prof. dr hab. Józef WOJAS
mgr Michał BEDNAREK
SGSP, Katedra Nauk Ścisłych, Zakład Fizyki i Chemii
mgr Włodzimierz WOJAS, SGGW-AR

DYSKUSJA ROZWOJU POJĘĆ W FIZYCE

OD TEORII KLASYCZNYCH DO KWANTOWEJ

Przeanalizowano klasyczne teorie światła, wykazując ich nieuni-
wersalności mobilizujące do dalszych badań, których uwieńcze-
niem jest teoria kwantowa oparta na równaniu Schrödingera.

The paper analyses classical light theories showing that they are
not universal which motivated further research crowning at the
quantum theory based on the Schrödinger equation.

Część I. Podstawy teoretyczne

Klasyczne teorie

ś

wiatła

Newton, opierając się na tym, że światło wykazuje podstawową właściwość

rozchodzenia się po liniach prostych, uważał, że światło polega na ruchu bardzo
drobnych cząstek

−

korpuskuł świetlnych

−

poruszających się z określoną prędko-

ścią υ i posiadających określony pęd p.

Przy przejściu światła z jednego środowiska do drugiego korpuskuły te miały

doznawać działania sił, które powodowały odbicie części korpuskuł od powierzch-
ni granicznej i zmianę υ korpuskuł przenikających do drugiego środowiska. Ta
korpuskularna teoria (Newtonowska) dobrze tłumaczyła zjawiska załamania i od-
bicia. Teoria ta panowała jeszcze w początkach XIX wieku.

W wieku XIX zapanowała jednak teoria falowa światła, której ojcem był Huy-

ghens. Zakładał on, że fale świetlne są to fale podłużne i pokazał (na podstawie
konstrukcji geometrycznej) sposób, którym można z punktu widzenia teorii falowej
wytłumaczyć prawa załamania i odbicia światła. Teoria Huyghensa bardzo dobrze
tłumaczyła również zjawisko ugięcia i interferencji [1].

Prawa odbicia i załamania Huyghensa stosują się do wszelkich fal, niezależnie

od ich rodzaju. Uzasadnienie podane przez niego opiera się na wprowadzonej prze-
zeń i noszącej jego nazwisko tzw. zasadzie fal cząstkowych; zasada ta głosi, że
każdy element powierzchni, do której doszła fala, staje się źródłem nowych fal,

2

tzw. fal cząstkowych. Prawo odbicia Huyghensa głosi, że kąt padania równy jest
kątowi odbicia. Z konstrukcji geometrycznej wynika również, że:

n

t

t

sin

sin

2

1

2

1

=

=

=

υ

υ

∆

υ

∆

υ

β

α

Według zaś teorii Newtona:

n

m

m

p

p

sin

sin

1

2

1

2

1

2

=

=

=

=

υ

υ

υ

υ

β

α

Jeżeli teraz porównamy wywody praw załamania światła podawane przez teorię

korpuskularną Newtona z teorią falową Huyghensa, to widzimy, że prowadzą one
do wyników analogicznych, ale nie jednakowych.

Przy przejściu światła z powietrza do H

2

O, kiedy wiedziano już, że n > 1, pręd-

kość światła w H

2

O powinna być wg teorii korpuskularnej Newtona większa niż

w powietrzu, zaś wg teorii falowej

−

mniejsza. Warto dodać, że Huyghens nie wie-

dział, czy światło jest falą podłużną, czy poprzeczną, nie znał długości fali światła
widzialnego λ ani jego prędkości υ

1

. Swoją teorię oparł na konstrukcji geometrycz-

nej, która pozwala przewidzieć, gdzie znajdzie się czoło fali w dowolnej chwili
w przyszłości, jeżeli znamy jego obecne położenie.

Założono (wg zasady Huyghensa), że przy załamaniu, gdy światło przechodzi

z powietrza do szkła długość fali ulega zmianie. Długość fali w szkle λ

2

jest mniej-

sza niż w powietrzu (λ

1

), bo prędkość fali w szkle zmniejszyła się:

2

1

υ

υ

<

.

ν

υ

λ

1

1

=

;

ν

υ

λ

2

2

=

(

ν

λ

υ

1

1

=

;

ν

λ

υ

2

2

=

)

2

2

1

1

λ

υ

λ

υ

ν

=

=

Gdzie v jest częstotliwością fali światła.
Wyprowadzając prawo załamania z zasady Fermata, która orzeka, że promień
światła biegnie tak, aby przebyć drogę od pewnego punktu A do innego punktu B
w czasie możliwie najkrótszym, otrzymujemy:

β

α

sin

n

sin

n

2

1

=

lub

21

2

1

2

1

2

n

1

c

c

n

n

sin

sin

=

=

=

=

υ

υ

υ

υ

β

α

gdzie:
n

1

−

współczynnik załamania ośrodka pierwszego względem próżni;

1

Teoria el-magnetyzmu Maxwella powstała dopiero po upływie wieku.

3

;

1

1

υ

c

n

=

2

2

υ

c

n

=

n

2

−

współczynnik załamania ośrodka drugiego względem próżni.

Jeżeli założymy, że ośrodkiem ponad szkłem jest próżnia a nie powietrze, to

prędkość υ

1

będzie = c, a długość fali oznaczona przez λ

1

będzie = λ (charaktery-

styczną dla próżni), to: (ponieważ

2

1

2

1

υ

υ

λ

λ

=

) równanie λ

2

= λ

1

1

2

υ

υ

można wtedy

zapisać:

λ

2

= λ

2

2

n

1

c

λ

υ

=

.

Widzimy stąd, że długość fali światła w ośrodku materialnym λ

2

jest mniejsza

niż w próżni (λ).

Z zastosowania zasady Huygensa do załamania światła wynika, że jeżeli pro-

mień światła jest ugięty ku prostopadłej padania przy przejściu z powietrza do
ośrodka gęstszego optycznie, to prędkość światła w tym ośrodku musi być mniej-
sza niż w powietrzu. Wymaganie to powinno być spełnione przez wszystkie teorie
światła. A wiemy, że wcześniejsza, korpuskularna teoria światła, sformułowana
przez Newtona, mogła wyjaśnić załamanie światła tylko przy założeniu, że pręd-
kość światła w ośrodku, w którym światło ugina się ku prostopadłej (w ośrodku
optycznie gęstszym) jest większa niż w powietrzu (jak więc widzimy, teraz nie-
zgodne to z rzeczywistością, ale autorytet Newtona!). W takich wypadkach roz-
strzyga doświadczenie (potwierdzenie doświadczalne). Dopiero Foucault w 1850 r.
wykonał doświadczenie porównujące prędkość światła w H

2

O i w powietrzu i wy-

kazał niezbicie, światło rozchodzi się wolniej w H

2

O niż w powietrzu, co obaliło

ostatecznie korpuskularną teorie Newtona; doświadczenie to nie obala jednak teorii
korpuskuł światła

−

fotonów

2

.

