KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Ćwiczenie 8

Zad. 8.1
Wyznaczyć siły wewnętrzne powstałe na skutek wmontowania pręta A-1 dłuższego o

3[

]

l

cm

∆ =

.

2

1400 [

]

EI

kNm

=

Rys. 8.1.1

Stopień geometrycznej niewyznaczalności układu

1( )

g

n

ϕ

=

Schemat geometrycznie wyznaczalny:

Rys. 8.1.2

Momenty wyjściowe:

0

1

2

2

3

3 1400

0,03

14 [

]

3

3

B

EI

M

l

k

⋅

⋅

= −

⋅ ∆ = −

⋅

= −

Nm

Momenty przywęzłowe powstałe na skutek kąta obrotu

1

ϕ

= :

Rys. 8.1.3

Sumaryczne momenty przywęzłowe:

1

1

1

4
3

14

2
3

A

B

A

M

EI

M

EI

M

EI

ϕ

ϕ

ϕ

=

= − +

=

C16-2005-cw08

64

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Równanie równowagi :

1

1

1

0

A

B

M

M

M

Σ

=

+

=

Stąd:

7

6

14

0

3

EI

EI

ϕ

ϕ

− +

=

⇒

=

Wartości momentów przywęzłowych:

1

1

1

4

6 8 [

]

3

14 6

8 [

]

2

6 4 [

]

3

A

B

A

M

kNm

M

kNm

M

kNm

= ⋅ =

= − + = −

= ⋅ =

Rozwiązanie:

Rys. 8.1.4

C16-2005-cw08

65

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 8.2
Wyznaczyć siły wewnętrzne powstałe na skutek równomiernego ogrzania jednego z elementów.

2

5

1

10000 [

],

10

t

o

EI

kNm

C

α

−

⎡

⎤

=

=

⎢

⎥

⎣

⎦

Rys. 8.2.1

Stopień geometrycznej niewyznaczalności układu

1( )

g

n

ϕ

=

Wydłużenie termiczne elementu 1-B:

5

4

0

10

20 3 6 10 [ ]

t

t

l

t l

α

−

−

∆ =

⋅ ⋅ =

⋅

⋅ = ⋅

m

Schemat geometrycznie wyznaczalny:

Rys. 8.2.2

Momenty wyjściowe:

0

4

1

2

2

0

0

4

1

1

2

3

3 10000

6 10

2 [

]

3

3

6

2

6 20000

6 10

4,5 [

]

4

16

A

t

C

C

t

EI

M

l

kNm

E

I

M

M

l

−

−

⋅

⋅

= −

⋅ ∆ = −

⋅ ⋅

= −

⋅

⋅

=

=

⋅ ∆ =

⋅ ⋅

=

kNm

C16-2005-cw08

66

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Momenty przywęzłowe:

1

1

1

1

3

2

2

3

3

2

2

3

4

2

4,5

4,5 2

4

2

2

4,5

4,5

4

A

B

C

C

EI

M

E

E

I

M

EI

E

I

I

M

EI

E

I

M

EI

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

= − +

= − +

⋅

=

=

⋅

=

+

=

+

⋅

=

+

=

+

Równanie równowagi :

1

1

1

1

0

A

B

C

M

M

M

M

Σ

=

+

+

=

Stąd:

1

2,5 5

0

2

EI

EI

ϕ

ϕ

+

=

⇒

= −

Wartości momentów przywęzłowych:

1

1

1

1

2 0,5

2,5 [

]

1[

]

4,5 1 3,5 [

]

4,5 0,5 4 [

]

A

B

C

C

M

kNm

M

kNm

M

k

M

k

= − −

= −

= −
=

− =

=

−

=

Nm

Nm

Rozwiązanie:

Rys. 8.2.3

C16-2005-cw08

67

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 8.3
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych N, T, M.(pręty A-1 i 1-C mają jednakowy przekrój)

Rys. 8.3.1

Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny.

1( )

g

n

ϕ

=

Brak momentów wyjściowych – nie ma obciążenia przęsłowego.

