PARAMETRY CHARAKTERYZUJĄCE ROZKŁAD ZMIENNEJ.

Zmienna losowa jest opisana w pełni przez swój rozkład prawdopodobieństwa. Względy

praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia pewnych charakterystyk liczbowych

pozwalających porównać rozkłady miedzy sobą.

Wartość oczekiwana (średnia zmiennej losowej).

Definicja: Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X o rozkładzie dyskretnym nazywamy

liczbę:

( )

i

i

i

ozn

p

x

X

E

m

∑

=

=

, gdzie x

i

- wartość zmiennej losowej,

(

)

i

i

x

X

P

p

=

=

, gdy szereg

i

i

i

p

x

∑

jest zbieżny. Jeżeli szereg

i

i

i

p

x

∑

rozbieżny to mówimy, że zmienna losowa nie

posiada wartości oczekiwanej.

Definicja: Wartością oczekiwaną zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym nazywamy liczbę

( )

( )

dx

x

f

x

X

E

m

ozn

∫

∝

−∝

⋅

=

=

o ile

( )

dx

x

f

x

∫

∝

∝

−

⋅

jest zbieżna. Jeżeli całka jest rozbieżna to

mówimy, że wartość oczekiwana nie istnieje.

Przykład:

Wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym, gdzie

x – liczba orłów w rzucie dwoma monetami.

1

4

1

2

2

1

1

4

1

0

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

= EX

m

.

Przykład:

Wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym, gdzie

funkcja gęstości wyraża się wzorem:

( )

2

1

1

1

x

x

f

+

=

π

,

R

x ∈

.

[ ]

+∞

=













−

=

=

=

=













=

=

+

=

+

=

+

∞

→

∞

→

∞

→

∞

∞

∞

∞

−

∫

∫

∫

∫

0

1

1

1

2

0

2

2

1

ln

ln

lim

1

ln

lim

1

1

1

lim

1

2

1

1

2

1

1

1

k

t

dt

t

t

dt

dt

xdx

t

x

dx

x

x

dx

x

x

k

k

k

k

k

π

π

π

π

π

π

.

Wartość oczekiwana nie istnieje.

x

i

0

1

2

p

i

4

1

4

2

4

1

Przykład: Weźmy dwa rozkłady zmiennych losowych X i Y.

X:

0

3

1

1

3

1

0

3

1

1

=

⋅

+

⋅

+

⋅

−

=

EX

Y:

0

3

1

100

3

1

0

3

1

100

=

⋅

+

⋅

+

⋅

−

=

EY

Uwaga:

Jeżeli zmienna losowa Y jest funkcją zmiennej losowej X tzn.

( )

X

g

Y =

i znamy rozkład

zmiennej X, to możemy znaleźć EY przy założeniu, że ta wartość istnieje.

1)

jeżeli zmienna X jest zmienną o rozkładzie dyskretnym przyjmującą wartości

,...

,

2

1

x

x

z

prawdopodobieństwami

(

)

i

i

p

x

X

P

=

=

oraz

( )

i

i

i

p

x

g

∑

jest zbieżny bezwzględnie, to

( )

i

i

i

p

x

g

EY

∑

=

.

2)

jeżeli X jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym i funkcją gęstości f i

( )

X

g

Y =

oraz

( ) ( )

dx

x

f

x

g

∫

∝

∝

−

jest bezwzględnie zbieżna, to wartość oczekiwana

( ) ( )

dx

x

f

x

g

EY

∫

∝

∝

−

=

.

Twierdzenie: Jeżeli istnieje wartość oczekiwana EX, to dla dowolnych

R

b

a

∈

,

zachodzi

wzór:

(

)

b

aEX

b

aX

E

+

=

+

.

Dowód: Weźmy

( )

b

ax

x

g

+

=

.

(

)

(

)

b

aEX

p

b

p

x

a

bp

p

ax

p

b

ax

b

aX

E

i

i

i

EX

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

+

=

+

=

+

=

+

=

+

∑

∑

∑

∑

∑













1

. ■

Wnioski:

(

)

b

EX

b

X

E

+

=

+

dla a=1,

(

)

aEX

aX

E

=

dla b=0,

( )

b

b

E

=

dla a=0.

