Łukasz Czech

4 marca 2013 r.

Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 17

Zadanie 1 Oblicz długości przekątnych równoległoboku zbudowanego na wektorach:

~a = 2~

p + ~

q i ~b = ~

p − 2~

q, gdzie k~

pk = 1, k~

qk = 2 oraz ](~p, ~q) =

π

3

.

Zadanie 2 Zbadaj wzajemne położenie prostych:

l

1

:







x + 2y − z + 1 = 0

x − 3y − z − 5 = 0

oraz

l

2

:







x − 2y − 3z + 1 = 0

2x + y + 5z = 0

Zadanie 3 Znajdź trójkąt symetryczny do trójkąta A = (1, −3, 2), B = (5, −1, 0), C =
(−2, 0, 0) względem płaszczyzny o równaniu x − 2y + z + 5 = 0.

Zadanie 4 Znajdź równanie rzutu prostej: l :







5x − 4y − 2z − 5 = 0

x + 2z − 2 = 0

na płaszczyznę

π : 2x − y + z + 1 = 0.

Zadanie 5 Znajdź prostą l przechodzącą przez punkt P = (0, 1, 0) i przecinającą proste:

l

1

:



















x = 1

y = 2t
z = t

oraz

l

2

:



















x = −s

y = 0
z = s

gdzie

t, s ∈ R

Zadanie 6 Niech f : R

2

→ R

2

polega na rzutowaniu płaszczyzny na prostą y = x.

Wskazać wartości własne i podprzestrzenie własne na drodze geometrycznej, a następnie
posługując się metodą analityczną.