K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

1

PiS15 W03: Zmienne losowe II

1. Charakterystyki liczbowe zm. l.
2. Charakterystyki położenia

Przykład 1

3. Charakterystyki rozrzutu
4. Momenty zwykłe

Przykład 2

5. Momenty centralne
6. Charakterystyki współzależności liniowej

Przykład 4, Przykład 5

7. Standaryzacja zmiennej losowej
8. Rozkład Bernoulliego i jego własności
9. Rozkład równomierny i jego własności

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

2

10. Proces Bernoulliego
11. Rozkład dwumianowy i jego własności
12. Rozkład jednostajny i jego własności
13. Rozkład normalny i jego własności

Przykład 6
Przykład 7
Przykład 8

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

3

1. Charakterystyki liczbowe zm. l.

Niech

na (



, B, P) określone będą zm. l. X

1

,…, X

n

o war-

tościach rzeczywistych.

Charakterystykami liczbowymi

zm. l.

(lub ich rozkładów prawdop.) nazywamy liczby charakteryzu-
jące zbiór wartości, jakie mogą one przyjmować, np. pod
względem wartości najbardziej prawdop., rozrzutu wokół
pewnej wartości, kształtu wykresu funkcji prawdop. lub
krzywej gęstości, a w przypadku kilku zm. l. współzależności
między nimi.

Charakterystyka liczbowa służy do syntetycznego opisu

wartości zm. l. Za pomocą kilku liczb można uzyskać w pro-
sty sposób dostatecznie dobre informacje o rozkładzie zm. l.
lub zależnościach pomiędzy zm. l.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

4

2. Charakterystyki położenia

Charakterystykę liczbową zm. l. X nazywamy

charaktery-

styką położenia

, jeśli dodanie do zm. l. dowolnej stałej zmie-

nia wartość tej charakterystyki o tę stałą.

Do podstawowych charakterystyk położenia wartości zm.

l. należą:

a)

wartość oczekiwana

(ang. mean),

b)

wartość modalna

(ang. mode)

c)

kwartyle

(ang. quartile).

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

5

Wartością oczekiwaną

(wartością średnią, ang. expected va-

lue, mean) zm. l. X nazywamy liczbę m

X



E(X), przy czym

a) dla zm. l. typu dyskretnego

E(X)





x

i

p

i

b) dla zm. l. typu ciągłego











dx

x

xf

X

)

(

)

(

E

przy założeniu, że występujący szereg i całka są bezwzględ-
nie zbieżne. W przeciwnym przypadku powiemy, że zm. l. nie
ma wartości oczekiwanej.

Mianem wartości oczekiwanej jest miano badanej zm. l.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

6

Własności wartości oczekiwanej

Na przestrzeni (



, B, P) określone są dwie zm. l. X i Y dla

których istnieją wartości oczekiwane oraz niech a, b, c



R,

wówczas

1. E(c)



c;

2. E(aX)



aE(X);

3. E(X



b)



E(X)



b;

4. E(X



Y)



E(X)



E(Y).

5. Jeżeli zm. l. X i Y są niezależne, to

E((X



EX)(Y



EY))



0.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

7

Z własności 2, 3 i 4 wynika, że operator E jest operatorem li-
niowym. Własność 4 można uogólnić na przypadek skończo-
nej sumy zm. l.

Jeżeli zm. l. X i Y spełniają warunek z tezy własności 5, to

nazywamy je

nieskorelowanymi zm. l.

Jeżeli zm. l. X ma wartość oczekiwaną m, to zm. l.

Y



X



m

nazywamy zm. l. scentrowaną

(centred r.v.).

Przykład 1. Niech X będzie liczbą punktów stałych w loso-
wej permutacji zbioru {a, b, c}.

a) Wyznaczyć wartość oczekiwaną zm. l. X.
b) Uogólnić wynik na zbiór n elementowy.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

8

Rozwiązanie.

a) Doświadczenie jest tu określone poprzez

permutację zbioru {a, b, c}. Stąd zbiór zdarzeń elementarnych





{(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a)}.

