STATYSTYKA

Estymacja przedziałowa parametrów

rozkładów prawdopodobieństwa

Przedziały ufności

Niech będzie dana próba losowa (X₁,X₂,....,X_n), której rozkład zależy od pewnego parametru rzeczywistego qÎQ. Przedziałem ufności dla parametru qÎQ na poziomie ufności b (0<b<1) nazywamy przedział (q₁,q₂), spełniający warunki:

• q₁= q₁(X₁,X₂,....,X_n) oraz q₂= q₂(X₁,X₂,....,X_n) są funkcjami próby losowej (X₁,X₂,....,X_n), które nie zależą od q;

• dla każdego qÎQ,

Granice przedziału losowego (q₁,q₂) są zmiennymi losowymi, takimi że prawdopodobieństwo pokrycia przedziałem (q₁,q₂) nieznanego parametru q wynosi b.

Oznacza to, że w przypadku wykonania wielu eksperymentów mających na celu oszacowanie przedziałowe parametru q w 100b% przypadkach wyznaczony przedział ufności będzie zawierał q.

Istnieje wiele przedziałów ufności spełniających powyższe warunki. Interesuje nas zawsze znalezienie takiego przedziału, którego długość l_n= q₂(X₁,X₂,....,X_n)-q₁(X₁,X₂,....,X_n)

jest najmniejsza.

Jednostronne przedziały ufności

W pewnych przypadkach interesuje nas wyłącznie górne lub dolne ograniczenie na wartość estymowanego parametru. Wyznaczamy wówczas jednostronne przedziały ufności

• dla ograniczenia górnego , taki że

• dla ograniczenia dolnego , taki że

Uniwersalny przedział ufności dla wartości oczekiwanej

Niech będzie dana próba losowa (X₁,X₂,....,X_n), a obserwowana zmienna losowa X odznacza się następującymi własnościami: E(X)=q oraz Var(X)=s².

Korzystając z tzw. nierówności Czebyszewa można pokazać, że dla dowolnego e>0 mamy

Przyjmijmy, że s=1, tzn. że s jest jednostką na skali pomiarowej, na której dokonuje się pomiaru wartości zmiennej losowej X. Wówczas możemy przyjąć: .

Występuje więc związek

oraz

Powyższe wzory pozwalają określić dokładność estymacji dla danego poziomu ufności b i danej liczności próby n lub niezbędną liczność próby n dla danego poziomu ufności b i danej dokładności estymacji e.

Przykład 1:

Wartość oczekiwaną q oszacowywano na podstawie wyniku badania próby o liczności n=100 elementów. Określić dokładność estymacji za pomocą uniwersalnego przedziału ufności na poziomie ufności b=0.9.

Jeżeli znamy postać rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, to możemy uzyskać dokładniejszą ocenę estymowanego parametru q.

Przedziały ufności dla wskaźnika struktury

(prawdopodobieństwa w rozkładzie dwupunktowym)

Estymujemy parametr p w rozkładzie dwupunktowym zmiennej losowej X.

Estymator punktowy nieznanego prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia losowego wynosi

gdzie n jest licznością próby, a K jest losową liczbą przypadków zajścia analizowanego zdarzenia w próbie o liczności n (jej realizację w danej próbie oznaczamy przez k).

Dokładne granice przedziałów ufności dla nieznanej wartości p można wyznaczyć wykorzystując tablice kwantyli rozkładu F-Snedecora.

Oznaczmy przez p₁(b) dolną granicę dwustronnego przedziału ufności dla nieznanego prawdopodobieństwa p na poziomie ufności b, zaś przez p₂(b), odpowiednio, górną granicę tego przedziału ufności.

Oznaczmy przez F(b,k₁,k₂) kwantyl rzędu b w rozkładzie F-Snedecora o parze stopni swobody (k₁,k₂) [podawany w tablicach statystycznych].

Wówczas:

W przypadku jednostronnych przedziałów ufności mamy:

p_g(b)=p₂(2b-1) oraz p_d(b)=p₁(2b-1)

Wartości granic przedziałów ufności dla p podane są również w tablicach statystycznych (np. Ryszard Zieliński: Tablice statystyczne, PWN).

Przykład

Przeprowadzono eksperyment oszacowania prawdopodobieństwa wyrzucenia „orła” na podstawie n=40 rzutów monetą. W eksperymencie wzięło udział 123 osoby. Uzyskano następujące wyniki (m - liczba osób, które uzyskały dany wynik)

k	m	p^*	p1	p2
14	4	0,35	0,206	0,517
15	2	0,375	0,227	0,542
16	8	0,4	0,249	0,567
17	9	0,425	0,270	0,591
18	20	0,45	0,293	0,615
19	14	0,475	0,315	0,639
20	13	0,5	0,338	0,662
21	18	0,525	0,361	0,685
22	10	0,55	0,385	0,707
23	9	0,575	0,409	0,730
24	4	0,6	0,433	0,751
25	8	0,625	0,458	0,773
26	3	0,65	0,483	0,794
27	1	0,675	0,509	0,814

Przybliżone przedziały ufności

dla wskaźnika struktury

Jeżeli liczność próby jest duża (na przykład nł100) granice przedziału ufności dla nieznanego prawdopodobieństwa p można wyznaczyć ze wzorów przybliżonych:

gdzie

jest kwantylem rzędu (1+b)/2 w standaryzowanym rozkładzie normalnym.

