A. Wzór na zespolony pierwiastek kwadratowy (można stosować przy obliczaniu ∆):

Szukamy takich x i y, by dla danej liczby z = a + ib zachodził związek (x + iy)

2

= a + ib.

Wtedy







x

2

− y

2

= a (∗),

2xy = b,

więc







x

4

− 2x

2

y

2

+ y

4

= a

2

,

4x

2

y

2

= b

2

,

skąd po dodaniu obu równań

otrzymujemy (x

2

+ y

2

)

2

= a

2

+ b

2

. Jeśli więc oznaczymy r

2

:= a

2

+ b

2

, to x

2

+ y

2

= r (∗∗).

Po dodaniu (∗) i (∗∗) mamy równanie 2x

2

= r + a, i jeśli przyjmiemy, że x ­ 0, to x =

s

r + a

2

.

Natomiast po odjęciu (∗) od (∗∗) mamy równanie 2y

2

= r −a, skąd y =

s

r − a

2

lub y = −

s

r − a

2

w zależności od znaku b (2xy = b, więc jeśli x > 0, to sgn y = sgn b).

Ostatecznie: jeśli przyjmiemy, że x ­ 0, to dla b ­ 0 x + iy =

s

r + a

2

+ i

s

r − a

2

,

zaś dla b < 0 x + iy =

s

r + a

2

− i

s

r − a

2

. Drugim pierwiastkiem jest oczywiście −x − iy.

B. W ciele liczb zespolonych rozwiązać równania:

1. z

2

− 3z + 3 + i = 0,

2. z

2

+ (1 + 4i)z − (5 + i) = 0,

3. z

2

+ 2(1 + i)z + 2i = 0,

4. z

4

+

√

3z

2

+ 1 = 0,

5. z

4

+ 2z

2

+ 4 = 0,

6. z

4

− (18 + 4i)z

2

+ 77 − 36i = 0,

7. z

4

+ (15 + 7i)z

2

+ 8 − 15i = 0,

8. z

3

+ 3z

2

+ 3z + 3 = 0,

9. z

4

− 4z

3

+ 6z

2

− 4z − 15 = 0,

10. z

3

+ 3iz

2

− 3z − i + 1 = 0.

11. z

4

+ z

2

+ 1 = 0,

12. z

4

− 30z

2

+ 289 = 0.

C. Obliczyć:

1.

1 + i

√

3

1 − i

!

40

,

2. (2 − 2i)

7

= 0,

3. (

√

3 − 3i)

6

,

4.



1 − i

1 + i



8

,

5.

4

√

−1,

6.

√

i,

7.

3

√

i,

8.

4

√

−i,

9.

8

√

−1 + i,

10.

4

q

2 − 2

√

3i.