Każdy wynik zachodzi z prawdop. 1/6. Liczby punktów sta-
łych podane są w tablicy 1.1.



X

p

i

a b c
a c b
b a c
b c a
c a b
c b a

3
1
1
0
0
1

1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6

Tablica 1.1. Liczby punktów stałych.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

9

Obliczamy E(X ) zm .l . typu dyskretnego

1

6

1

1

6

1

0

6

1

0

6

1

1

6

1

1

6

1

3





















































































.

b) Wyznaczymy oczekiwaną liczbę punktów stałych w loso-
wej permutacji zbioru {1, 2, 3,…, n}. Dla każdego i, 1



i



n,

niech X

i

(



) równa się 1, jeśli losowa permutacja



ma punkt

stały na i-tym miejscu, i 0 w p. p. Dla każdego i,

E(X

i

)



1/n.

Niech Y oznacza liczbę punktów stałych w permutacji



Y(



)



X

1

(



)



X

2

(



)



…



X

n

(



).

Z własności liniowości dla n zm. l. wynika, że

E(Y)



E(X

1

)



E(X

2

)



…



E(X

n

), stąd E(Y)



1.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

10

3. Charakterystyki rozrzutu

Charakterystykę liczbową zm. l. nazywamy

charaktery-

styką rozrzutu

, jeśli dodanie do zm. l. dowolnej stałej nie

zmienia wartości tej charakterystyki. Charakterystykami roz-
rzutu wartości zm. l. są:

a)

wariancja

(ang. variance),

b)

odchylenie standardowe

(ang. standard deviation),

c)

odchylenie ćwiartkowe

.

Względną charakterystyką rozrzutu jest

współczynnik

zmienności

(ang. coefficient of variation).

Niech

X będzie zm. l. określoną na (



, B, P) i ma wartość

oczekiwaną m

X



E(X).

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

11

Wariancją

(variance)

zm. l. X nazywamy wartość oczeki-

waną kwadratu scentrowanej zm. l., tj. liczbę

)

(

D

2

2

X

X





określoną wzorem:

D

2

(X)



E(X



m

X

)

2

,

przy czym

a) dla zm. l. typu dyskretnego











)

(

)

(

D

2

2

i

X

i

x

f

m

x

X

b) dla zm. l. typu ciągłego













dx

x

f

m

x

X

X

)

(

)

(

)

(

D

2

2

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

12

Wariancja zm. l. istnieje, gdy szereg (całka) występujący
w definicji wariancji jest zbieżny. Mianem wariancji jest
kwadrat miana badanej zm. l.

Niech na (



, B, P) określone będą zm. l. X i Y o skończo-

nych wariancjach oraz a, b



R. Wówczas

a) D

2

(a)



0



wariancja stałej zm. l. jest równa zero,

b) D

2

(X



a)



D

2

(X)



niezmienniczość na przesunięcie,

c) D

2

(aX)



a

2

D

2

(X) dla a



0;

Odchyleniem standardowym

(standard deviation) lub dysper-

sją zm. l. X nazywamy dodatni pierwiastek z wariancji, tj.

liczbę

)

(

D

2

X

X





. Mianem dyspersji jest miano badanej

zmiennej.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

13

4. Momenty zwykłe

Momentem zwykłym

r



tego rzędu (r jest liczbą naturalną)

zm. l. X nazywamy charakterystykę liczbową określoną wzo-
rem:

m

r

(X)



E(X

r

)

Z istnienia momentów wyższych rzędów wynika istnienie

momentów niższych rzędów. Wartość oczekiwana jest mo-
mentem zwykłym rzędu pierwszego.

Związek między wariancją a momentami zwykłymi

Jeżeli istnieje wariancja D

2

(X) zm. l. X, to

)

(

)

(

)

(

D

2

1

2

2

X

m

X

m

X





K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

14

Przykład 2. Losujemy liczbę z przedziału (a, b), gdzie a < b.
Niech X oznacza wylosowaną liczbę. Wyznaczyć wariancję
D

2

(X).