Kwantyle z_a standaryzowanego rozkładu normalnego (z_1-a= - z­_a).

a	0.0	0.001	0.002	0.003	0.004	0.005	0.006	0.007	0.008	0.009
0.90	1.282	1.287	1.293	1.299	1.305	1.311	1.317	1.323	1.329	1.335
0.91	1.341	1.347	1.353	1.359	1.366	1.372	1.379	1.385	1.392	1.398
0.92	1.405	1.412	1.419	1.426	1.433	1.440	1.447	1.454	1.461	1.468
0.93	1.476	1.483	1.491	1.499	1.506	1.514	1.522	1.530	1.538	1.546
0.94	1.555	1.563	1.572	1.580	1.589	1.598	1.607	1.616	1.626	1.635
0.95	1.645	1.655	1.665	1.675	1.685	1.695	1.706	1.717	1.728	1.739
0.96	1.751	1.762	1.774	1.787	1.799	1.812	1.825	1.838	1.852	1.866
0.97	1.881	1.896	1.911	1.927	1.943	1.960	1.977	1.995	2.014	2.034
0.98	2.054	2.075	2.097	2.120	2.144	2.170	2.197	2.226	2.257	2.290
0.99	2.326	2.366	2.409	2.457	2.512	2.576	2.652	2.748	2.878	3.090

Długość przedziału ufności spełnia warunek

Z warunku tego możemy wyznaczyć minimalną liczność próby niezbędnej do oceny p z zadaną dokładnością.

Przykład

Zaprojektować badanie ankietowe (odpowiedzi TAK lub NIE), tak by na poziomie ufności b=0.9 długość przedziału ufności nie przekraczała 5%.

Z warunku

znajdujemy, że n=1076.

Jeżeli w wyniku badania 1076 osób uzyskamy, na przykład, k=324 odpowiedzi pozytywne, to oszacowanie prawdopodobieństwa pozytywnej odpowiedzi wynosi 324/1076=0.301 (czyli 30,1%), a przedział ufności wynosi (0.278,0.324). Długość przedziału ufności wynosi 0.324-0.278=0.046 (czyli 4,6 %).

W takim przypadku mówimy o dopuszczalnym błędzie statystycznym oceny l_n/2=2,3%.

Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej

w rozkładzie normalnym

Przypadek znanego odchylenia standardowego

Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m,s), przy czym parametr m jest nieznany i jest oszacowany (wyestymowany) na podstawie próby losowej (X­₁, X₂,...,X_n).

Ponieważ wartość średnia z próby (estymator wartości oczekiwanej w rozkładzie normalnym) ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej m i odchyleniu standardowym , przedział ufności dla m (przy znanym s) wyznaczamy z zależności:

gdzie z_(1+b)/2 jest kwantylem rzędu (1+b)/2 w rozkładzie standaryzowanym normalnym N(0,1) (Tablice !)

Przykład

Zaobserwowano 10 realizacji zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N(m,1)

-.604 -.980 -.008 -.611 .536 .810 2.022 -1.372 1.064 -.519

Wyznaczyć przedział ufności na poziomie ufności b=90% dla wartości oczekiwanej m Mamy = 0.034 , z_0.95=1.645, a więc

Przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Jeżeli odchylenie standardowe s nie jest znane, to musimy je wyestymować z próby wykorzystując np. skorygowane odchylenie standardowe z próby

Następnie korzystamy z własności rozkładu normalnego, zgodnie z którą rozkład statystyki

jest rozkładem t-Studenta o n-1 stopniach swobody. Wobec tego granice dwustronnego przedziału ufności dla m można wyznaczyć z zależności.

gdzie t_n-1,(1+b)/2 jest kwantylem rzędu (1+b)/2 w rozkładzie t-Studenta o n-1 stopniach swobody (stabelaryzowany)

Kwantyle t_k,a rzędu a w rozkładzie t-Studenta o k stopniach swobody

k	tk,0.95	tk,0.975	k	tk,0.95	tk,0.975
1	6,314	12,706	18	1,734	2,101
2	2,920	4,303	19	1,729	2,093
3	2,353	3,182	20	1,725	2,086
4	2,132	2,776	21	1,721	2,080
5	2,015	2,571	22	1,717	2,074
6	1,943	2,447	23	1,714	2,069
7	1,895	2,365	24	1,711	2,064
8	1,860	2,306	25	1,708	2,060
9	1,833	2,262	26	1,706	2,056
10	1,812	2,228	27	1,703	2,052
11	1,796	2,201	28	1,701	2,048
12	1,782	2,179	29	1,699	2,045
13	1,771	2,160	30	1,697	2,042
14	1,761	2,145	40	1,684	2,021
15	1,753	2,132	60	1,671	2,000
16	1,746	2,120	120	1,658	1,980
17	1,740	2,110	Ą	1,645	1,960

