KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Ćwiczenie 6

Zad. 6.1
Obliczyć siły w prętach kratownicy powstałe na skutek równomiernego ogrzania zaznaczonych
prętów o wielkość względem temperatury montażu.

o

t

Rys. 6.1.1

Pola przekrojów prętów poziomych i pionowych równe są

A

, prętów ukośnych - równe

2

A

.

Dane :

4

1

30

2 10 [deg ]

7000

3 [ ]

o

o

t

t

C

EA

kN

a

α

−

−

=

= ⋅

=

= m

Układ podstawowy metody sił (na rysunku podana numeracja prętów):

Rys. 6.1.2

Siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem

1

1

X

=

Rys. 6.1.3

C16-2005-cw06

44

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Przemieszczenia w układzie podstawowym (obliczenia w tabelce):

Rys. 5.1.4

Przemieszczenie pionowe w punkcie C wywołane równomiernym ogrzaniem:

5

4

10

1

1

2 10

180 0,036 [ ]

i

ti

oi i

i

S

t l

δ

α

−

=

=

⋅

⋅

= ⋅

⋅

=

∑

m

Przemieszczenie pionowe w punkcie C wywołane obciążeniem

1

1

X

=

2

5

1

11

1

21

0,003

i

i

i

i

S

m

l

EA

EA

kN

δ

=

⎡

=

⋅ =

=

⎢⎣ ⎦

∑

⎤

⎥

Z równania zgodności przemieszczeń

1

10

11

1

0

X

δ

δ

δ

=

+

=

otrzymujemy

1

12 [

]

X

kN

= −

.

Rozwiązanie:

Rys. 6.1.5

Inny sposób:

0

1

i

i

i

S

S

S

X

=

+

⋅

1

W przypadku oddziaływania pozastatycznego (temperatury) zachodzi

, więc

0

oi

S

=

1

1

1

12

[

]

i

i

i

S

S

X

S

kN

=

⋅

= −

C16-2005-cw06

45

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 6.2
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych w belce ciągłej.

Rys. 6.2.1

Układ jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalny.

Układ podstawowy metody sił

Rys. 6.2.2

Momenty zginające w układzie podstawowym w poszczególnych stanach:

- stan obciążenia zewnętrznego

Rys. 6.2.3

- stany

oraz

:

1

1

X

=

2

1

X

=

Rys. 6.2.4

Równania zgodności przemieszczeń - układ równań (1):

C16-2005-cw06

46

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

- zmiana kąta obrotu w p.1 :

10

11

1

12

2

0

X

X

δ

δ

δ

+

⋅

+

⋅

=

- zmiana kąta obrotu w p.2 :

20

21

1

22

2

0

X

X

δ

δ

δ

+

⋅

+

⋅

=

Wyznaczenie współczynników układu równań:

1

10

1 1

1 2

9 1

1

1

31,75

6 9

3

8 16

2

2 3

2 4

2

2

o

L

M M

ds

EI

EI

EI

EI

δ

⎡

⎤

=

=

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

+

⋅ ⋅ ⋅

=

⎢

⎥

⎣

⎦

∫

2

20

1

1

1

1 1

1

24

8 16

4 12

1

2

2

2

2

3

o

L

M M

ds

EI

EI

EI

EI

δ

=

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫

=

1

1

1

2

2

2

11

12

21

22

10

2

8

;

;

3

3

L

L

L

M M

M M

M M

ds

ds

ds

EI

EI

EI

EI

EI

EI

δ

δ

δ

δ

=

=

=

=

=

=

=

∫

∫

∫

Z układu równań (1) otrzymujemy :

1

2

8,1316 [

]

6,9671[

]

X

kNm

X

kNm

= −

= −

Rozwiązanie:

Rys. 6.2.5

Wykresy - do samodzielnego wykonania.

C16-2005-cw06

47

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 6.3
Sporządzić wykres momentów zginających powstałych w układzie pod wpływem przemieszczenia
podpory B. Dane:

, ,

a

E

∆ I

Rys. 6.3.1

Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.