Rozwiązanie.

Wyznaczamy momenty

2

1

)

(

1

b

a

xdx

a

b

X

m

b

a











,

3

)

(

3

1

)

(

2

2

3

3

2

2

b

ab

a

a

b

a

b

dx

x

a

b

X

m

b

a



















.

Stąd wariancja

.

12

/

)

(

)

(

D

2

2

1

2

2

a

b

m

m

X









K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

15

5. Momenty centralne

Momentem centralnym

k-tego rzędu (k



1, 2,…) (

central

moment of order k

) zm. l. X nazywamy wartość oczekiwaną k-

tej potęgi scentrowanej zm. l., tj.

k

k

X

X

X

)

E

(

E

)

(







Wariancja jest momentem centralnym rzędu drugiego.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

16

6. Charakterystyki współzależności liniowej

Jeżeli rozważamy kilka zm. l. określonych na tej samej

przestrzeni (



, B, P), to możemy badać je nie tylko z osobna,

ale również współzależności między nimi.

W szczególności, charakterystykami określającymi współ-

zależność liniową pomiędzy parą zm. l. są:

a) kowariancja,
b) współczynnik korelacji.

Niech na (



, B, P) określone będą zm. l. X

1

, X

2

,…, X

n

o

wartościach rzeczywistych.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

17

Kowariancją zm. l. X

i

i X

j

(i, j



1, 2, …, n) spełniających

warunek E



X

i

X

j



<



, nazywamy wielkość

cov(X

i

, X

j

)



E((X

i



EX

i

) ( X

j



EX

j

))

Mianem kowariancji jest iloczyn mian badanych zmiennych.

Własności kowariancji:

1) cov(X

i

, X

j

)



cov(X

j

, X

i

),

2) cov(X

i

, X

i

)



D

2

(X

i

),

3) cov(X

i

, X

j

)



E(X

i

X

j

)



E(X

i

) E(X

j

),

4)



cov(X

i

, X

j

)



D(X

i

) D(X

j

) – nierówność Schwarza.

Z własności 3) wynika, że dla każdej pary niezależnych

zm. l. X

i

i X

j

cov(X

i

, X

j

)



0.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

18

Odwrotne stwierdzenie jest fałszywe. Ilustruje to przykład.

Przykład 3. Obliczyć kowariancję oraz zbadać niezależność
zm. l. brzegowych dla wektora l. (X, Y) o łącznym rozkładzie:

X \Y

1

2

3

6

0,2

0

0,2

8

0

0,2

0

10 0,2

0

0,2

Rozwiązanie.

Po wykonaniu obliczeń mamy: E(X)



8, E(Y)



2, E(XY)



16, zatem cov(X, Y )



0, więc zm. l. X i Y są

nieskorelowane

, ale nie są niezależne, gdyż

P(X



6, Y



1)



0,2



(0,4) (0,4)



P(X



6) P(Y



1).

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

19

Niech na (



, B, P) określone będą zm. l. X

1

, X

2

,…, X

n

o

wartościach rzeczywistych.

Współczynnikiem korelacji

(

Correlation coefficient

) zm. l.

X

i

, X

j

(i, j



1, 2,…, n) nazywamy charakterystykę liczbową



ij

określoną wzorem

)

(

D

)

(

D

)

,

(

Cov

j

i

j

i

ij

X

X

X

X





,

Współczynnik korelacji nie zależy od przyjętej skali oraz od
położenia początku układu współrzędnych, w którym są reje-
strowane zmienne.
Współczynnik korelacji jest wielkością bez miana.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

20

Ponadto



1





(X

i

, X

j

)



1.

Własność



(X

i

, X

j

)



1 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

X

j



aX

i



b z prawdop. 1.