Jeśli korpuskuły nazwiemy fotonami, bo to też cząstki, tylko ich masa spoczyn-

kowa m

o

= 0,

a

;

c

h

c

E

m

2

2

ν

=

=

zatem za pęd fotonu przyjmiemy:

υ

ν

h

, (gdzie υ to

prędkość światła) to podany poprzednio wzór Newtona

1

2

1

2

p

p

m

m

sin

sin

=

=

υ

υ

β

α

(po

wprowadzeniu fotonów i pędu fotonu) przybrał teraz postać:

;

h

h

sin

sin

2

1

1

2

υ

υ

υ

ν

υ

ν

β

α

=

=

2

Teoria fotonów jest w pewnym sensie powrotem do teorii korpuskularnej.

4

jak widać, identyczna ze wzorem Huyghensa (

n

t

t

sin

sin

2

1

2

1

=

=

=

υ

υ

∆

υ

∆

υ

β

α

), do którego

doprowadziła teoria falowa. Teoria korpuskularna – Newtona (nazywana obecnie
fotonową) równie dobrze tłumaczy zatem zjawiska załamania światła, jak i teoria
falowa Huyghensa [1].

Konieczno

ść

przej

ś

cia od teorii klasycznych do kwantowej

Oczekiwanie na nowszą teorię niż klasyczna spowodowane było, miedzy inny-

mi, niemożliwością wytłumaczenia na drodze teoretycznej kształtu krzywej roz-
kładu energii w widmie promieniowania ciała doskonale czarnego

)

(

f

E

λ

λ

=

.

Wielu fizyków próbowało rozwiązać ten problem, opierając się na teoriach kla-
sycznych. Jedną z takich teorii jest wzór Wiena:

T

C

1

C

)

(

E

2

5

1

λ

λ

λ

⋅

=

(1)

gdzie:
C

1

i C

2

−

stałe wyznaczone doświadczalnie.

Innym przykładem teorii klasycznej jest wzór Rayleigha-Jeansa wyprowadzony

na podstawie zasady ekwipartycji energii, która głosi, że na każdy stopień swobody
przypada jednakowa ilość energii:

T

C

)

(

E

4

−

=

λ

λ

(2)

Obydwa ostatnie wzory nie odpowiadają dokładnie przebiegowi (kształtowi) krzy-
wej rozkładu widmowego promieniowania ciała doskonale czarnego

3

. Wzór Wiena

zgadza się dobrze z krzywą doświadczalną dla fal krótszych, podczas gdy wzór
Rayleigha-Jeansa zgadza się z krzywą doświadczalną jedynie dla fal długich
(rys. 1.) [2, 3]. Dopiero Planck w roku 1900 zaproponował wniesienie poprawki do
wzoru Wiena w ten sposób, że w mianowniku tego wzoru dopisał jeszcze

−

1:

1

e

1

C

)

(

E

T

C

5

1

2

−

⋅

=

λ

λ

λ

(3)

Ten poprawiony wzór zgadza się bardzo dobrze z wynikami doświadczalnymi

już w całym zakresie widmowym. Jednakże wzór ten (w owym czasie) miał cha-
rakter jedynie doświadczalny i problemu nie wyjaśniał. Dopiero po sformułowaniu
przez Plancka (jeszcze w tym samym roku) hipotezy o kwantyzacji energii (pro-
mienistej) całkowicie sprzecznej z duchem fizyki klasycznej, stało się możliwe
rozwiązanie na drodze teoretycznej tego problemu. Planck zdołał znaleźć postać
funkcji f(λ, T) dokładnie odpowiadającej danym doświadczalnym.

3

Ciało doskonale czarne to takie, które przy danej temperaturze ma maksymalną możliwą

zdolność emisyjną.

5

Długość fali λ [µ]

Rys. 1. Rozbieżność między doświadczalną krzywą emisji energetycznej c.d.cz.

a krzywą otrzymaną na podstawie teorii klasycznej

Koncepcja dyskretnych poziomów energii jako konsekwencja postulatu Plan-

cka o istnieniu kwantów energii stała się odtąd podstawą fizyki atomowej i jądro-
wej. hv = 6,62

.

10

-23

J

jest porcją energii, stanowiącą podstawową jednostkę, którą

Planck nazwał „kwantem” [4]. Właściwy przełom dokonał się więc dopiero w roku
1900, kiedy to Planck postawił hipotezę, że emisja i absorpcja promieniowania
może odbywać się tylko kwantami. Hipotezę istnienia fotonu wykorzystał i wysu-
nął dopiero Einstein w roku 1905 w swym słynnym wzorze wyjaśniającym ze-
wnętrzne zjawisko fotoelektryczne. Założył on bowiem korpuskularną naturę pro-
mieniowania, a cząstki promieniowania nazwał fotonami.

Według Plancka nieciągła struktura promieniowania elektromagnetycznego

(światła)

ν

h

E

=

pojawia się jedynie, gdy promieniowanie to podlega oddziały-

waniu z materią. Einstein zaś wprowadził ideę nieciągłej struktury samego promie-

niowania utworzonego z cząstek energii o

ν

h

E

=

i pędzie

c

h

p

ν

=

. Planck dla

uzasadnienia własności addytywności entropii musiał jednak przyjąć hipotezę nie-
spójności różnych rezonatorów lub modułów drgań promieniowania [2].