Układ podstawowy metody sił przedstawiono na rys. 6.3.2 -
nadliczbową jest moment zginający w p.1

Rys. 6.3.2

Momenty zginające w układzie podstawowym wywołane działaniem nadliczbowej

1

1

X

=

Rys. 6.3.3

Przemieszczenia uogólnione w układzie podstawowym:

- zmiana kąta obrotu w p.1 wywołana przemieszczeniem podpory

10

1

1

3

3

i

i

i

R

a

a

δ

∆

⎛

⎞

= −

∆

= −∆ ⋅ −

=

⎜

⎟

⎝

⎠

∑

- zmiana kąta obrotu w p.1 wywołana działaniem nadliczbowej

1

1

X

=

1

1

11

1 1

2

1

2

8

5 1

1

3 1

1

2

3

2

3

3

L

M M

a

ds

a

a

EI

EI

EI

δ

⎛

⎞

=

=

⋅

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

Z równania zgodności przemieszczeń obliczamy

1

2

8

EI

X

a

⋅ ∆

= −

C16-2005-cw06

48

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Rozwiązanie:

0

1

1

M

M

M X

=

+

0

M

−

momenty

wywołane oddziaływaniem zewnętrznym – zerowe

1

M

−

momenty

wywołane obciążeniem

1

1

X

=

Rys. 6.3.4

Zad. 6.4
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych powstałych w układzie ramowym na skutek wmontowania
pręta A-1 dłuższego o

. Przyjąć

3

l

cm

∆ =

2

1400

EI

kNm

const

=

=

Rys. 6.4.1

Stopień statycznej niewyznaczalności (n=2).
Układ podstawowy metody sił:

Rys. 6.4.2

Układ podstawowy poddany działaniu nadliczbowej

1

1

X

=

Rys. 6.4.3

C16-2005-cw06

49

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Układ podstawowy poddany działaniu nadliczbowej

2

1

X

=

Rys. 6.4.4

Kąt obrotu w p. A w poszczególnych stanach:
- oddziaływanie zewnętrzne (imperfekcja):

(1)

10

1

0

A

l N

δ

−

= ∆ ⋅

=

- stan

:

1

1

X

=

1

1

11

1 1

2

1

1 3

1

2

3

L

M M

ds

EI

EI

EI

δ =

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫

=

-

:

2

1

X

=

1

2

12

1 1

1

1

1 3

1

2

3

2

L

M M

ds

EI

EI

EI

δ =

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

∫

Zmiany katów obrotu p. 1 w poszczególnych stanach
- oddziaływanie zewnętrzne (imperfekcja)

(2)

20

1

1

0,03

0,01

3

A

l N

m

δ

−

= ∆ ⋅

=

⋅ =

-

:

1

1

X

=

2

1

21

1

2

L

M M

ds

EI

EI

δ =

=

∫

-

:

2

1

X

=

2

2

22

1

1

2

2

2

3 1

1

2

3

L

M M

ds

EI

EI

EI

δ =

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫

=

0

Równania zgodności przemieszczeń:
(1)

10

11

1

12

2

1

2

0

2

X

X

X

X

δ

δ

δ

+

⋅

+

⋅

=

⇒

+

=

(2)

20

21

1

22

2

1

2

0

4

X

X

X

X

28

δ

δ

δ

+

⋅

+

⋅

=

⇒

+

= −

Stąd

1

2

4

,

8

X

kNm

X

kNm

=

= −

Rozwiązanie:
układ podstawowy poddany działaniu nadliczbowych (brak zewnętrznego obciążenia czynnego)

Rys.6.4.5

C16-2005-cw06

50

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 6.5 (*zadanie dodatkowe)
Obliczyć siły w prętach podpierających sztywną tarczę.

Rys. 6.5.1

Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.

Układ podstawowy metody sił:

Rys. 6.5.2

Rozwiązania w układzie podstawowym:
- siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem zewnętrznym

Rys. 6.5.3

- siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem

1

1

X

=

Rys. 6.5.4

C16-2005-cw06

51

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Obliczenie przemieszczeń w układzie podstawowym przy pomocy tabelki:

Rys. 6.5.5

Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym:

4

1

10

1

oi

i

i

i

i

S S

Pl

l

EA

EA

δ

=

=

=

∑

−

- wywołane nadliczbową

:

1

1

X

=

4

1

1

11

1

6

i

i

i

i

i

S S

l

l

EA

EA

δ

=

=

=

∑

Z równania zgodności przemieszczeń

1

10

11

1

0

X

δ

δ

δ

=

+

=

otrzymujemy

1

6

P

X

=

Rys. 6.5.6

Rozwiązanie otrzymujemy z superpozycji:

0

1

i

i

i

S

S

S

X

1

=

+

⋅

1

2

3

4

6

5

2

2

6

6

7

1

6

6

2

6

P

S

P

S

P

P

P

S

P

P

P

S

=

=

− ⋅

=

= − − ⋅ = −

=

2

C16-2005-cw06

52

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 6.6
Sporządzić wykresy

s

M

i

M

w dźwigarze załamanym w planie. Przyjąć

.