Przykład 4. (Palenie i rak). Zaprojektować badanie zależno-
ści chorowania na raka od palenia tytoniu w grupie 60 osób
dla których dane są zebrane w tablicy 1.

C\S

nie pali pali suma

bez raka
z rakiem

40 10
7 3

50
10

suma

47 13

60

Tablica 1. Palenie i rak

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

21

Projekt.
1. Oznaczenia i koncepcja badań. Niech



będzie zbiorem

badanych osób. Każda osoba



badana jest ze względu na

dwie dychotomiczne cechy, których modelami są zm. l. C i S
określona na



i o wartościach w zbiorze {0, 1}.

Niech C(



)



1, jeśli wylosowana osoba ma raka i 0 jeśli

nie ma oraz niech S(



)



1, jeśli osoba ta pali papierosy i 0 w

p.p.

2. Wyznaczamy łączny rozkład i brzegowe rozkłady.
Zauważmy, że

P(C



0; S



0)



40/60, P(C



0, S



1)



10/60, i tak dalej.

Łączny rozkład (C, S) jest dany w tablicy 2,

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

22

C\S

0 1

0
1

40/60 10/60

7/60 3/60

Tablica 2. Łączny rozkład.

Stąd rozkłady brzegowe zm. l. C i S:

















60

/

13

60

/

47

1

0

S

f

,

















60

/

10

60

/

50

1

0

C

f

.

3. Badamy niezależność. Zm. l. S i C nie są niezależne, gdyż

P(C



1, S



1)



3/60



0,05

natomiast

P(C



1) P(S



1)



0,036.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

23

4. Obliczamy wartości oczekiwane i wariancje.

E(C)



10/60, E(S)



13/60,

E(C

2

)



10/60, E(S

2

)



13/60,

D

2

(C)



5/36, D

2

(S)



611/3600,

D(C)



0,372678, D(S)



0,411974.

5. Obliczamy kowariancję i współczynnik korelacji

E(CS)



3/60, cov(C, S)



5/360.

stąd



(X, Y)



0,090462.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

24

7. Standaryzacja zmiennej losowej

Standaryzacją

zm. l. X o skończonej wartości oczekiwanej

m

X

i wariancji D

2

(X) > 0 nazywamy transformację

X

X

m

X

X

h







)

(

Zm. l. Z



h(X) nazywamy

standaryzowaną zm. l.

(

standardi-

zed r. v.

)

Standaryzacja zm. l. może być uogólniona na tak zwaną

„

zm. l. zredukowaną

”, która jest określana za pomocą innej

charakterystyki położenia i/lub innej charakterystyki rozrzutu.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

25

Własności.

Niech Z będzie standaryzowaną zm. l. dla zm. l.

X, wówczas

a) E(Z)



0



wartość oczekiwana stand. zm. l. wynosi 0,

b) D

2

(Z)



1



wariancja stand. zm. l. wynosi 1,

c)

)

/

)

((

)

(

X

X

Z

X

m

x

F

x

F







.

Dowody. Własności a), b) d) wynikają z przekształceń:

0

)

E(

1

E

E(Z)



























X

X

X

X

m

X

m

X

,

1

)

(

D

1

D

)

(

D

2

2

2

2



























X

X

X

X

m

X

m

X

Z

.





x

X

x

F

X





P

)

(

)

/

)

((

)

/

)

(

(

P

X

X

Z

X

X

m

x

F

m

x

Z















.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

26

8. Rozkład Bernoulliego i jego własności

Rozkładem Bernoulliego

(

Bernoulli distribution

) (zwa-

nym w polskiej literaturze rozkładem zero-jedynkowym) na-
zywamy rozkład zm. l. X dla której X(



)



{0, 1}. Wartość 1

przyjmuje z prawdop. p, a 0 z prawdop. q



1



p, czyli

.

0

,

1

dla

dla

1

)

;

(

















x

x

p

p

p

x

f

B

Rozkład ten oznaczamy B(p). Zapis X ~ B(p) oznacza, że

zm. l. X ma rozkład Bernoulliego z parametrem p (p



(0, 1)).

