Zestaw 3.

Liczby zespolone (cz. II)

Zadanie 1.

Poni·

zsze liczby i wyra·

zenia przedstawi´c w postaci trygonometrycznej:

a)

p

3

i;

b)

1 + i tg '; dla ' 2

2

;

2

;

c)

sin '

i cos '; dla ' 2

2

;

2

;

d)

1+i tg '
1 i tg '

; dla ' 2 0;

2

;

e)

6 + 6i;

f )

1

i

1

1+i

:

Zadanie 2.

Poni·

zsze wyra·

zenia sprowadzi´c do postaci algebraicznej (dwumiennej):

a)

(1 + i)

7

;

b)

1 i

p

3+i

6

;

c)

cos

7

+ i sin

7

14

;

d)

1 + cos

3

+ i sin

3

6

;

e)

(1 + i)

7

(2

2i)

4

;

f )

(1 i)

5

1

(1+i)

5

+1

:

Zadanie 3.

Znale´z´c funkci ¾

e ! : R ! R spe÷niaj ¾

ac ¾

a poni·

zsze równanie:

a)

cos 3x = !(cos x);

b)

sin 5x = !(sin x);

c)

ctg 4x = !(ctg x):

Zadanie 4.

Dla n 2 N oraz x 2 R obliczy´c:

a)

1 + cos x + : : : + cos nx;

b)

sin 2x + cos 3x + sin 4x + cos 5x + : : : + sin 2nx + cos (2n + 1) x:

Zadanie 5.

Naszkicowa´c na p÷

aszczy´znie zespolonej poni·

zsze zbiory:

a)

fz 2 C : jz

aj = bg, dla a 2 C; b 2 R,

b)

fz 2 C : 2 < jzj 6 4g,

c)

fz 2 C : jz

aj = jz

bjg, dla a; b 2 C,

d)

fz 2 C : jz

aj + jz

bj = cg, dla a; b 2 C; c 2 R,

e)

fz 2 C : Re (iz + 2) > 0g,

f )

fz 2 C : jz + 1j > 2 ^ Im (z + 1) 6 1g,

g)

z 2 C : arg (z + iz) =

3

2

,

h)

z 2 C :

4

6 arg

i

z

<

2

,

i)

z 2 C : arg z

4

=

,

j)

z 2 C : arg z

3

<

2

.

1

Zadanie 6.

Obliczy´c i zaznaczy´c na p÷

aszczy´znie zespolonej podane pierwiastki

algebraiczne:

a)

3

p

8i;

b)

6

p

27;

c)

4

q

1
2

+

p

3

2

i;

d)

p

7 + 24i,

e)

3

p

z, gdzie 1 + i

p

3

3

p

3

i

6

z = (1 + i)

12

.

Zadanie 7.

Odgaduj ¾

ac jeden z pierwiastków obliczy´c pozosta÷

e:

a)

3

p

27i,

b)

4

q

(2

2i)

12

.

Zadanie 8.

W zbiorze liczb zespolonych rozwi ¾

aza´c równanie:

a)

(z

1)

4

=

1
2

+ i

p

3

2

;

b)

(2z

2)

4

=

3
5

i

4
5

8

;

c)

z

4

2z

2

+ 5 = 0;

d)

(z + 2)

n

(z

2)

n

= 0; n 2 N.

Zadanie 9.

Ile wynosi suma wszystkich pierwiastków algebraicznych stopnia n z 1 ?

Zadanie 10.*

Wykaza´c, ·

ze w ci ¾

agu a

n

=

2+i
2 i

n

; n 2 N nie wyst ¾

epuj ¾

a dwa iden-

tyczne wyrazy.

Zadanie 11.

Jednym z wierzcho÷

ków sze´sciok ¾

ata foremnego jest w

0

=

p

3 + i. Wyz-

naczy´c pozosta÷

e wierzcho÷

ki tego wielok ¾

ata, wiedz ¾

ac ·

ze jego ´srodek le·

zy w:

a)

pocz ¾

atku uk÷

adu wspó÷

rz ¾

ednych,

b)

punkcie s

0

= 2

p

3 + i:

Zadanie 12.