6

s

GI

EI

=

Rys. 6.6.1

Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.

Układ podstawowy metody sił:

Rys. 6.6.2

Rozwiązanie w układzie podstawowym

Układ podstawowy poddany działaniu obciążenia zewnętrznego:

Rys. 6.6.3

Układ podstawowy poddany działaniu nadliczbowej

1

1

X

=

:

Rys. 6.6.4

C16-2005-cw06

53

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Przemieszczenia w układzie podstawowym:

- wywołane obciążeniem zewnętrznym:

( )

2

2

2

0

1

0

1

10

4

4

4

1

2

5

1

2

1

( 2 )

2

2

3 2

8

2

2

3

2

5

1

11

12 3

6

12

s

s

L

L

M M

M M

ql

ql

ql

ds

ds

l

l

l

l

l

l

EI

GI

EI

GI

gl

ql

ql

EI

EI

EI

δ

⎡

⎤

⎛

⎞

=

+

=

⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅ −

+ ⋅ ⋅ −

⋅ ⋅

+

⋅

⋅ ⋅ −

⎢

⎥

⎜

⎟

⎝

⎠

⎣

⎦

⎛

⎞

= −

+

−

= −

⋅

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

∫

=

- wywołane nadliczbową

:

1

1

X

=

1

1

1

1

11

3

3

3

1

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

3

2

3

2 8

4

4

3 3

6

s

s

L

L

M M

M M

ds

ds

l l

l

l l

l

l l

l

EI

GI

EI

GI

l

l

l

EI

EI

EI

δ

⎡

⎤

=

+

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+

⋅ ⋅ ⋅ =

⎢

⎥

⎣

⎦

⎛

⎞

=

+

+

=

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

∫

2

Z równania zgodności przemieszczeń

1

10

11

1

0

X

δ

δ

δ

=

+

=

otrzymujemy

1

11
48

X

ql

=

.

Reakcje podporowe uzyskujemy z superpozycji:

11
48

11

13

2

48

48

11

13

24

24

11

1

2

24

24

A

B

C

D

R

ql

ql

R

ql

q

R

ql

ql

ql

ql

R

ql

=

=

−

=

=

−

=

= −

+

= −

l

ql

Rozwiązanie:

Rys. 6.6.5

C16-2005-cw06

54

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 6.7
Sporządzić wykresy

M

dla rusztu belkowego.

EI

const

=

.

Rys. 6.7.1

Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.

Układ podstawowy metody sił: rozdzielenie obu części układu, siła wzajemnego oddziaływania
(reakcja) jest nadliczbową

1

X

Rys. 6.7.2

Rozwiązanie w układzie podstawowym:

- układ podstawowy poddany działaniu obciążenia zewnętrznego

Rys. 6.7.3

C16-2005-cw06

55

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

- układ podstawowy poddany działaniu nadliczbowej

1

1

X

=

Rys. 6.7.4

Przemieszczenia w układzie podstawowym:

- wywołane obciążeniem zewnętrznym:

2

4

0

1

10

1 1

3

3

2

4

8

L

M M

ql

ql

ds

l

l

EI

EI

EI

δ

⎛

⎞

=

=

⋅ ⋅ ⋅ −

⋅ ⋅ = −

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

- wywołane nadliczbową

:

1

1

X

=

3

1

1

11

1

1

2

1

2

2

2

3

2

2 3 2

2

L

M M

l

l

l

ds

l l

l

l

EI

EI

EI

δ

⎡

⎤

=

=

⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

⎢

⎥

⎣

⎦

∫

Z równania zgodności przemieszczeń

1

10

11

1

0

X

δ

δ

δ

=

+

=

otrzymujemy

1

4

ql

X

=

.

Rozwiązanie:

Rys. 6.7.5

C16-2005-cw06

56