Teoria fotonów (zapoczątkowana przez Plancka w 1900 r.) przyszła z pomocą

w wytłumaczeniu zewnętrznego zjawiska fotoelektrycznego. Trzy zasadnicze ce-
chy tego zjawiska nie dały się wyjaśnić za pomocą falowej teorii światła, a miano-
wicie:
1)

z teorii falowej wynika, że energia kinetyczna fotoelektronów powinna wzra-
stać przy wzroście natężenia światła [2]. Z ruchu falowego

−

harmonicznego

prawo Plancka

(c. d. cz.)

prawo Rayleigha-Jeansa

(na podstawie teorii klasycznej)

prawo Wiena

punkty ekspery-

mentalne dla

T = 1600K

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

g

ę

s

to

ś

ć

e

n

e

rg

ii

w

y

p

ro

m

ie

n

io

w

a

n

e

j

6

Rys. 2. Wykresy natężenia fotoprądu

w funkcji napięcia. Krzywa b odpo-

wiada dwukrotnie mniejszemu natęże-

niu światła padającego niż krzywa a

przyło

ż

one napi

ę

cie V

wynika, że całkowita energia =

2

kA

2

1

, a więc zależy od amplitudy, czyli natę-

żenia światła. Jednakże E

max

= eV

0

, gdzie:

E

−

energia kinetyczna najszybszych elektronów,

V

0

−

różnica potencjałów.

Okazuje się więc, że E

max

nie zależy od natężenia światła. Widać to na rys. 2.

2)

zgodnie z teorią falową efekt fotoelektryczny powinien występować dla
dowolnej ν światła pod warunkiem, że natężenie światła jest dostatecznie
duże. Jednakże, dla każdego ciała istnieje charakterystyczna częstotliwość
graniczna ν

0

;

3)

jeżeli światło padające na płytkę (fotokatodę) jest dostatecznie słabe, po-
winno występować mierzalne opóźnienie w czasie między podaniem świa-
tła na powierzchnię a emisją fotoelektronu. W ciągu tego okresu elektron
powinien pobierać energię z wiązki światła dopóty, dopóki „nie zbierze”
dostatecznej energii do wyemitowania. Jednakże nie zmierzono żadnego
wykrywalnego opóźnienia w czasie.

Dopiero fotonowa teoria Einsteina dzięki nowemu założeniu, że energia wiązki

światła rozchodzi się e przestrzeni w postaci skończonych porcji energii zwanych
fotonami wyjaśniła ww. cechy fotoefektu zewnętrznego.

Energia pojedynczego fotonu dana jest wzorem E = hv. Przez analogię do ein-

steinowskiego opisu promieniowania Born zaproponował podobne powiązanie
falowych i korpuskularnych własności materii, co stało się w kilka lat po sformu-
łowaniu przez Schrödingera teorii będącej uogólnieniem postulatu de Broglie`a,
zwanej obecnie mechanika kwantową.

Doświadczenia Millikana z roku

1916 potwierdziły we wszystkich
szczegółach idee Einsteina. Millikan
otrzymał wartość h = 6,57

.

10

–34

J

.

s

z dokładnością do ~0,5%. Stosując
swoją koncepcję fotonową do efektu
fotoelektrycznego

Einstein,

który

wprowadził

pojęcie

skwantowania

promieniowania napisał równanie:

max

0

E

E

h

+

=

ν

(4)

2

max

m

2

1

W

h

υ

ν

+

=

(5)

Compton, stosując konsekwentnie po-
dejście kwantowe do światła, przewi-
dział z góry istnienie pewnego zjawiska,
zwanego później efektem Comptona.

7

Doświadczalnego potwierdzenia istnienia fotonu jako skończonej porcji energii
dostarczył Compton w roku 1923. Przy zderzeniu foton oddaje część swego pędu i
energii elektronowi [2]. Ponieważ energia fotonu E = hv, to zmniejszenie energii
uzewnętrznia się jako zmniejszenie częstotliwości, czyli podłużenie długości fali (v
< v

0

)

2

m

h

h

2

0

υ

ν

ν

+

=

(6)

Powyższy wzór wyraża zasadę zachowania energii.

Suma składowych pędu w kierunku ruchu fotonu oraz w kierunku do niego

prostopadłym przed zderzeniem równa się sumie składowych (x, y) pędu fotonu i
elektronu po zderzeniu, czyli że pęd nie ulega zmianie (zostaje zachowana zasada
zachowania pędu).

Rys. 3. Zderzenie fotonu z elektronem swobodnym. Interpretacja wyników doświadczalnych

podana przez Comptona

W zjawisku Comptona fotony zachowują się zupełnie jak kule przy zderzeniu

sprężystym. Zjawisko to jest tym wyraźniejsze, im fala krótsza. Compton wyjaśnił
wyniki swoich doświadczeń, przyjmując, że padająca wiązka promieni X nie jest
falą, lecz zbiorem fotonów o energii E = hν i że fotony te (jako kuleczki) ulegają
zderzeniom ze swobodnymi elektronami (dlatego blok grafitowy) znajdującymi się
początkowo w stanie spoczynku. Promieniowanie rozproszone tworzą zboczone
fotony wychodzące z bloku grafitowego. Ponieważ padający foton przekazuje
część swojej energii elektronowi, z którym się zderza, wiec foton (po zderzeniu)
rozproszony musi mieć niższą energię E΄; musi mieć więc mniejsza częstość ν΄,
tzn. większą długość fali λ΄. Tłumaczy to zmniejszanie energii (jakościowo) wystę-

foton

foton zboczony

8

powanie przesunięcia długości fali ∆λ. Widać, że ten fotonowy (cząstkowy) model
rozpraszania promieni X jest różny od modelu opartego na obrazie falowym.

Przeprowadźmy teraz ilościową analizę pojedynczego zderzenia fotonu

z elektronem. Zakładamy, że elektron ma υ = 0 i nie jest związany z atomami
ośrodka rozpraszającego (jest swobodny). Zastosujmy do tego zderzenia prawo
zachowania energii. Ponieważ odrzucone elektrony mogą mieć prędkość υ porów-
nywalną z prędkością światła, przeto dla energii kinetycznej „odrzuconego” elek-
tronu musimy użyć wyrażenia relatywistycznego.

Na podstawie równań [5]:

2

mc

E

h

E

∆

∆

ν

=

=

(7)

gdzie ∆E to ilość dostarczonej przedmiotowi materialnemu energii, możemy napi-
sać

2

mc

h

h

∆

ν

ν

+

′

=

o

m

m

m

−

=

∆

gdzie:
∆m

−

zwiększenie masy,

m

−

masa relatywistyczna elektronu,

m

o

−

masa spoczynkowa elektronu,

2

o

c

)

m

m

(

h

h

−

+

′

=

ν

ν

Jest to równanie na prawo zachowania energii, gdzie:

hν

−

energia fotonu przed zderzeniem,

hν΄

−

energia fotonu po zderzeniu,

(m

−

m

o

) c

2

−

energia elektronu po zderzeniu (zapisana w postaci relatywistycznej).

