mgr Grzegorz Kusztelak
LICZBY ZESPOLONE - zadania z ODPOWIEDZIAMI
Zadanie 1
Dane są liczby zespolone w poniższej postaci. Wykonaj niezbędne obliczenia a następnie wskaż Re( )
w oraz Im( )
w
i
4 1
( − i
16 ) − 1
( + i)2
2
64
2
64
(a) w =
= −
i
⇒
Re( )
w = oraz Im( )
w = −
i
( + )(
2
i
2 + )
1
5
5
5
5
(b) w = i 135 = i
−
⇒ Re( )
w = 0 oraz Im( )
w = 1
−
1
( − i)2
i
1
1
(c) w =
= = i
⇒ Re( )
w = 0 oraz Im( )
w =
(−2 + i
2 )2 i 63
4
4
4
Zadanie 2
Znaleźć postać trygonometryczną:
(a) z = − 2
⇒
| z | = 2, ϕ = π
⇒
z = 2(cosπ + i sin π )
1
1
1
(b) z = i
5
⇒
| z | = ,
5 ϕ = π
⇒
z =
5 cos π + i sin π
2
2
2
5
5
5
(c) z = 2 − i 12
⇒
| z | = ,
4 ϕ = π
⇒
z =
4 cos π + i sin π
3
3
3
3
3
3
(d) z = −2 + i
2
⇒
| z | = 2 2, ϕ = π ⇒
z = 2 2cos π + i sin π
4
4
4
Zadanie 3
Niech z = 2
− 3 + 2 j , z = −8 j , z = − 3 − j Oblicz: 1
2
3
(a) z ⋅ z = 16 + 16 3 ⋅ i 1
2
(b) z ⋅ z = 8
1
3
z 1
1
3
(c)
= − −
i
z
4
4
2
z
(d) 1 = 1 − 3 ⋅ i
z 3
(e) 12
12
z
= 4
1
z 12
1
(f) 1 =
i
z 99
75
2
3
5
5
(g) 3 z : postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej z =
i
.
1
4 cos π + sin π
1
6
6
Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z
ω ω ω
1 są 3 i wyrażają się wzorami
,
,
0
1
2
3
5
5
ω = 4
i
0
cos
π + sin
π
18
18
3
17
17
ω = 4
i
1
cos
π + sin
π
18
18
mgr Grzegorz Kusztelak
3
29
29
ω = 4
i
2
cos
π + sin
π
18
18
3
3
(h) 3 z : postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej z =
i
.
2
8 cos π + sin π
2
2
2
Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z
ω ω ω
2 są 3 i wyrażają się wzorami
,
,
0
1
2
1
1
ω = 2cos π + i sin π = i
2
0
2
2
7
7
ω =
π
π
1
2 cos
+ i sin
= − 3 − i
6
6
11
11
ω =
π
π
2
2 cos
+ i sin
= 3 − i
6
6
7
7
(i) 3 1 − i :postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej: z = 2cos π + i sin π .
4
4
Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z = 1 − i są 3 i wyrażają się wzorami ω , ω , ω
0
1
2
3
7
7
6
7
7
ω =
2
i
i
0
cos
π + sin
π = 2cos π + sin π
12
12
12
12
3
15
15 6
15
15
ω =
2
i
i
1
cos
π + sin
π = 2cos π + sin π
12
12
12
12
3
23
23 6
23
23
ω =
2
i
i
2
cos
π + sin
π = 2cos
π + sin
π
12
12
12
12
(j) 4 − 1 postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej z = (cosπ + i sin π ). Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z = 1
− są 4 i wyrażają się wzorami ω , ω , ω , ω
0
1
2
3
1
1
ω =
π
π
0
cos
+ i sin
= 2 + 2 ⋅ i
4
4
3
3
ω =
π
π
1
cos
+ i sin
= − 2 + 2 ⋅ i
4
4
5
5
ω =
π
π
2
cos
+ i sin
= − 2 − 2 ⋅ i
4
4
7
7
ω =
π
π
3
cos
+ i sin
= 2 − 2 ⋅ i
4
4
(k) 3 8 : postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej z = (
8 cos 0 + i sin 0). Pierwiastki
trzeciego stopnia z liczby z = 8 są 3 i wyrażają się wzorami ω , ω , ω
0
1
2
ω =
+ i
=
0
(
2 cos 0
sin 0) 2
2
2
ω =
π
π
1
2 cos
+ i sin
= −1 + 3 ⋅ i
3
3
mgr Grzegorz Kusztelak
4
4
ω =
π
π
2
2 cos
+ i sin
= −1 − 3 ⋅ i
3
3
(l) 7 −
i
24 : Pierwiastki drugiego stopnia z liczby 7 −
i
24 są 2 i wyrażają się wzorami ω , ω
0
1
ω = 4 − i
3
0
ω = − 4 + i
3
1
Zadanie 4
Rozwiąż w dziedzinie zespolonej równania
(a) 2
x + 9 = 0
⇒
x = − i
3 ∨ x = i
3
(b) 2
x + 5 = 0
⇒
x = − 5 ⋅ i ∨ x = 5 ⋅ i (c) 2
x − 25 = 0
⇒
x = 5
−
∨ x = 5
(d) 2
x − 2 x + 5 = 0
⇒
x = 1 − i
2 ∨ x = 1 + i
2
(e) 2
x − 6 x + 13 = 0
⇒
x = 3 − i
2 ∨ x = 3 + i
2
(f) 2
x + x − 2 = 0
⇒
x = 2
−
∨ x =1
(g) 2
x − (2 − j) x − 1 + 5 j = 0
⇒
x = 3 − i
2 ∨ x = −1 + i
Zadanie 5
Znaleźć na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów: A = { z ∈ C :| z − 3 + 2 i | = }
4 - okrąg o środku w punkcie z = 3 − i 2 oraz promieniu r = 4
0
B = { z ∈ C :| z +1− 3 i | = }
2 - okrąg o środku w punkcie z = 1
− + i
3 oraz promieniu r = 2
0
D = { z ∈ C :1 < | z + 3 i | < }
2 - pierścień o środku w punkcie z = − i 3 i odpowiednio zewnętrznym
0
promieniu R = 2 oraz wewnętrznym promieniu r = 1
E = { z ∈ C :| z + 2 − 3 i | = | z − 2 + i }
| - linia prosta o równaniu y = x +1
F = { z ∈ C : Im( z − 3 + 2 j) > }
4 - półpłaszczyzna y > 2
G = { z ∈ C : Re( z + 3 j) < }
2 - półpłaszczyzna x < 2
H = { z ∈ C : Re( 2
z + 2 j) ≥ }
6 - podzbiór płaszczyzny opisany wzorem 2
2
x − y ≥ 6
Zadanie 5a
Napisz równanie okręgu o środku w punkcie z i promieniu R.
0
Odp.: | z − z | = R
0
Zadanie 5b
Napisz równanie prostej, której punkty będą równoodległe od punktów z i z ( z i 1
2
1
z - dowolne ustalone punkty płaszczyzny zespolonej) 2
Odp.: | z − z | = | z − z |
1
2