Kolokwium nr 2 z matematyki

Wydzia l WILi´

S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2007/2008

Zad.1. [2p+2p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

a) Sformu lowa´c kryterium Leibnitza.

b) Sformu lowa´c twierdzenie o r´o˙zniczkowaniu szeregu pot¸egowego.

Zad.2. [9p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Korzystaj¸ac z w lasno´sci szereg´ow pot¸egowych obliczy´c sum¸e szeregu liczbowego

∞

P

n

=1

(−1)

n

1

5

n

1

n

. Dla odpowied-

niego szeregu pot¸egowego wyznaczy´c promie´

n zbie˙zno´sci, przedzia l zbie˙zno´sci oraz zbada´c zbie˙zno´s´c na kra´

ncach

przedzia lu zbie˙zno´sci.

Zad.3. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Ca lk¸e nieelementarn¸a I =

0.5

R

0

sin(x

2

)

x

dx

przedstawi´c w postaci szeregu a nast¸epnie obliczy´c jego sum¸e z dok ladno´sci¸a

do 0.01.

Zad.4. [3p+6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

a) Poda´c podstawowe w lasno´sci dystrybuanty zmiennej losowej.

b) Dystrybuanta zmiennej losowej X jest r´owna:

F

(x) =































0

x ≤ −

1

0.3

−

1 < x ≤ 2

0.5

2 < x ≤ 5

1

x >

5

Wyznaczy´c funkcj¸e prawdopodobie´

nstwa zmiennej losowej X. Obliczy´c P (1 ≤ X < 6) za pomoc¸a dystrybuanty

oraz funkcji prawdopodobie´

nstwa. Obliczy´c EX i E(2X + 3).