Doświadczenie Comptona dostarcza dowodu na fotonowy (kwantowy) charak-

ter promieniowania elektromagnetycznego.
Foton można scharakteryzować jako cząstkę promieniowania elektromagnetyczne-
go za pomocą następujących wielkości fizycznych:

masa fotonu:

c

h

c

h

c

E

m

2

2

λ

ν

=

=

=

,

masa spoczynkowa fotonu m

o

= 0,

energia fotonu:

λ

ν

c

h

h

E

=

=

,

pęd fotonu:

λ

h

c

hv

c

E

p

=

=

=

.

W powyższych wzorach foton zastał scharakteryzowany zarówno za pomocą

wielkości falowych: λ i v, jak również za pomocą wielkości korpuskularnych: m,
m

o

i p. Przejście między tymi dwoma rodzajami wielkości fizycznych jest dane

poprzez stałą Plancka h. Wzory te są wyrazem tzw. dualizmu falowo-
korpuskularnego postulowanego przez de Broglie’a. Zakładał on, że cząstkom
można przypisać własności falowe. Cząstka elementarna

−

foton

−

łączy w sobie

9

cechy zarówno falowe, jak i korpuskularne. Foton pod wieloma względami zacho-
wuje się podobnie jak fala, w innych przypadkach przypomina on korpuskułę.
Można rzec, że w rzeczywistości jest on jednak czymś trzecim. Nie jest ani falą,
ani korpuskułą. Na razie nie umiemy sobie wyobrazić żadnego modelu tej cząstki,
radzimy sobie więc za pomocą wzorów i równań matematycznych. Wchodzimy tu
bowiem w zakres filozofii fizyki, na co nie mamy tu miejsca.

Fale materii

Mechanika kwantowa określa prawa ruchu falowego opisującego zachowanie

się cząstek w dowolnym układzie mikroskopowym. Osiąga się to, określając dla
każdego układu równanie rządzące zachowaniem się funkcji falowej oraz określa-
jąc związek pomiędzy zachowaniem się funkcji falowej a zachowaniem się czą-
stek. Teoria Schrödingera stanowi uogólnienie hipotezy de Broglie’a. Stanowi ona
fundament ogólnej teorii Schrödingera, opisującej ruch cząstki mikroskopowej
opisywanej przez zachowanie się stowarzyszonej z nią pewnej fali. W dalszych
badaniach ustalono, w jaki sposób fala rządzi zachowaniem się cząstki. Każdej
cząstce materialnej poruszającej się z określoną prędkością jest przyporządkowana
fala materii. Falom materii przypisano określoną długość i częstotliwość. Długość
tej fali jest odwrotnie proporcjonalna do pędu cząstki. Dla danej cząstki fala będzie
krótsza, gdy cząstka będzie się poruszać z większą prędkością. Dla pełniejszego
scharakteryzowania fali de Broglie’a wprowadzono reprezentującą ją funkcję zwa-
ną funkcja falową ψ, która spełnia równanie falowe Schrödingera [2].

De Broglie doszedł do wniosku, że dualizm falowo-korpuskularny jest właści-

wy nie tylko dla promieniowania elektromagnetycznego, ale również dla obiektów
materii, takich jak: elektrony, protony, atomy itd.

De Broglie przypisał tym obiektom naturę falową

4

[4]. Założył on, że związek

między długością fali materii a pędem jest taki sam jak związek pomiędzy długo-
ścią fali elektromagnetycznej a pędem fotonu.

p

h

=

λ

(8)

gdzie:
p

(pęd cząstki

−

elektronu) = m υ .

Wyrażenie to (8) zwane jest wzorem de Broglie’a. Wzór ten określa długość fali

de Broglie’a λ, czyli długość fali materii stowarzyszonej z ruchem cząstki mate-
rialnej o pędzie p.

v

c

c

h

h

=

=

ν

λ

4

Fale de Broglie’a nie mają nic wspólnego z falami elektromagnetycznymi, ani też z falami

sprężystości.

10

Należy zauważyć, że fale materii nie są falami el-magnetycznymi. Są to fale

prawdopodobieństwa; natężenie fali materii wyrażone przez kwadrat amplitudy fali
określa jedynie prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danym miejscu prze-
strzeni [2]. W zdaniu tym zawarty jest sens tzw. dualizmu falowo-korpuskular-
nego; cząstki materialne występują zawsze określonych porcjach, jednakże ich
ruchem rządzą prawa falowe, które mają interpretację statystyczną.

Początkowo z powodu widocznego braku dowodów doświadczalnych uznano,

że koncepcje de Broglie΄a o istnieniu fal materii pozbawione są oparcia w rzeczy-
wistej fizyce. Jednak Einstein uznał je za słuszne i docenił ich znaczenie.

Tak samo jak z fotonem stowarzyszona jest pewna fala świetlna, która rządzi

jego ruchem, tak i cząstce materialnej (np. elektronowi) przypisana jest pewna
określająca jej ruch fala materii. Należało więc wykonać doświadczenie, które
wyraża efekty typowe dla ruchu falowego; takim typowym efektem jest dyfrakcja.
Pierwszymi doświadczeniami potwierdzającymi falowy charakter elektronów były
doświadczenia nad dyfrakcją elektronów Davissona i Germera wykonane
w 1927 r. oraz doświadczenie Thomsona

5

.

Rys. 4. Opis doświadczenia Davissona i Germera: a) schemat doświadczenia z dyfrakcją

elektronów, b) maksima dyfrakcyjne

Parę słów na temat tego doświadczenia. Doświadczenie polegało na pomiarze

natężenia prądu (liczby elektronów selektywnie odbitych od kryształu pod stałym
kątem α (równym const.) w zależności od różnicy potencjałów przyspieszającej
wiązkę elektronów. Okazało się, że podczas monotonicznej zmiany różnicy poten-
cjałów V natężenie prądu I nie zmieniało się monotonicznie, lecz wykazywało kil-
ka prawie równoległych maksimów. Wynika stąd, że prawidłowe odbicie elektro-
nów następuje jedynie dla określonych wartości różnicy potencjałów, a więc dla
określonych prędkości elektronów.