Momenty zwykłe: E(X

k

)



1

k



p



0

k



(1



p)



p, dla k



1, 2,…

Stąd E(X) = p, E(X

2

) = p, D

2

(X)



p(1



p).

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

27

9. Rozkład równomierny i jego własności

Zm. l. X typu dyskretnego ma

rozkład równomierny

(

discrete uniform distribution

) na zbiorze X(



)



W, gdzie

W



{x

1

, x

2

,…, x

n

}, co oznaczamy X·~ U(W), jeżeli każdą z

wartości x

k



W przyjmuje z tym samym prawdop., tj.

f

U

(x

k

; W)



P(X



x

k

)



1/n.

Rozkład równomierny jest modelem losowania liczby

w totalizatorze sportowym, wyniku rzutu idealną kostką, lo-
sowania numeru produktu z ponumerowanej ich partii, itp.

Własności

X



U(W)

E(X)



(



x

k

)/n, D

2

(X)





(x

k

2

)/n



E

2

(X),

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

28

10. Proces Bernoulliego

Procesem Bernoulliego

1

(

Bernoulli process

) nazywamy

skończony lub nieskończony ciąg X

1

, X

2

,… identycznych i

niezależnych zm. l. (i.i.d.) o rozkładzie Bernoulliego, tj.
przyjmujących dwie wartości: 1 z prawdop. p zwanym sukce-
sem i 0 z prawdop. q



1



p zwanym porażką.

Z procesem Bernoulliego związane są rozkłady:

Bernoul-

liego

,

dwumianowy

i

Pascala

.

1

Jakub Bernoulli (1654-1705)

Matematyk szwajcarski, jeden z licznej rodziny Bernoullich, autor Ars conjectandi, pierw-

szego dzieła poświęconego rachunkowi prawdopodobieństwa.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

29

11. Rozkład dwumianowy i jego własności

Zm. l. X:





{0, 1,…, n} ma

rozkład dwumianowy

(

binomial distribution

) z parametrami n i p (n



N, p



(0, 1)),

co oznaczamy X ~ B(n, p), jeżeli jej funkcja prawdop. (PMF)
f

B

wyraża się wzorem:

x

n

x

B

p

p

x

n

p

n

x

f





















)

1

(

)

,

;

(

dla x



0, 1, 2,…, n.

Zm. l. X o rozkładzie B(n, p) zlicza liczbę sukcesów (jedy-

nek), w ciągu n niezależnych doświadczeń, których modelem
jest proces Bernoulliego.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

30

Rys. 1. Łamane funkcji prawdop. rozkładów dwumianowych

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

31

Własności

1. Jeżeli X

i

~ B(p) dla i



0, 1, 2,…, n jest ciągiem zm. l.

iid o tym samym rozkładzie Bernoulliego, to ich suma

Y

n



X

1



X

2



…



X

n

ma rozkład dwumianowy Y

n

~ B(n, p).

2. Jeżeli X ~ B(n, p), to E(X)



np, D

2

(X)



np(1



p),





0

0

)

1

(

)

1

(

dla

dla

,

1

)

1

(

,

)

1

(

,

)

1

(

)

(

N

N



























p

n

p

n

p

n

p

n

p

n

X

mo

,

gdzie symbol

 

x

oznacza część całkowitą z liczby x.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

32

12. Rozkład jednostajny i jego własności

Zm. l. X:





(a, b) ma

rozkład jednostajny

na przedziale

[a, b]

(

uniform distribution

), co oznaczamy X·~ U(a, b), je-

żeli jej gęstość prawdop. (PDF) wyraża się wzorem

).

,

(

),

,

(

dla

dla

0

1

)

,

;

(

b

a

x

b

a

x

a

b

b

a

x

f

U

















Własności.

