STATYSTYKA

Statystyczne metody analizy szeregów czasowych

Szeregami czasowymi będziemy nazywali ciągi wzajemnie zależnych zmiennych losowych (obserwacji) opisujących dane zjawisko w kolejnych punktach na osi czasu. Metody analizy takich ciągów obserwacji nazywane są analizą szeregów czasowych.

Celem analizy szeregów czasowych jest:

Statystyczna analiza zależności pomiędzy kolejnymi obserwacjami;

Predykcja (prognozowanie) przyszłych obserwacji szeregu czasowego;

Wykrywanie mechanizmów rządzących zmianami obserwowanego zjawiska w czasie.

Wyniki obserwacji szeregu czasowego będziemy zapisywali jako ciąg zmiennych losowych

Y₁ , Y₂ ,...., Y_n-1 , Y_{n ,},......

W ogólnym przypadku obserwacjom szeregu czasowego mogą towarzyszyć obserwacje pewnych dodatkowych zmiennych objaśniających.

Proste prezentacje szeregów czasowych

Przykład 1:

Ostatnie 40 notowań akcji Banku Handlowego w 1998 r. stanowi następujący szereg czasowy:

Lp.	Cena	Lp.	Cena
1	42.9	21	40.1
2	43.5	22	39
3	47.8	23	40.5
4	49	24	42.6
5	49	25	43
6	45.6	26	43.7
7	44	27	45.5
8	43	28	44
9	47.3	29	43.1
10	47	30	44.1
11	45.5	31	44.2
12	44.8	32	43.8
13	44.3	33	43.5
14	46.2	34	43
15	47	35	43
16	44.8	36	44
17	44.9	37	45.5
18	43.5	38	46
19	42	39	45.1
20	40.1	40	43.3

W powyższym przypadku zmiany wartości akcji w czasie sprawiają wrażenie zmian przypadkowych.

Przykład 2:

Pierwsze 25 notowań akcji Banku Handlowego w 1998 r. stanowi następujący szereg czasowy:

Lp.		Lp.
1	46	13	44,8
2	44,2	14	43,9
3	40	15	44,4
4	43,4	16	44,6
5	41,4	17	45
6	40	18	46,6
7	42,1	19	48,6
8	43,1	20	51
9	42,2	21	52,5
10	42,2	22	54
11	44,3	23	53,5
12	44,8	24	53
		25	54,5

Dla tego przypadku można zauważyć, że występuje pewien trend powodujący wzrost wartości ceny akcji. Wykrycie i opisanie takiego trendu jest jednym z zadań statystycznej analizy szeregów czasowych.

Wygładzanie szeregów czasowych

W przypadku szeregów czasowych, w których na wynikające z różnych przyczyn regularności nakładają się zakłócenia o charakterze losowym dokonuje się wygładzania przebiegów szeregów czasowych. Celem tej operacji jest określenie charakterystycznych tendencji występujących w danym szeregu czasowym.

Metoda przesuwającej się średniej

(średniej ruchomej)

W metodzie przesuwającej się średniej (zwanej także średnią ruchomą) wykreślane są wartości średnie z grupy sąsiadujących ze sobą obserwacji.

Przykład: Notowania Banku Handlowego w pierwszym półroczu 1998. Wykres przesuwającej się średniej ; uśrednianie dla notowań z dwu tygodni.

Analiza przebiegów szeregów czasowych wygładzonych z wykorzystaniem metody przesuwającej się średniej może służyć do wykrywania mechanizmów rządzących obserwowanym procesem, a w szczególności do wykrywania okresowości przebiegów.

Okresowość przebiegu wykrywamy w ten sposób tylko wtedy gdy charakterystyczny dla danego przebiegu okres zmian jest dłuższy od liczby kolejno uśrednianych obserwacji.

Metoda analizy z wykorzystaniem przesuwającej się średniej zazwyczaj nie nadaje się do prognozowania przyszłych obserwacji procesu.

Przykład: Notowania Banku Handlowego w miesiącach letnich 1998.

Metoda wykładniczo ważonej ruchomej średniej

(wyrównywanie wykładnicze)

W metodzie wykładniczo ważonej ruchomej średniej (zwanej także metodą wyrównywania wykładniczego) wykreślane są wartości będące ważoną sumą zaobserwowanej w tym punkcie czasu wartości wygładzanego szeregu czasowego (z wagą 0<lŁ1) oraz wartości wygładzonego szeregu czasowego w poprzednim punkcie czasu ( z wagą 1-l), tzn.

Wartość parametru l można dobrać w sposób empiryczny, na przykład przez minimalizację sumy kwadratów różnic pomiędzy wartościami obserwowanego szeregu czasowego a wartościami szeregu wygładzonego. W wielu praktycznych przypadkach wartość parametru l przyjmuje się z zakresu [0.1, 0.25].

Przykład. Porównanie dwu sposobów wygładzania szeregu czasowego.

Wykładniczo ważoną ruchomą średnią możemy również wykorzystać do predykcji (przewidywania) przyszłych wartości obserwowanego szeregu czasowego. Okazuje się, że wartość wykładniczo ważonej ruchomej średniej w punkcie t może być wykorzystana jako optymalna (w pewnych przypadkach) prognoza wartości szeregu czasowego w punkcie t+1. Jeżeli w prognozie przykładamy większą wagę do ostatnio zaobserwowanej wartości szeregu czasowego należy przyjąć większą wartość parametru l, tzn. bliższą jedności.

Wyznaczanie funkcji trendu

(elementy ekonometrii)

Zjawiska ujmowane w sposób dynamiczny, tzn. opisywane przy pomocy szeregów czasowych są zazwyczaj wypadkową działania pewnych mechanizmów o charakterze długoterminowym oraz przypadkowych mechanizmów ubocznych. Celem analizy ekonometrycznej jest opisanie mechanizmów długoterminowych przy pomocy funkcji trendu.

W analizach ekonometrycznych zazwyczaj przyjmuje się, że dostępne są wartości interesującej nas zmiennej Y w n kolejnych okresach czasu o jednakowej długości. W związku z tym, występujący w analizie czas można traktować jako zmienną dyskretną, przyjmującą wartości t=1,2,...,n.

Predykcja na podstawie trendu liniowego

W przypadku gdy zakładamy, że mechanizm dynamicznych zmian obserwowanego zjawiska w czasie można opisać liniową funkcją trendu możemy przyjąć, że obserwacje szeregu czasowego w n kolejnych punktach dadzą się opisać zależnością

gdzie u_t jest zakłóceniem losowym.

Jeżeli trend liniowy właściwie opisuje dane zjawisko, to przyrosty w czasie wartości obserwowanej zmiennej, określone jako

powinny być mniej więcej stałe. Założenie to można zweryfikować w sposób statystyczny poszukując równania regresji następującej postaci:

Parametry a₀ oraz a₁ wyznaczamy metodą minimalizacji sumy kwadratów błędów korzystając z zależności

oraz

gdzie

oraz .

Jeżeli hipoteza o liniowości trendu jest słuszna, to parametr a₁ powinien w sposób nieistotny różnić się od zera. W celu zweryfikowania tej hipotezy wyznaczamy wartość statystyki

Wyszukiwarka