Doświadczenia te wykazały słuszność wzoru de Broglie’a, potwierdziły one fa-

lową naturę ruchu cząstek [4]. Każdej poruszającej się cząstce materialnej można
przypisać falę taką, że jej długość jest ilorazem stałej Plancka h i pędu tej cząstki p:

5

Thomas ojciec otrzymał nagrodę Nobla za wykazanie, że elektron jest cząstką, zaś Tho-

mas syn za wykazanie, że elektron jest falą.

a)

b)

I

11

p

h

=

λ

Analogiczne zjawisko zachodzi podczas odbicia promieni rentgenowskich od

kryształu; odbicie następuje jedynie pod kątem α spełniającym warunek Wulfa-
-Braggów: 2d sin α = nλ.

Zestawiając ten fakt z przytoczonymi wyżej wynikami doświadczenia Davisso-

na-Germera wnioskujemy, że wiązka elektronowa wykazuje właściwości falowe
i że przy tym długość fali wiązki elektronów zależy od prędkości elektronów. Istot-
nie, ponieważ w warunkach doświadczenia z odbiciem promieni rtg, d i α nie
zmieniały się, więc spełnienie warunku Braggów zależy

−

ze stanowiska falowego

−

od odpowiednich wartości λ.

W rozpatrywanym doświadczeniu z wiązką elektronową odbicie pod kątem α

następuje jedynie dla określonych prędkości elektronów. Okazało się, że dla uzy-
skania ilościowej zgodności wyników opisanego doświadczenia z warunkiem
Braggów (2d sin α = nλ) należy przyjąć, że długość fali wiązki elektronowej λ
wiąże się z prędkością elektronów υ następującą zależnością:

υ

λ

m

h

=

Falowa natura wiązek elektronowych wynika z ogromnej liczby doświadczeń

dyfrakcyjnych i interferencyjnych [5]. Obserwowano np. ugięcie szybkich elektro-
nów na cienkich foliach rozpraszających. Folia stanowi zbiór chaotycznie roz-
mieszczonych kryształków; w wyniku rozproszenia należy oczekiwać powstania na
ekranie pierścieni dyfrakcyjnych. Ze średnicy tych pierścieni można, znając stałą
sieci d kryształów folii, wyznaczyć długość fali λ rozproszonych elektronów (czą-
stek).

Podsumowując: wiązka cząstek elementarnych o określonej prędkości υ i okre-

ślonym kierunku wywołuje obraz dyfrakcyjny i interferencyjny podobnie do obra-
zów otrzymywanych od fali płaskiej.

Wst

ę

p do mechaniki falowej

L. de Broglie, C. J. Davisson i L.H. Germer stwierdzili, że całokształtu zjawisk

atomowych nie da się opisać za pomocą mechaniki klasycznej. Podstawy nowej
mechaniki opartej na hipotezie de Broglie`a, tzw. mechaniki falowej stworzył
w roku 1926 E. Schrödinger. Mechanika falowa traktuje o przedstawieniu praw
mechaniki w postaci równań ruchu falowego. Jest to dział fizyki zajmujący się
właściwościami falowymi materii korpuskularnej.

Niewystarczalność teorii Bohra spowodowała konieczność zrewidowania po-

glądów na naturę cząstek elementarnych. W dalszym rozwoju fizyki, wyobrażenie
elektronu jako małej cząstki mechanicznej (naładowanej) okazało się niewystarcza-
jące. Okazało się bowiem, że w wielu doświadczeniach wiązki elektronowe wyka-
zują właściwości charakterystyczne dla procesu falowego (ulegają dyfrakcji i inter-

12

ferencji). Ważną wielkością w mechanice falowej jest funkcja falowa ψ(x, t), która
jest miarą zaburzenia falowego „fal materii”. Funkcja ta ma znaczenie fizyczne;
przedstawia ona ruch cząstki.

Równania Schrödingera

Traktując elektrony jako fale, wykorzystano wzory de Broglie’a i Plancka

)

(

hv

E

oraz

h

p

=

=

λ

do zapisu

)

t

h

E

h

p

x

(

2

sin

o

−

=

π

Ψ

Ψ

(9)

przedstawiającego wielkość Ψ jako funkcję położenia i czasu (gdzie Ψ

o

jest ampli-

tudą). Energia kinetyczna cząstki poruszającej się powoli w porównaniu z prędko-

ścią światła jest równa

,

m

2

p

E

2

k

=

zatem

c

p

2

E

E

m

2

p

=

+

. Przedstawiając funkcję Ψ

w postaci

h

)

E

(

c

t

xp

i

o

e

−

Ψ

=

Ψ

(10)

gdzie:

1

i

−

=

oraz

π

2

h

=

h

, dochodzimy (po matematycznych przekształceniach)

do równania

t

i

E

m

2

x

p

2

2

2

∂

∂

=

+

∂

∂

−

Ψ

Ψ

Ψ

h

h

(11)

jest to równanie Schrödingera „zależne od czasu” dla jednego wymiaru [4]. Wyko-
rzystanie go, zamiast równania ruchu Newtona, do rozwiązywania dowolnego pro-
blemu dynamicznego jest podobne do zastosowania optyki falowej zamiast optyki
geometrycznej przy rozwiązywaniu problemów dotyczących światła. Jeśli teraz
funkcję falową Ψ(x, t) wyrazimy jako iloczyn funkcji, z których jedna zależna jest

tylko od x, a druga tylko od t, np.

)

t

(

)

x

(

)

t

,

x

(

ϕ

ψ

Ψ

*

=

, to podstawiając to wyra-

żenie

6

do równania (11) po odpowiednich przekształceniach uzyskuje się równanie

dt

d

i

E

dx

d

m

2

p

2

2

2

ϕ

ϕ

ψ

ψ

h

h

=

+

−

(12)

Jeżeli E

p

jest tylko funkcją x, (tj. jeśli E

p

nie zależy od t), wówczas lewa strona

i prawa strona równania (12) zależą odpowiednio tylko od x i tylko od t; wobec
tego obie strony musza być równe tej samej liczbie, np. A.

6

Symbol Ψ

*

przedstawia pewną wielkość zespoloną, czyli część rzeczywistą i urojoną.

Wiąże się to z żądaniem, aby zgodnie ze związkiem (9) wartość Ψ opisywała całkowicie
ruch. Musi więc określać, gdzie znajduje się elektron i jaką energię posiada w danej chwili.