Niech X

k

~ U(a, b) dla k



1, 2,… wówczas

)

1

)(

(

)

(

E

1

1













k

a

b

a

b

X

k

k

k

,

stąd E(X)



(a



b)/2, D

2

(X)



(b



a)

2

/12.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

33

13. Rozkład normalny i jego własności

Zm. l. X typu ciągłego ma

rozkład normalny

z parametra-

mi m i



(m



R,



> 0), co oznaczamy X ~ N(m,



), jeśli



























2

2

2

)

(

exp

2

1

)

,

;

(

m

x

m

x

f

N

, x



R.

Gęstość rozkładu normalnego została zaproponowana

przez

Gaussa

2

, jako model rozkładu częstości błędów pomia-

2

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)



matematyk niemiecki. Jeden z najwybitniejszych matematyków wszystkich

czasów, zwany przez współczesnych książę matematyków. Profesor uniwersytetu w Getyndze.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

34

rowych. Na jego cześć krzywe gęstości rozkładów normal-
nych nazywamy

krzywymi Gaussa.

Rys. 3 Krzywe Gaussa.

Gęstość osiąga maksimum w punkcie x



m, natomiast dla

x



m





ma punkty przegięcia.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

35

Własności: Jeżeli X ~ N(m,



), to E(X)



m, D

2

(X)





2

.

Rys. 4. Wykresy dystrybuant rozkładów normalnych

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

36

Przykład 6. Wytrzymałość lin stalowych (wyrażona w
[MPa]), pochodzących z masowej produkcji, jest zm. l. W i
PDF dana jest wzorem:

























50

)

100

(

exp

2

1

)

,

;

(

2

w

m

w

f

, w



R.

Ile wynoszą średnia i wariancja wytrzymałości lin.
Odp.: E(W)



100 MPa, D

2

(W)



25 [MPa]

2

.

Zastosowanie rozkładu normalnego

Rozkład normalny jest najważniejszym i najczęściej sto-

sowanym rozkładem w MP i SM oraz najczęściej stosowa-
nym rozkładem w zastosowaniach inżynierskich i ekono-
micznych.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

37

Standaryzowany rozkład normalny

Jeśli X ~ N(m,



) i zm. l. X poddamy standaryzacji Z, to Z~

N(0, 1). Rozkład N(0, 1) nazywamy

standardowym rozkła-

dem normalnym

.

Dystrybuanta stand. rozkładu normalnego

jest oznaczana



i ma postać

dx

x

z

z

























2

exp

2

1

)

(

2



, z



R.

Z symetrii gęstości stand. rozkładu normalnego względem osi
Oy wynika zależność:



(



z)



1





(z).

Wartości funkcji



są stablicowane. Dla X ~ N(m,



) ko-

rzystamy z tej tablicy po jej standaryzacji.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

38

Przykład 7. Wytrzymałość W (w [MPa]) lin stalowych, po-
chodzących z pewnej partii, ma rozkład jak w przykładzie 6.
Obliczyć prawdop. zdarzenia, że losowo wybrana lina z tej
partii będzie miała wytrzymałość większą niż 105 [MPa],

Rozwiązanie.

Z praw wielkich liczb możemy przyjąć, że czę-

stość przyjmowania wartości z przedziału (



; w) jest równa

prawdop. przyjmowania wartości z tego przedziału.

Obliczamy prawdop. zdarzenia W > 105 [MPa]































5

100

105

5

100

P

1

)

105

P(

1

)

105

(

P

W

W

W

)

1

(

1

)

1

(

P

1













Z

.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

39



(w) odczytujemy z tablic lub obliczamy komputerowo.

Otrzymujemy



(1)



0,8413. Stąd prawdop., że losowo wy-

brana lina z rozważanej partii ma wytrzymałość większą niż
105 [MPa] wynosi 0,1587.

Kwantyle rozkładu normalnego

Niech F

X

(x; m,



) będzie CDF zm. l. X ~ N(m

X

,



X

).

