i są oszacowane (wyestymowane) na podstawie próby losowej (X­₁, X₂,...,X_n).

Weryfikacja hipotezy m=m₀

Hipotezę na danym poziomie istotności a=1-b odrzucamy gdy:

lub

gdzie t_n-1,(1+b)/2 jest kwantylem rzędu (1+b)/2 w rozkładzie t-Studenta o n-1 stopniach swobody (Tablice).

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy m=m₀.

Weryfikacja hipotezy młm₀

Hipotezę na danym poziomie istotności a=1-b odrzucamy gdy:

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy młm₀.

Weryfikacja hipotezy mŁm₀

Hipotezę na danym poziomie istotności a=1-b odrzucamy gdy:

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy mŁm₀.

Przykład

Zaobserwowano 10 realizacji zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N(m,s)

-.770 -.648 .353 -1.114 -.803 -.548 .775 -1.380 -.466 .455

Czy są podstawy do kwestionowania hipotezy m=m₀=0 na poziomie istotności a=0.10.

Dla badanej próby mamy: n=10 , = -.415 , S₀= .941

Z tablic rozkładu t-Studenta odczytujemy: t_9,0.95 =1.833.

Mamy więc:

oraz

Tak więc nie ma podstaw do zakwestionowania weryfikowanej hipotezy.

Porównywanie dwu wartości oczekiwanych

Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m₁,s), przy czym parametr m₁ jest nieznany i jest oszacowany na podstawie próby losowej (X­₁, X₂,...,X_n), zaś Y będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m₂,s), przy czym parametr m₂ jest również nieznany i jest oszacowany na podstawie próby losowej

(Y₁, Y₂,...,Y_m). Zakładamy, że odchylenie standardowe s jest dla obu zmiennych losowych takie same i jest niezależnie estymowane w obu próbach.

Niech oraz będą wartościami średnimi, odpowiednio, w pierwszej i w drugiej próbie, zaś oraz empirycznymi wariancjami w tych próbach.

Hipotezę m₁=m₂ na poziomie istotności a=1-b odrzucamy gdy spełniona jest nierówność

gdzie

a t_{n+m-2,(1+b)/2} jest kwantylem rzędu (1+b)/2 w rozkładzie t-Studenta o n+-2 stopniach swobody (Tablice).

Przykład

Zaobserwowano 10 realizacji zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(m₁,s)

-.770 -.648 .353 -1.114 -.803 -.548 .775 -1.380 -.466 .455

oraz 10 realizacji zmiennej losowej Y o rozkładzie normalnym N(m₂,s)

-.604 -.980 -.008 -.611 .536 .810 2.022 -1.372 1.064 -.519

Czy są podstawy do kwestionowania hipotezy m₁=m₂ na poziomie istotności a=0.10.

Dla badanej próby mamy: n=10 , = -0.415 ,

oraz m=10 , = 0.034 ,

Z tablic rozkładu t-Studenta odczytujemy: t_18,0.95 =1.734.

Mamy więc:

Tak więc |T|=0.85 < 1.734 i wobec tego nie ma podstaw do kwestionowania hipotezy m₁=m₂.

Weryfikacja hipotez dotyczących wariancji

Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m,s), przy czym parametry m oraz s są nieznane i są oszacowane (wyestymowane) na podstawie próby losowej (X­₁, X₂,...,X_n).

Weryfikacja hipotezy

Hipotezę na danym poziomie istotności a=1-b odrzucamy gdy:

lub

gdzie jest kwantylem rzędu (1-b)/2 w rozkładzie chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody, zaś jest kwantylem rzędu (1+b)/2 w rozkładzie chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody (tablice).

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy

Weryfikacja hipotezy

Hipotezę na danym poziomie istotności a=1-b odrzucamy gdy:

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy .

Weryfikacja hipotezy

Hipotezę na danym poziomie istotności a=1-b odrzucamy gdy:

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy ,

Przykład

Zaobserwowano 10 realizacji zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N(m,s)

.641 1.146 -2.796 -1.171 -.095 .276 .499 .076 .956 -1.251

Czy są podstawy do kwestionowania hipotezy na poziomie istotności a=0.10.

Dla badanej próby mamy: n=10 ,

Z tablic rozkładu chi-kwadrat odczytujemy: c_0.05,9=3.33, c­_0.95,9=16.9

Mamy więc:

oraz

Tak więc nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy

Porównywanie dwu wariancji

Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m₁,s₁), przy czym parametry m₁ oraz s₁ są nieznane i są oszacowane na podstawie próby losowej (X­₁, X₂,...,X_n), zaś Y będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m₂,s₂), przy czym parametry m₂ oraz s₂ są również nieznane i są oszacowane na podstawie próby losowej

(Y₁, Y₂,...,Y_m).

Niech oraz będą wartościami średnimi, odpowiednio, w pierwszej i w drugiej próbie, zaś oraz skorygowanymi empirycznymi wariancjami w tych próbach.

Jeżeli >, to hipotezę na poziomie istotności a=1-b odrzucamy, gdy spełniona jest nierówność

gdzie F((1+b)/2,n-1,m-1) jest kwantylem rzędu (1+b)/2 w rozkładzie F-Snedecora o parze stopni swobody (n-1,m-1).

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy .

Przykład

Zaobserwowano 10 realizacji zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(m₁,s)

-.604 -.980 -.008 -.611 .536 .810 2.022 -1.372 1.064 -.519

oraz 10 realizacji zmiennej losowej Y o rozkładzie normalnym N(m₂,s)

-.770 -.648 .353 -1.114 -.803 -.548 .775 -1.380 -.466 .455

Czy są podstawy do kwestionowania hipotezy na poziomie istotności a=0.10.

Dla badanej próby mamy: n=10 , oraz m=10,

Z tablic rozkładu F-Snedecora odczytujemy: F(0.95,9,9)=3.179

Mamy więc:

Tak więc nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy .

Porównywanie wielu wartości średnich

(Analiza wariancji)

W wielu przypadkach praktycznych wyniki obserwacji generowane są w następujący sposób:

gdzie m jest wspólną dla wszystkich pomiarów wartością oczekiwaną, h_i jest składową wyniku obserwacji wynikającą z działania i-tego czynnika zewnętrznego (przyczyny głównej), zaś e_ij jest losowym zakłóceniem (błędem), zazwyczaj przyjmowany jako jednakowy dla wszystkich obserwacji.

Powyższy model opisuje - na przykład - sytuację, gdy dokonujemy pomiaru k obiektów, z których każdy mierzony jest n_i (i=1,...,k) razy.

Jedną z możliwych hipotez jest taka, że czynniki zewnętrzne (przyczyny główne) nie mają systematycznego wpływu na wynik obserwacji. Hipoteza ta jest równoważna hipotezie

a sposób jej weryfikacji nazywany jest analizą wariancji.

Aby zweryfikować powyższą hipotezę, musimy najpierw zweryfikować hipotezę o stałej wartości odchylenia standardowego

s₁=s₂=....=s_k= s

W przypadku stałych liczności próbek tzn. n₁=n₂=...=n_k=n możemy wykorzystać test Cochrana oparty na statystyce