13

W takim razie

,

A

dt

d

i

=

ϕ

ϕ

h

co po scałkowaniu daje

h

iAt

o

e

−

=

ϕ

ϕ

(13)

gdzie φ

o

jest stałą scałkowania, przyrównywaną zwykle do jedności. Porównanie

tego związku z relacją (10) (dla której funkcja Ψ jest separowalna), prowadzi do
wniosku, że A należy identyfikować z E

c

, to jest z energią całkowitą. Jeśli spełnio-

ne są te warunki, mówi się, że Ψ reprezentuje stan stacjonarny układu. Kładąc
A = E

c

i podstawiając równanie (13) do równania (12), uzyskuje się wyrażenie

0

)

E

E

(

m

2

dx

d

p

c

2

2

2

=

−

+

ψ

ψ

h

(14)

które jest równaniem Schrödingera „niezależnym od czasu” (w przypadku jedno-
wymiarowym). Schrödinger w 1926 r. wykazał, ze funkcja ψ spełnia równanie dla
trzech wymiarów

0

)

(

2

2

2

2

2

2

2

2

=

−

+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

ψ

ψ

ψ

ψ

p

c

E

E

m

z

y

x

h

(15)

Operator

2

2

2

2

2

2

2

z

y

x

∇

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

działający w ostatnim równaniu na funkcję ψ

nazywamy operatorem Laplace’a, czyli laplasjanem. Wprowadzając laplasjan do
równania Schrödingera

0

)

E

E

(

m

2

p

c

2

2

=

−

+

∇

ψ

ψ

h

(16)

po przekształceniu dochodzimy do postaci

ψ

ψ

ψ

2

2

2

c

p

E

E

m

=

+

∇

h

(17)

Wyodrębniamy teraz w lewej stronie inny operator działający na funkcję

ψ

ψ

ψ

]

2

[

2

2

c

p

E

E

m

=

+

∇

−

h

Operator ten

H

ˆ

E

m

2

p

2

2

=

+

∇

−

h

nosi nazwę hamiltonianu od nazwiska Hamiltona.

Możemy teraz równanie Schrödingera dla cząstki w trójwymiarowym pudle w
postaci operatorowej

ψ

ψ

c

E

H

ˆ

=

(18)

nazwać operatorem energii.
Funkcja ψ, będąca rozwiązaniem równania Schrödingera zależy więc od wartości
E

c

,

która odgrywa w tym równaniu rolę parametru [4, 6].

14

Koncepcja fal materii sugeruje, że równanie różniczkowe fal (bieżących lub sto-

jących) jest pomocne w opisie atomów w całej fizyce atomowej i jądrowej. Zatem
zjawiska zachodzące w skali mikroświata są opisane nowym prawem fizyki

−

rów-

naniem Schrödingera. Zajmuje ono w mechanice kwantowej to miejsce, jakie
w makroskopowej fizyce klasycznej zajmują prawa Newtona.

Funkcję falową ψ dla cząstek nieswobodnych otrzymuje się, rozwiązując pierw-

sze równanie Schrödingera, do którego podstawia się wyrażenie na energię poten-
cjalną E

pot

odpowiadającą danemu problemowi. Wartość równania Schrödingera

polega nie tylko na tym, że jego rozwiązanie prowadzi do zgodnego z doświadcze-
niem statystycznego rozkładu cząstek; jego znaczenie polega również na tym, że
z pierwszego równania Schrödingera połączonego z warunkami nałożonymi na
funkcję falową ψ wypływają bezpośrednio reguły kwantowania energii.

ivt

2

e

π

−

=

o

ψ

Ψ

jest rozwiązaniem równania Schrödingera.

Przyjmuje się, że cząstki poruszające się w dowolnym polu sił (polu potencjal-

nym), również można opisać za pomocą pewnej funkcji falowej, której postać bę-
dzie inna niż w przypadku cząstek swobodnych (w próżni) o stałej prędkości.

Funkcja falowa ψ ma podstawowe znaczenie przy opisywaniu stanów dowol-

nych cząstek (mikrocząstek), nie przedstawia ona bynajmniej fali w zwykłym zna-
czeniu. Na przykład w zagadnieniu o cząstkach oddziałujących ze sobą funkcja
falowa zależy od współrzędnych wszystkich cząstek, nie może więc być interpre-
towana jako zwykła fala w przestrzeni trójwymiarowej.

Pierwsze równanie Schrödingera ujmuje rozkład funkcji ψ w przestrzeni; dobie-

ramy rozwiązanie równania Schrödingera w postaci funkcji falowej ψ, która speł-
niałaby to równanie.

W mechanice falowej nie posługujemy się pojęciem orbity lub toru elektronu,

lecz obliczamy prawdopodobieństwo znajdowania się elektronu w jakimś elemen-
cie objętości (w jakiejś ograniczonej przestrzeni). To prawdopodobieństwo obli-
czamy, korzystając z wartości funkcji falowej; tzw. gęstość prawdopodobieństwa,
czyli wartość prawdopodobieństwa na jednostkę objętości przestrzeni równa się
kwadratowi modułu funkcji falowej ψ:

2

ψ

ρ

=

Pełne równanie fali płaskiej:

)

(

t

r

i

Ce

ω

ψ

−

=

k

(19)

gdzie:
r

−

odległość od 0 w pewnym dowolnym kierunku,

ujmuje ono zależność funkcji ψ od kierunku rozchodzenia się fali i od czasu; jest to
jednocześnie fala monochromatyczna, gdyż ω = 2πv (mamy tu do czynienia z jed-
ną stałą częstotliwością ν);

15

Rys. 5. Zależność energii kinetycznej

E od wektora falowego k

dla elektronów swobodnych

k

−

wektor falowy (wielkość bardzo ważna w mechanice falowej i w fizyce ciała

stałego);

λ

π

λ

π

2

;

2

=

=

k

k

n

r

(nie jest to ścisłe, ale ponieważ wersor n

r

ma

moduł = 1, więc pomijamy go);
Taka fala płaska

−

monochromatyczna posuwa się w próżni ze stałą prędkością

fazową równą

k

ω

; prędkość fazowa to prędkość przesuwania się powierzchni stałej

fazy:

t

r

(

i

Ce

k

k

ω

ψ

−

=

Taka fala płaska obrazuje nam w mechanice falowej ruch wiązki elektronów nie-
skończenie rozciągłej, równoległej, przy tym wszystkie elektrony w wiązce poru-
szają się ze stałą prędkością υ i elektrony w wiązce nie oddziałują na siebie.

Pytamy teraz, jak wyrazić pęd i energię takiej wiązki za pomocą wzorów me-

chaniki falowej. Taka wiązka elektronowa posiada tylko energie kinetyczną

m

2

p

m

2

1

E

2

2

kin

=

=

υ

, gdzie m to masa elektronu swobodnego.