Kwantyle zm. l. X wyznaczamy za pomocą funkcji kwanty-
lowej F

X



1

(p; m,



), która dla p



(0, 1) jest określona wzorem:

F

X



1

(p; m,



)



m

X





X





1

(p),

gdzie





1

(p) jest funkcją kwantylową rozkładu N(0, 1).

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

40

Ponieważ





1

(p)







1

(1



p),

więc wystarczy znać wartości tej funkcji dla p



(0,5; 1).

Wartości funkcji odwrotnej





1

podobnie jak samej dys-

trybuanty



są zestawiane w tablicach statystycznych. Często

stosowane kwantyle są zestawione w tablicy kwantyli.

p 0,75

0,90

0,95

0,975 0,99

0,995 0,999

z

p

0,6745 1,2816 1,6449 1,9600 2,3263 2,5758 3,0902

Tablica. Wybrane kwantyle rozkładu N(0, 1)

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

41

Przykład 8. Zużycie paliwa niezbędnego do przebycia przez
odrzutowiec odległości między dwoma miastami jest zm. l. X
o rozkładzie normalnym ze średnią m



5,7 ton i odchyleniu

standardowym





0,5 tony. Linia lotnicza chce ustalić taką

ilość paliwa, przy zatankowaniu której prawdop. dotarcia do
miejsca przeznaczenia wynosiłoby ponad 0,99.

Rozwiązanie.

Wiemy, że X ~ N(5,7; 0,5) [ton].

Mamy znaleźć taką wartość x dla której P(X < x)



0,99,

czyli kwantyl rzędu 0,99, tj. x

0,99

.

Kwantyl ten wyznaczamy z zależności

x

0,99



m

X





X

z

0,99

.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

42

Ponieważ m

X



5,7;



X



0,5, z

0,99







1

(0,99)



2,3263, więc

x

0,99



6,86315 ton.

Należy zatankować 6,9 ton paliwa, gdyż daje to co najmniej
99% pewność, że wystarczy paliwa na cały lot.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

43

Przykład projektu zaliczeniowego

Uwaga. Należy przytaczać wzory i składnie funkcji wykorzystywanych w roz-
wiązaniach. Udzielać pełnych odpowiedzi. Sporządzić tabelę ocen według
wzoru. W przypadku braku rozwiązania etapu, pod jego numerem, w polu
„uzyskano” wpisać „0”.

Etap

1 2 3 4 5 6 7 Łącznie

do uzyskania 1 2 3 1 2 1 3

13

uzyskano

Długość X (w mm) detalu produkowanego na pewnym automacie jest zmienną
losową o gęstości prawdopodobieństwa

R

























x

x

x

f

X

,

08

,

0

)

20

(

exp

2

1

)

(

2

,

1. Rozpoznać rozkład długości detalu i ustalić parametry rozkładu.

2. Wyznaczyć współczynnik zmienności i drugi moment zwykły długości deta-

lu.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II

44

3. Obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń:





01

,

0

98

,

19





X

,











m

X

.

4. Obliczyć

dla

jakiej

wartości

stałej

b

zachodzi

równość

90

,

0

)

(

05

,

0







b

X

x

P

.

5. Wyznaczyć kwartyle długości detalu oraz obliczyć gęstości dla nich.

6. Wyznaczyć przedział, w którym mieści się 95% produkowanych detali, po

złomowaniu 5% detali o największej odchyłce długości od wymiaru prze-
ciętnego.

7. Detal spełnia normę długości, jeśli jego długość mieści się w przedziale

(19,6; 20,4). W celu sprawdzenia dokładności produkcji zmierzona zostanie
długość partii 180 losowo wybranych detali.
a) Wprowadzić zmienną losową opisującą wynik sprawdzenia normy długości

badanej partii detali i podać jej rozkład.

b) Obliczyć prawdop. zdarzenia, że w badanej partii detali, co najmniej 175 z

nich spełni normę długości.

c) Wyznaczyć dominantę liczby detali, które spełnią normę długości i praw-

dopodobieństwo dla niej.