Rachunek prawdopodobieństwa

Zmienna losowa

Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (W, , P). Funkcję X określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych W, o wartościach rzeczywistych oraz taką, że dla każdego tÎR zbiór

jest zdarzeniem (czyli należy do ) będziemy nazywać zmienną losową.

Interpretacja:

Zmienna losowa jest to funkcja przyporządkowująca podzbiorom zbioru zdarzeń elementarnych (zdarzeniom losowym) odpowiednie podzbiory liczb rzeczywistych.

Co to oznacza?

Zmienna losowa jest zmienną, która w wyniku doświadczenia może przyjąć wartość z pewnego zbioru liczb rzeczywistych. Na przykład, gdy zajście zdarzenia losowego opisujemy pewną liczbą.

Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami; na przykład X.

To co zaobserwujemy w konkretnym doświadczeniu nazywamy realizacją zmiennej losowej i oznaczamy małą literą; na przykład x.

Przykłady zmiennych losowych:

Przykład 1

Badanie jakości wyrobów. Każdy badany wyrób oceniamy jako zgodny lub niezgodny (wadliwy) z wymaganiami. Określmy zmienną

Przykład 2

Badaniu podlega roczny zysk różnych firm. Firmy pobierane są do badań w sposób losowy. Zmienna losowa X przyjmuje dowolne wartości rzeczywiste (model !!!), przy czym dla poszczególnych wylosowanych firm wartości te są na ogół różne.

Przykład 3

Operator telefonicznej sieci komórkowej analizuje dzienną liczbę połączeń. Niech W={w₁,w₂,......} gdzie w_i oznacza zdarzenie elementarne polegające na zaobserwowaniu i połączeń. Dzienna liczba połączeń opisana jest zmienną losową

Zmienne losowe

• skokowe (dyskretne)

• ciągłe

• mieszane

Rozkład prawdopodobieństwa

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest funkcją, która każdemu podzbiorowi możliwych wartości tej zmiennej przypisuje liczbę z domkniętego przedziału [0,1].

Rozkład prawdopodobieństwa jest jednoznacznie określony funkcją, którą nazywamy dystrybuantą zmiennej losowej X definiowaną jako

Własności dystrybuanty:

Uwaga: Jeśli jakaś funkcja F ma własności 1) - 4), to jest ona dystrybuantą jakiejś zmiennej losowej

Przypadek zmiennych losowych skokowych:

Niech P(X=x) - oznacza prawdopodobieństwo, że w konkretnym doświadczeniu zaobserwowana realizacja zmiennej losowej X wynosiła x.

Niech W={x₁,x₂,....} będzie pewnym skończonym lub nie zbiorem

Dystrybuanta dyskretnej zmiennej losowej X dana jest zależnością:

gdzie

jest tzw. funkcją prawdopodobieństwa.

Dla zmiennych losowych ciągłych.

Dystrybuanta ciągłej zmiennej losowej X dana jest zależnością:

gdzie nieujemna funkcja f(x), określona i całkowalna do jedynki na całej osi jest funkcją gęstości (gęstością) zmiennej losowej X.Typowe rozkłady prawdopodobieństwa

zmiennych losowych skokowych

a) Rozkład dwupunktowy

b) Rozkład dwumianowy (Bernouillego)

gdzie

Interpretacja: Pojedyncze zdarzenie zachodzi z prawdopodobieństwem p. Dokonujemy n prób. Liczba zajść rozpatrywanego zdarzenia w n próbach opisana jest rozkładem dwumianowym.

Rozkład hipergeometryczny

N, M, n, k - liczby naturalne, przy czym

Interpretacja: Mamy zbiór N obiektów, z których M odznacza się jakąś cechą. Badamy próbę o liczności n elementów. Liczba elementów w tej próbie, które odznaczają się tą cechą ma rozkład hipergeometryczny.

d) Rozkład Poissona

Interpretacja: Liczba zdarzeń zachodzących w jednostce czasu (teoretycznie nie ograniczona od góry)

e) Rozkład geometryczny

Interpretacja: Pojedyncze zdarzenie zachodzi z prawdopodobieństwem p. Liczba prób niezbędnych do zaobserwowania zajścia rozpatrywanego zdarzenia opisana jest rozkładem geometrycznym.

Typowe rozkłady prawdopodobieństwa

zmiennych losowych ciągłych

a) Rozkład jednostajny (równomierny).

b) Rozkład normalny (Gaussa)

F(x) - całka Laplace'a (tablice!!)

c) Rozkład wykładniczy

---