׀

Z kolei ze wzoru de Broglie΄a wiemy, że:

p

h

=

λ

, to

π

λ

2

1

⋅

=

h

p

, wówczas

h

2

p

2

π

λ

π

=

. Ponieważ

h

=

π

2

h

, to zapisując wektorowo

h

1

p

k

=

, a

k

p

h

=

.

gdzie:
p

−

własności korpuskularne,

k

−

własności falowe.

Jest to wzór bardzo ważny w mechanice falowej, ponieważ stwierdza, że pęd
cząstki jest wprost proporcjonalny do wektora falowego fali materii tej cząstki.
Wzór ten wiąże własności korpuskularne cząstki (pęd) z własnościami falowymi
jej fali materii.

16

Rys. 7. Najprostsza paczka falowa

Energia kinetyczna elektronu swobodnego

m

2

E

2

2

kin

k

h

=

jest kwadratową funkcją

wektora falowego k. Energia oraz wektor falowy cząstki swobodnej mogą przyj-
mować nieskończenie wiele wartości zmieniających się w sposób ciągły, czego nie
można powiedzieć o elektronie znajdującym się w atomie lub w krysztale ciała
stałego, gdyż energie takiego elektronu zmieniają się w sposób nieciągły (przyjmu-
jąc zbiór pewnych określonych wartości), mówimy więc, że widmo energetyczne
elektronu swobodnego jest ciągłe, a widmo energetyczne elektronu związanego jest
dyskretne.

Rys. 6. Typowy kształt krzywej E(k) dla elektronów niezupełnie swobodnych

Innymi słowy

−

prawa mechaniki kwantowej dla elektronu swobodnego nie

ujawniają się. Z przebiegu widma energetycznego elektronu znajdującego się
w krysztale wynika, że istnieją pewne przedziały energii, które są zabronione dla
tego elektronu, a więc widmo jest nieciągłe [7, 8].

Wyprowadzenie zasady nieoznaczono

ś

ci Heisenberga

Konsekwencją teorii kwantów jest niemożność jednoczesnego dokładnego

określenia położenia i pędu cząstki, co po raz pierwszy stwierdził Heisenberg.

17

Najpierw należy omówić pojęcie paczki falowej. Paczka falowa jest to grupa fal
o niewiele różniących się długościach, nakładających się na siebie tak, że tworzą
one niewielki obszar z maksimum pośrodku (jeżeli paczka jest symetryczna),
a poza obrębem paczki fale wygaszają się do zera [9].

Najprostszą paczkę falową otrzymamy, nakładając na siebie dwie fale sinuso-

idalne, które różnią się niewiele długością fali. Zakładamy, że w chwili t = 0 pacz-
ka ma długość 2a. Zapytajmy, co to jest a?

Elektron porusza się dokoła jądra tak szybko, że z wielu względów usprawie-

dliwione jest uważać ładunek ujemny elektronu za rozproszony w chmurę elek-
tryczności ujemnej, przy czym uważamy, że gęstość chmury jest największa tam,
gdzie jest największe prawdopodobieństwo przebywania elektronu.

Jak się okazuje, największa gęstość chmury elektronowej znajduje się w odle-

głości a

1

od jądra, a odległość ta jest równa promieniowi pierwszej orbity Bohra

Rys. 8. Rozkład radialny prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w stanie 1s

Elektron ma jeden stopień swobody określony współrzędną r ; funkcja ψ zwią-

zana z elektronem ma symetrię kulistą (dla najniższego stanu energetycznego ato-
mu wodoru). Jeżeli ψ przedstawimy jako funkcję promienia r, to równanie
Schrödingera przedstawi się w postaci zależnej od zmiennej r:

0

)

r

e

E

(

m

2

r

r

2

r

2

c

2

2

2

=

+

+

∂

∂

+

∂

∂

ψ

ψ

ψ

h

(20)

Dobieramy rozwiązanie tego równania Schrödingera w postaci funkcji ψ(r),

czyli należy znaleźć postać funkcji ψ, która spełniałaby to równanie. Reasumując:
atom jest wymiarów paczki falowej, a w obrębie paczki nie można mówić o poło-
żeniu (elektronu).

ρ

r

1/a (ma wymiar długo

ś

ci)

Funkcja zmiennej
niezale

ż

nej r

(promie

ń

kuli)

Prawdopodobie

ń

stwo

znalezienia elektronu r

2

Ψ

2

18

Jest pewna odległość, w której gęstość chmury elektronowej jest największa, ale

w innych położeniach też jest ona znaczna. Odległość a

1

jest najbardziej prawdo-

podobną odległością elektronu od jądra. Przypomnijmy, że największa gęstość
prawdopodobieństwa znajdowania się elektronu jest tam, gdzie maksymalna ampli-
tuda paczki. Jeśli wyobrazimy sobie najprostszą paczkę falową składającą się z 2
nałożonych fal o długościach λ

1

= λ

0

+ ∆λ

i λ

2

= λ

0

−

∆λ,

gdzie:
∆λ

−

różnica skrajnych długości fal,

λ

0

−

długość fali przenoszącej paczkę,

to można przyrównać

0

0

do

k

k

∆

λ

λ

∆

. Dalej, można udowodnić, że

a

1

=

k

∆

.

Przyjmujemy, że elektron znajduje się wewnątrz paczki, ale w którym miejscu

−

nie wiemy. Możemy tylko obliczać prawdopodobieństwo jego znajdowania się

w którymś punkcie. Zatem błąd położenia elektronu ∆x = ma. Wartość bezwzględ-
na |∆x| = a.

Wyobraźmy sobie, że formujemy coraz to krótszą paczkę, czyli 2a zmniejsza

się; żeby to uzyskać, musimy nakładać na siebie coraz więcej fal o bardziej różnią-
cych się długościach [1, 9]. Wprowadzając ∆k

−

przedział wartości wektora falo-

wego odpowiadający przedziałowi długości fal ∆λ, które składają się na paczkę

falową, to

−

jak to już było mówione:

a

1

=

k

∆

. Obliczamy zatem iloczyn

1

a

1

a

x

=

⋅

=

⋅

k

∆

∆

. Ale pamiętamy wzór

k

p

h

=

, stąd

k

p

∆

∆

h

=

. Wstawiając za

a

1

→

k

∆

otrzymamy

a

1

h

=

p

∆

.