Przykład

Zaobserwowano 10 realizacji zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N(m,s)

-.604 -.980 -.008 -.611 .536 .810 2.022 -1.372 1.064 -.519

Wyznaczyć przedział ufności na poziomie ufności b=90% dla wartości oczekiwanej m Mamy = 0.034 , S₀= 1.056 oraz (z tablic)

t_9,0.95 =1.833, a więc

Przedziały ufności dla odchylenia standardowego

w rozkładzie normalnym

Można wykazać, że statystyka

gdzie

jest zmienną losową niezależną od statystyki i ma rozkład chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody.

Stąd przedział ufności dla wariancji s² wynosi

gdzie jest kwantylem rzędu (1-b)/2 w rozkładzie chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody, zaś jest kwantylem rzędu (1+b)/2 w rozkładzie chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody (tablice).

Przedział ufności (s₁,s₂) dla odchylenia standardowego jest następujący:

Dla dużych (n>50) liczności próby możemy skorzystać z przybliżenia

Przykład

Zaobserwowano 10 realizacji zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N(m,s)

-.604 -.980 -.008 -.611 .536 .810 2.022 -1.372 1.064 -.519

Wyznaczyć przedział ufności na poziomie ufności b=90% dla odchylenia standardowego s Mamy = 0.034 , S₀= 1.056 oraz (z tablic) c_0.05,9=3.33, c­_0.95,9=16.9, a więc

Kwantyle rozkładu chi-kwadrat.

K\a	0.01	0.025	0.05	0.1	0.9	0.95	0.975	0.99
2	0.0201	0.0506	0.103	0.211	4.61	5.99	7.38	9.21
3	0.115	0.216	0.352	0.584	6.25	7.81	9.35	11.3
4	0.297	0.484	0.711	1.06	7.78	9.49	11.1	13.3
5	0.554	0.831	1.15	1.61	9.24	11.1	12.8	15.1
6	0.872	1.24	1.64	2.20	10.6	12.6	14.4	16.8
7	1.24	1.69	2.17	2.83	12.0	14.1	16.0	18.5
8	1.65	2.18	2.73	3.49	13.4	15.5	17.5	20.1
9	2.09	2.70	3.33	4.17	14.7	16.9	19.0	21.7
10	2.56	3.25	3.94	4.87	16.0	18.3	20.5	23.2
11	3.05	3.82	4.57	5.58	17.3	19.7	21.9	24.7
12	3.57	4.40	5.23	6.30	18.5	21.0	23.3	26.2
13	4.11	5.01	5.89	7.04	19.8	22.4	24.7	27.7
14	4.66	5.63	6.57	7.79	21.1	23.7	26.1	29.1
15	5.23	6.26	7.26	8.55	22.3	25.0	27.5	30.6
16	5.81	6.91	7.96	9.31	23.5	26.3	28.8	32.0
17	6.41	7.56	8.67	10.1	24.8	27.6	30.2	33.4
18	7.01	8.23	9.39	10.9	26.0	28.9	31.5	34.8
19	7.63	8.91	10.1	11.7	27.2	30.1	32.9	36.2
20	8.26	9.59	10.9	12.4	28.4	31.4	34.2	37.6
21	8.90	10.3	11.6	13.2	29.6	32.7	35.5	38.9
22	9.54	11.0	12.3	14.0	30.8	33.9	36.8	40.3
23	10.2	11.7	13.1	14.8	32.0	35.2	38.1	41.6
24	10.9	12.4	13.8	15.7	33.2	36.4	39.4	43.0
25	11.5	13.1	14.6	16.5	34.4	37.7	40.6	44.3
26	12.2	13.8	15.4	17.3	35.6	38.9	41.9	45.6
27	12.9	14.6	16.2	18.1	36.7	40.1	43.2	47.0
28	13.6	15.3	16.9	18.9	37.9	41.3	44.5	48.3
29	14.3	16.0	17.7	19.8	39.1	42.6	45.7	49.6
30	15.0	16.8	18.5	20.6	40.3	43.8	47.0	50.9
40	22.2	24.4	26.5	29.1	51.8	55.8	59.3	63.7
50	29.7	32.4	34.8	37.7	63.2	67.5	71.4	76.2

Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej

w dowolnym rozkładzie (duże próby)

Niech X będzie zmienną losową o dowolnym rozkładzie o nieznanych EX=m oraz Var(X)=s². Dla dużych (nł100) liczności próby mamy w przybliżeniu

Statystyka15 Wykład9 6

---