Znale´z´c funkci ¾

e # : C ! C spe÷niaj ¾

ac ¾

a poni·

zsze równanie:

a)

cos x = #(e

ix

);

b)

sin x = #(e

ix

);

c)

tg x = #(e

ix

).

Zadanie 13.

Rozwi ¾

aza´c równanie:

a)

(z)

6

= 4 z

2

,

b)

z

6

jzj

4

= z.

Zadanie 14.

Znale´z´c zale·

zno´s´c, która ÷¾

aczy pi ¾

e´c najwa·

zniejszych sta÷

ych matema-

tycznych:

, e – podstawa logarytmu naturalnego, i – jednostka urojona,

1 –element neutralny mno·

zenia, 0 –element neutralny dodawania

1

.

1

Przez wielu matematyków rozwi ¾

azanie tego zadania jest uznawane za naj÷

adniejszy wzór mate-

matyczny.

2

Odpowiedzi

Zadanie 1:

a) 2 cos

6

+ i sin

6

;

b)

1

cos

(cos

+ i sin ) ;

c) cos

2

+

+ i sin

2

+

;

d) cos 2 + i sin 2 ;

e) 6

p

2 cos

3

4

+ i sin

3

4

;

f)

p

2

2

cos

3

4

+ i sin

3

4

;

Zadanie 2:

a) 8

8i; b)

i

8

; c) 1; d)

27; e) 72

8i; f)

5
3

;

Zadanie 3:

a) $ (t) = 4t

3

3t; b) $ (t) = 16t

5

20t

3

+ 5t; c) $ (t) =

t

4

6t

2

+1

4t(t

2

1)

;

Zadanie 4:

a)

sin

(n+1)x

2

sin

x

2

cos

nx

2

; dla x 6= 2k ; n + 1; dla x = 2k ; k 2 Z;

b)

sin nx

sin x

(sin x (n + 1) + cos x (n + 2)), dla x 6= k ,

1; dla x = k , k 2 Z;

Zadanie 6:

a)

p

3

i;

p

3

i; 2i; b)

i

p

3;

3
2

i

p

3

2

;

3
2

i

p

3

2

;c)

p

3

2

+ i

1
2

;

p

3

2

i

1
2

;

1
2

+ i

p

3

2

;

1
2

i

p

3

2

; d) 3 + 4i;

3

4i; e)

1
2

i;

p

3

4

i

1
4

:

Zadanie 7:

a) 3i;

3

p

3

2

3
2

i;

3

p

3

2

3
2

i; b)

16

16i; 16

16i; 16 + 16i;

16 + 16i;

Zadanie 8:

a) 1 +

q

p

3

4

+

1
2

+ i

q

1
2

p

3

4

; 1

q

1
2

p

3

4

+ i

q

1
2

+

p

3

4

; 1

q

p

3

4

+

1
2

i

q

1
2

p

3

4

; 1 +

q

1
2

p

3

4

i

q

1
2

+

p

3

4

; b)

43
50

24
50

i;

26
50

+

7

50

i;

57
50

+

24
50

i;

74
50

+

7

50

i; c)

q

1+

p

5

2

+i

q

p

5 1

2

;

q

1+

p

5

2

i

q

p

5 1

2

;

q

1+

p

5

2

i

q

p

5 1

2

;

q

1+

p

5

2

+i

q

p

5 1

2

;

d)

2

1+cos

2k

n

+i sin

2k

n

1 cos

2k

n

i sin

2k

n

; k = 1; : : : ; n

1;

Zadanie 9:

0;

Zadanie 11:

a)

2i;

p

3+i;

p

3 i; b)

p

3+1; 3

p

3 + 1;

3
2

p

3+1

3
2

i;

5
2

p

3+1

3
2

i;

Zadanie 12:

a) # (t) =

t+t

1

2

; b) # (t) =

t t

1

2i

; c) # (t) =

1 t

2

1+t

2

i;

Zadanie 13:

a) 0;

p

2e

i

k

3

; k = 0; : : : ; 5; b) e

i

2k

7

; k = 0; : : : ; 13;

Zadanie 14:

e

i

+ 1 = 0.

3