Ponieważ ∆x = a, to możemy napisać:

h

h

=

⋅

=

⋅

a

a

p

x

∆

∆

.

Właściwa postać zasady Heisenberga:

h

≥

⋅

p

x

∆

∆

(21)

Słownie: Nie jest możliwe równoczesne wyznaczenie położenia x i pędu p cząstki
z taką dokładnością, aby iloczyn błędów położenia i pędu był mniejszy od h . Jeśli
chcemy dokładnie określić x, więc ∆x

➴

, ale wtedy ∆p

➶

i na odwrót.

Związki

λ

h

p

=

oraz E = hv stosują się zarówno do materii, jak i promieniowa-

nia, co stanowi wyraz dwoistego, korpuskularno-falowego charakteru przyrody.
Jeśli połączymy te związki ze związkami opisującymi własności uniwersalne dla
wszystkich fal, to otrzymamy relacje nieoznaczoności. Zatem zasada nieoznaczo-
ności jest nieunikniona konsekwencją dwoistości korpuskularno-falowej, innymi
słowy, konsekwencją wzorów de Broglie’a i Einsteina [10, 11].

19

Filozofia teorii kwantowej

Teoria kwantowa przewidująca wyniki doskonale zgodne z wynikami doświad-

czalnymi, to jednak część fizyków dyskutuje podstawy filozoficzne tej teorii.
Twórcą tzw. kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej był Neils Bohr. Po-
dejście Bohra popiera obecnie olbrzymia większość fizyków teoretyków. Niemniej
spora grupa fizyków kwestionuje słuszność interpretacji kopenhaskiej, której
głównym krytykiem był Albert Einstein. Debaty Einsteina z Bohrem są fascynują-
cą częścią historii fizyki. Pewne doświadczenia myślowe Einsteina miały na celu
wykazanie, że zasada nieoznaczoności jest błędna. Jednak w końcu Einstein uznał
logiczną spójność teorii kwantowej oraz jej zgodność z faktami doświadczalnymi,
nie mając pełnego przekonania, że teoria ta ostatecznie wyjaśnia rzeczywistość
fizyczną.

Powszechnie przyjęty pogląd podsumował Heisenberg, stwierdzając: „Nie za-

kładaliśmy, jakoby teoria kwantowa, w przeciwieństwie do teorii klasycznej, była
teorią statystyczną w tym sensie, że z dokładnych wyników doświadczalnych po-
zwala wysnuć tylko wnioski typu statystycznego. W sformułowaniu prawa przy-
czynowości, a mianowicie: „Jeśli znamy dokładnie teraźniejszość, możemy prze-
widzieć przyszłość”, nie konkluzja, a raczej przesłanka jest fałszywa, z przyczyn
zasadniczych bowiem nie możemy znać teraźniejszości we wszystkich jej szczegó-
łach”.

Pogląd Bohra i Heisenberga, że w fizyce występuje pewien podstawowy inde-

terminizm był krytykowany przez Louisa de Broglie’a. Napisał on, że „możemy
przyznać, że postawa przyjęta od 30 lat przez fizyków zajmujących się teorią
kwantów jest przynajmniej na pozór dokładnym odpowiednikiem informacji
o świecie atomowym, które uzyskaliśmy na drodze doświadczalnej. Rzecz jasna,
przy obecnym etapie badań w mikrofizyce, metody pomiaru

7

nie pozwalają nam

określić jednocześnie wszystkich wielkości koniecznych do otrzymania obrazu
cząstek typu klasycznego (można to wywnioskować z zasady nieoznaczoności
Heisenberga). Niemożliwe do usunięcia zakłócenia wprowadzone przez pomiar nie
pozwalają nam w ogólności przewidzieć dokładnie spodziewanego wyniku i po-
zwalają tylko na przewidywania statystyczne. Skonstruowanie czysto probabili-
stycznych formuł, których wszyscy teoretycy używają obecnie jest więc całkowicie
usprawiedliwione. Czytelnik może być przekonany, że nie ma wątpliwości co do
poprawności mechaniki kwantowej [12].

7

Pomiary fizyczne w sposób nieunikniony związane są z oddziaływaniem między obserwa-

torem a obserwowanym układem fizycznym. Obiektem pomiaru fizycznego może być
zarówno materia, jak i promieniowanie.

20

S U M M A R Y

Józef WOJAS
Michał BEDNAREK
Włodzimierz WOJAS

DISCUSSION OF THE PHYSICAL IDEAS FROM THE CLASSICAL

TO THE QUANTUM THEORY

PART I. THEORETICAL FUNDAMENTS

In the paper, the advance of the idea about determination of the light nature from
the Newtonian theory to the quantum and wave theory are discussed. It is indicated
that by quantum innovation, there was possibility to explain several physical phe-
nomena, for example the electron photoemission from solids and the spectra of
radiation of black body. The analysis of the wave function

)

,

( t

x

Ψ

in Schrödinger

equation is made.

PIŚMIENNICTWO

DO CZ. I

1.

B. Jaworski, A. Dietłaf: Procesy falowe, optyka, fizyka atomowa i jądrowa.
PWN, Warszawa 1981.

2.

R. Eisberg, R. Resnick: Fizyka kwantowa. PWN, Warszawa 1983.

3.

J. Wojas: Promieniowanie termiczne. SGSP, Warszawa 1991.

4.

H. A. Enge, M. R. Wehr, J. A. Richards: Wstęp do fizyki atomowej. PWN,
Warszawa 1983.

5.

S. Szczeniowski: Fizyka doświadczalna. PWN, Warszawa 1984.

6.

A. H. Piekara: Elektryczność, materia i promieniowanie. PWN, Warszawa
1986.

7.

N. W. Ashcroft, N. D. Mermin: Fizyka ciała stałego. PWN, Warszawa 1986.

8.

A. Sukiennicki, A. Zagórski: Fizyka ciała stałego. WNT, Warszawa 1984.

9.

V. Acosta, C. L.Cowan, B. J. Graham: Podstawy fizyki współczesnej. PWN,
Warszawa 1981.

10.

M. Kozielski: Fizyka współczesna. Wyd. PW, Warszawa 1981.

11.

D. Halliday, R. Resnick: Fizyka, t. 2. PWN, Warszawa 1998.

12.

R.P. Feynman, R. B. LeightonM. Sands: Feynmana wykłady z fizyki, t. 1 i 3.
PWN, Warszawa 2001.

21