KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Ćwiczenie 9

Repetytorium

Zad. 9.1
Dla dźwigara załamanego w planie wyznaczyć kąt obrotu węzła (1) przyjmując 4

s

GI

EI

=

.

Rys. 9.1.1

Wykresy M i

s

M od obciążenia zewnętrznego

Rys. 9.1.2

Wykresy M i

s

M od jednostkowego obciążenia wirtualnego

Rys. 9.1.3

Obliczenie kąta obrotu:

M

s

ϕ ϕ

ϕ

=

+

2

1

1

2 1

2

2 2

3 2

6

M

l

MM

Pl

ds

l

EI

EI

EI

ϕ

=

=

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ =

∫

Pl

2

2

1

1

4

s

s

s

s

s

s

l

M M

Pl

Pl

ds

P l l

GI

GI

GI

EI

ϕ

=

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

=

∫

2

2

1 1

5

4 6

12

Pl

Pl

EI

EI

ϕ

⎛

⎞

=

+

=

⎜

⎟

⎝

⎠

C16-2005-cw09

76

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 9.2

Obliczyć wartość siły S we wskazanym pręcie kratownicy przy ogrzaniu zaznaczonych prętów
o wielkość . Dane:

o

t

,

,

t

EA l

α

.

Rys. 9.2.1

Stopień statycznej niewyznaczalności układu

2

3 8 2 5

n

r

p

w

1

= + −

= + − ⋅ =

Przyjmujemy układ podstawowy metody sił wg rysunku

Rys. 9.2.2

Siły w prętach układu podstawowego wywołane stanem

1

1

X

=

Rys. 9.2.3

Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym

8

10

1

0

0

0

1

2

2

2

i

i

t

i

t

t

i

S

t

l

t

l

t l

δ

α

α

α

=

⎛

⎞

=

⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ −

⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

∑

2

- wywołane nadliczbową

1

1

X

=

(

8

1

1

11

1

1

1

2

4

2 1

2

1

2

i

i

i

i

i

S S

l

l

l

l

EA

EA

EA

δ

=

⎛

⎞

=

=

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=

+

⎜

⎟

⎝

⎠

∑

)

2

Z równania zgodności przemieszczeń:

1

10

11

1

0

X

δ

δ

δ

=

+

=

otrzymujemy

(

)

10

0

1

0

11

2

2

1

2

2

1

2

t

t

t l

S

X

t EA

l

EA

δ

α

α

δ

⎛

⎞

=

= −

=

=

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

+

C16-2005-cw09

77

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 9.3

Stosując metodę sił sporządzić wykresy sił wewnętrznych.

Rys. 9.3.1

Stopień statycznej niewyznaczalności układu

1

n

=

Przyjmujemy układ podstawowy metody sił wg rysunku

Rys. 9.3.2

Stan

1

1

X

=

Rys. 9.3.3

Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym:

10

1

δ

ϕ

= − ⋅

- wywołane nadliczbową

:

1

1

X

=

1

1

11

1 1

2

1

1

2

3

3

L

M M

l

ds

l

EI

EI

EI

δ

=

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

∫

Równanie zgodności przemieszczeń

1

10

11

1

0

X

δ

δ

δ

=

+

=

otrzymujemy

10

1

11

3EI

X

l

δ

ϕ

δ

= −

=

Rozwiązanie:

Rys. 9.3.4

C16-2005-cw09

78

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 9.4

Rozwiązać układ metodą sił i metodą przemieszczeń.

Rys. 9.4.1

M

ETODA SIŁ

Stopień statycznej niewyznaczalności układu

1

n

=

Przyjmujemy układ podstawowy metody sił wg rysunku

Rys. 9.4.2

Zakładamy, że obciążenie zewnętrzne (moment skupiony) działa po lewej stronie przegubu.

Stan obciążenia zewnętrznego

Rys. 9.4.3

Stan

1

1

X

=

Rys. 9.4.4

Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym:

0

1

10

1

1

2

14

14 6

1

2

2

3

L

M M

ds

EI

EI

EI

δ

=

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫

=

- wywołane nadliczbową

:

1

1

X

=

1

1

11

1

1

2

1 1

2

7

6 1

1

4 1

1

2

2

3

2

3

3

L

M M

ds

EI

EI

EI

EI

δ

=

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

∫

Z równania zgodności przemieszczeń

1

10

11

1

0

X

δ

δ

δ

=

+

=

otrzymujemy

10

1

11

6 [

]

X

kNm

δ
δ

= −

= −

C16-2005-cw09

79

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Rozwiązanie:

Rys. 9.4.5

M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny.

Momenty wyjściowe są zerowe (brak obciążeń przęsłowych)

Momenty przywęzłowe pochodzące od kąta obrotu

1

ϕ

= :

Rys. 9.4.6

Sumaryczne momenty przywęzłowe:

1

1

;

0,75

A

B

M

EI

M

EI

ϕ

ϕ

=

=

Równanie równowagi :

Rys. 9.4.7

1

1

1

14 0

A

B

M

M

M

Σ

=

+

+

=

Stąd:

8

1,75

14 0

EI

EI

ϕ

ϕ

+

=

⇒

= −

Wartości momentów przywęzłowych:

1

1

8 [

]

6 [

]

A

B

M

kNm

M

kNm

= −
= −

Rozwiązanie:

Rys. 9.4.8

C16-2005-cw09

80

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 9.5

Rozwiązać układ stosując metodę przemieszczeń.

2

5

1

40000

;

20

0, 2 ;

10

deg

o

A B

d

g

t

EI

kNm

t

t

t

C

h

m

α

−

−

−

⎡

⎤

⎡

=

∆

= − =

=

=

⎣

⎦

⎣

⎤⎦

Rys. 9.5.1

Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny.

Schemat geometrycznie wyznaczalny z obciążeniem zewnętrznym:

Rys. 9.5.2

Moment wyjściowy:

5

0

3

10

20

6000

60 [

]

2

0, 2

t

BA

t

M

EI

kNm

h

α

−

∆

⋅

=

=

⋅

=

Momenty przywęzłowe wywołane jednostkowym wymuszeniem

1

ϕ

= :

Rys. 9.5.3

Sumaryczne momenty przywęzłowe:

60 0,6

;

BA

BC

M

EI

M

EI

ϕ

ϕ

=

+

⋅

=

Równanie równowagi :

0

B

BA

BC

M

M

M

Σ

=

+

=

Stąd:

37,5

60 1,6

0

EI

EI

ϕ

ϕ

+

=

⇒

= −

Wartości momentów przywęzłowych:

60 22,5 37,5 [

]

37,5 [

]

BA

BC

M

kNm

M

kNm

=

−

=

= −

Rozwiązanie:

Rys. 9.5.4

C16-2005-cw09

81