2. LICZBY ZESPOLONE

1. Przedstawić w postaci trygonometrycznej
następujące liczby zespolone

:

a) -i

b) 5

c) -2+2i

d) )

i

3

e) -3-3i

f) )

i

6

2

2. Korzystając z postaci trygonometrycznej,
obliczyć

a)

11

)

1

(

i

b)

16

)

3

1

(

i

c)

9

2

1

2

1

6

)

(

)

3

3

(

i

i

d)

9

14

)

2

2

(

)

1

(

i

i

e)

11

17

13

)

3

1

(

)

3

1

(

i

i

i

f)

7

)

3

4

(

i

3. Obliczyć pierwiastki zespolone

a)

3

216

b)

4

16i

c)

6

64

d)

5

1 i

e)

1

3

i

4. Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiory
spełniające następujące warunki:

a)

3

2

3

arg z

b)

6

7

arg z

c)

2

3

arg

0

z

oraz

2

1

0

z

d)

4

1

6

1

arg z

oraz

3

z

re

e)

3

1

arg

i

z

f)

3

4

4

1

)

arg(

2

z

g)

arg(

)

z 1

h)

3

1

1

+

z

1

z

arg

5. Oblicz

n

n

z

lim

, gdzie

a)

i

z

n

n

n

3

5

2

b)

i

z

n

n

n

)

1

(

2

1

c)

n

n

i

z

)

(

3

d)

7

3

n

n

ni

n

z

e)

2

2

3

2

2

)

(

n

n

n

n

n

n

i

z

f)

i

n

n

i

n

z

3

1

3

1

6. Określ zbieżność szeregu liczbowego

a)

1

3

n

i

n

n

b)

1

)

1

(

2

1

n

n

i

n

n

c)

1

)

1

(

sin

2

n

n

i

n

n

d)

1

n

n

i

n

i

e)

1

)

(

1

1

n

n

i

f)

1

2

2

sin

cos

n

n

n

i

n

7.

Określić promień zbieżności szeregu potęgowego

a)

1

)

2

1

(

n

n

n

z

i

b)

1

n

n

n

z

n

c)

1

!

1

n

n

z

n

d)

1

2

)

1

(

1

n

n

n

z

n

e)

1

)

1

(

n

n

i

n

z

n

Odpowiedzi

1. a)

2

3

2

3

sin

cos

i

b)

)

0

sin

0

(cos

5

i

c)

)

sin

cos

(

2

2

4

3

4

3

i

d)

)

sin

(cos

2

6

11

6

11

i

e)

)

sin

cos

(

2

3

4

5

4

5

i

f)

)

sin

cos

(

2

2

3

5

3

5

i

2. a)

i

32

32

b)

)

3

1

(

2

15

i

c)

)

1

(

54

i

d)

)

1

(

7

2

1

i

e) i

4

f)

)

169

sin

169

(cos

5

0

0

7

i

3. a)

i

i

3

3

3

,

6

,

3

3

3

b)

)

sin

(cos

2

8

1

8

1

i

,

)

sin

(cos

2

8

5

8

5

i

)

sin

(cos

2

8

9

8

9

i

,

)

sin

(cos

2

8

13

8

13

i

c)

i

i

i

i

3

1

,

3

1

,

3

1

,

3

1

,

2

,

2

d)

)

sin

(cos

2

4

1

4

1

10

i

)

sin

(cos

2

20

13

20

13

10

i

)

sin

(cos

2

20

21

20

21

10

i

,

)

sin

(cos

2

20

29

20

29

10

i

)

sin

(cos

2

20

37

20

37

10

i

e)

),

3

1

(

2

2

i

)

3

1

(

2

2

i

4. Rysunki na odwrocie

e)

6

5

arg z

f)

3

2

8

1

arg z

lub

3

2

8

1

)

arg( z

g)

y

x

tg

(

)

1

h)

3

4

3

1

2

2

)

( y

x

5. a)

)

5

,

2

(

5

2

i

b) nie istnieje

c)

)

0

,

0

(

0

d)

)

1

,

3

(

3 i

e)

)

,

2

(

2

2

2

e

ie

f)

)

,

0

(

3

1

3

1

i

6. a), c), e)

zbieżny bezwzględnie

b), f)

zbieżny warunkowo

d) rozbieżny

7.

a)

5

1

R

b)

0

R

c) R

d)

e

R

e)

2

R

4a)










4b)

2

r

,

)

0

,

1

(

S

4c)









4d)









4e)

4f)

4

,

1

x

y

4g)

3

,

)

1

(

3

x

y

4g)

3

2

r

,

)

,

0

(

3

1

S

4h)