Wpływ kąta obrotu

1

ϕ

= :

Rys. 8.3.2

Momenty przywęzłowe pochodzące od kata obrotu

1

ϕ

= :

1

1

1

1

1

3

2

A

B

C

C

M

EI

M

EI

M

EI

M

EI

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

=

=

ϕ

Równanie równowagi :

Rys. 8.3.3

1

1

1

1

1

1

1

0

lub

A

B

C

A

B

C

M

M

M

M

M

M

M

M

M

Σ

= −

−

−

+

=

+

+

=

Stąd:

7

5

35 0

EI

EI

ϕ

ϕ

−

=

=

C16-2005-cw08

68

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Inna interpretacja:
Dodatkowy element 1-3 obciążony momentem skupionym M , powstaje moment wyjściowy

13

M

M

= −

Rys. 8.3.4

Wartości momentów przywęzłowych:

1

1

1

1

7 [

]

21[

]

7[

]

3,5 [

]

A

B

C

C

M

kNm

M

kNm

M

kNm

M

kNm

=
=
=
=

Rys. 8.3.5

Rozwiązanie M, T:

Rys. 8.3.6

C16-2005-cw08

69

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Siły normalne w elementach A-1 i 1-C:

Przyjmujemy że siła

jest rozciągająca, zaś siła

ściskająca.

1A

N

1C

N

Rys. 8.3.7

Równanie równowagi:

1

1

0

7

y

A

C

P

N

N

∑

= ⇒

+

=

(1)

Warunek zgodności przemieszczeń:

1

1

1

1

1

1

4

3

3

4

(

C

A

A

C

A

C

N

N

l

l

N

N

EA

EA

2)

⋅

⋅

∆

= ∆

⇒

=

=

Z (1) i (2) mamy:

[ ]

1

1

1

4
3[

]

2,625 2,333 0, 2917 [

]

A

C

B

N

kN

N

kN

N

k

=

=

=

−

=

N

Rys. 8.3.8

C16-2005-cw08

70

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 8.4
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych

Rys. 8.4.1

Układ jest dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalny, przesuwny.

2( , )

g

n

ϕ

=

∆

Schemat geometrycznie wyznaczalny z obciążeniem zewnętrznym:

Rys. 8.4.2

Momenty wyjściowe:

2

0

1

0

1

3 4

4 [

]

12

4 [

]

A

A

M

kNm

M

kNm

⋅

= −

= −

=

Momenty zginające wywołane jednostkowymi wymuszeniami

1

1

i

ϕ

=

∆ =

Rys. 8.4.3

W obliczeniach przyjmujemy EI=1.
Momenty przywęzłowe:

1

1

1

3

4 0,5

8

3

4

8

A

A

B

M

M

M

ϕ

ϕ

ϕ

= − +

− ∆

= + − ∆

=

Równania równowagi :

(1)

1

1

1

3

0

2

4 0

16

3

32

8

A

B

M

M

M

ϕ

ϕ

Σ

=

+

=

⇒

− ∆ + =

⇒

− ∆ = −

(1)

(2) Równowaga sił w elemencie 1-B w kierunku przesuwu

C16-2005-cw08

71

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Rys. 8.4.4

0

0

1

1

1

1

1

1

1

,

6

4

3

3

6

8

16

3

3

0

2 0

8

8

16

6

3

128 (2)

A

A

A

A

A

A

x

A

M

M

T

T

T

T

P

T

ϕ

ϕ

ϕ

+

=

+

=

=

−

∆ +

Σ = ⇒

+ = ⇒

−

∆ + =

− ∆ = −

0

Równanie (2) można otrzymać tworząc układ przegubowy (mechanizm) i zadając w nim
przemieszczenie wirtualne

1

∆ =

Rys. 8.4.5

Równanie równowagi wyciętego elementu 1 – B:

1

0

1 2 1 0

x

A

P

T

= ⇒

⋅ + ⋅ =

∑

1A

(T - od strony węzła)

Po podstawieniu

1

1

1

6

4

A

A

A

M

M

T

+

=

+ otrzymujemy (2)

Do tego samego rezultatu można dojść wprowadzając kąt obrotu pręta A-1:

1

1
4

A

−

Ψ

= i zapisując

równanie pracy wirtualnej:

1

1

1

1

(

) 2 1 3

1 4 0

2

A

A

A

M

M

−

Ψ

⋅

+

+ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

⇒ (2)

Z (1) i (2)

9,6

61,8667

ϕ

⇒

=

∆ =

Wartości momentów przywęzłowych:

1

1

1

4 4,8 23, 2

22, 4 [

]

4 9,6 23, 2

9,6 [

]

9,6 [

]

A

A

B

M

kNm

M

k

M

kNm

= − +

−

= −

= +

−

= −

= −

Nm

Rys. 8.4.6

C16-2005-cw08

72

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Rozwiązanie:

Rys. 8.4.7

Zad. 8.5
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych N, T, M

Rys. 8.5.1

Układ jest trzykrotnie geometrycznie niewyznaczalny.

1

2

3( , , )

g

n

ϕ ϕ

=

∆

Rys. 8.5.2

Momenty wyjściowe:

0

1

0

1

12 4

6 [

]

8

6 [

]

A

A

M

kNm

M

kNm

⋅

= −

= −

=

Momenty przywęzłowe wywołane stanami:

1

2

1,

1,

1

ϕ

ϕ

=

=

∆ = :

Rys. 8.5.3

C16-2005-cw08

73

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Momenty przywęzłowe:

1

1

1

1

12

1

2

21

1

2

2

2

6 0, 4

0,3

6 0,8

0,3

2

0,75

2

0,75
3

0, 75

16

A

A

B

M

M

M

M

M

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

= − +

−

∆

= +

−

∆

=

+

+

∆

=

+

+

∆

=

−

∆

Równania równowagi :
(1)

1

1

12

1

2

0

2,8

0, 45

6

A

M

M

M

(1)

ϕ ϕ

Σ

=

+

=

⇒

+

+

∆ = −

(2)

2

21

2

1

2

9

24

2,75

24 (2)

16

B

M

M

M

M

ϕ

ϕ

Σ

=

+

=

=

⇒

+

+

∆ =

(3) Tworzymy układ przegubowy i zadajemy przemieszczenie wirtualne

1

∆ =

Rys. 8.5.4

1

1

1

1

12

21

12

1

2

2

2

2

4,8 0, 24

0,12

4,8

5

0,5

3

3

3

4

16

64

A

A

A

B

B

M

M

T

M

M

T

M

T

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

+

=

+

=

−

∆

+

=

=

+

+

∆

=

=

−

∆

+

Równanie pracy wirtualnej:

1

12

2

5

3

1 0

4

4

A

B

T

T

T

⋅ −

⋅ +

⋅ =

(zwrot sił – od strony węzłów, w przypadku braku obciążenia węzłowego można podstawić siły T
od strony elementów)
Po podstawieniu otrzymujemy:

1

2

9

183

0, 45

6 (3)

16

320

ϕ

ϕ

+

+

∆ =

Inny wariant: obliczamy kąty obrotu poszczególnych prętów układu przegubowego (mechanizmu)

Rys. 8.5.4

C16-2005-cw08

74

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Równanie pracy wirtualnej:

1

1

21

12

2

1

1

21

12

2

1

2

1

1

1

(

)

(

)

12 0,

4

4

4

1

(

) 6

4

9

183

0, 45

6 (3)

16

320

A

A

B

A

A

B

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

ϕ

ϕ

+

−

+

+

+ ⋅

=

+

−

−

+

+ =

+

+

∆ =

5 0

0

Po rozwiązaniu układu równań (1), (2), (3) otrzymujemy:

1

2

6,64506,

9,92489,

5,95861

ϕ

ϕ

= −

=

∆ =

Momenty przywęzłowe:

1

1

12

21

2

10, 4456 [

]

1,1036 [

]

1,1036 [

]

17,6736 [

]

6,3264 [

]

A

A

B

M

kNm

M

kNm

M

kNm

M

kNm

M

kN

= −
= −

=
=

=

m

Rozwiązanie:

Rys. 8.3.6

C16-2005-cw08

75