Uwaga:

x

i

-1 0

1

p

i

3

1

3

1

3

1

y

i

-100 0 100

p

i

3

1

3

1

3

1

Jeżeli zmienne X i Y są określone na tej samej przestrzeni zdarzeń i EX i EY istnieją, to

(

)

EY

EX

Y

X

E

+

=

+

.

Definicja:

Liczbę

( )

k

k

X

E

m =

nazywamy k-tym momentem zwykłym lub momentem zwykłym k-tego

rzędu.

Definicja

Liczbę

(

)

(

)

k

k

c

X

E

−

=

'

µ

nazywamy momentem rzędu k względem stałej c.

Jeżeli

EX

m

c

=

=

1

, to momenty te nazywamy k-tymi momentami centralnymi lub

momentami centralnymi k-tego rzędu.

Momenty centralne oznaczamy:

(

)

(

)

(

)

(

)

k

k

k

EX

X

E

m

X

E

−

=

−

=

1

µ

.

Definicja:

Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę

( )

( )

(

)

(

)

2

2

2

2

µ

σ

=

−

=

=

X

E

X

E

X

D

.

Wariancja to średnia odchyleń kwadratów od wartości oczekiwanej.

1) X – rozkład dyskretny

(

)

i

i

i

i

i

m

i

p

m

x

p

EX

x

X

D

2

2

2

∑

∑

−

=

⋅













−

=

EX

m =

.

2) X – rozkład ciągły

(

) ( )

dx

x

f

m

x

X

D

∫

∝

∝

−

−

=

2

2

.

Twierdzenie:

(

)

2

2

2

EX

EX

X

D

−

=

.

Dowód:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

=

+

⋅

−

=

−

⋅

−

=

−

=

2

2

2

2

2

2

2

2

EX

E

X

EX

E

EX

EX

X

EX

X

E

EX

X

E

X

D

(

)

(

)

2

2

2

2

2

EX

EX

EX

EX

EX

EX

−

=

+

⋅

−

=

. ■

Uwaga: 1) X – ma rozkład dyskretny

∑

−

=

i

i

i

m

p

x

X

D

2

2

2

; 2) X – ma rozkład ciągły

( )

∫

∝

∝

−

−

=

2

2

2

m

dx

x

f

x

X

D

.

Przykład 1: X – rozkład liczby orłów w 2-krotnym rzucie monetą.

EX=1

2

1

4

2

1

4

1

4

4

2

1

4

1

0

1

2

2

=

=

−

⋅

+

⋅

+

⋅

=

−

=

∑

i

i

i

p

x

X

D

x

i

0

1

2

p

i

4

1

4

2

4

1

Przykład 2:

X:

0

3

1

1

3

1

0

3

1

1

=

⋅

+

⋅

+

⋅

−

=

EX

3

2

3

1

1

3

1

1

2

=

⋅

+

⋅

=

X

D

Y:

0

3

1

100

3

1

0

3

1

100

=

⋅

+

⋅

+

⋅

−

=

EY

3

20000

3

1

10000

3

1

10000

2

=

⋅

+

⋅

=

Y

D

.

Przykład 3: Niech zmienna losowa o rozkładzie ciągłym ma taką funkcję gęstości:

( )







≥

<

=

−

0

0

0

x

e

x

x

f

x

.

( )

∫

∫

∝

∝

−

∝

−

=

⋅

=

0

dx

xe

dx

x

f

x

EX

x

c

e

xe

dx

e

xe

e

v

e

v

u

x

u

dx

xe

x

x

x

x

x

x

x

+

−

−

=

+

−

=













−

=

=

=

=

=

−

−

−

−

−

−

−

∫

∫

'

1

'

.

(

)

[

]

1

1

1

lim

1

1

lim

1

lim

0

0

=

+

−

=













+

−

+

=

+

−

=

=

∫

∝

→∝

→∝

−

→∝

−

k

k

H

k

k

k

x

k

x

e

e

k

x

e

dx

xe

EX

( )

∫

∫

∝

∝

−

∝

−

=

=

0

2

2

2

dx

e

x

dx

x

f

x

EX

x

(

)

c

x

x

e

dx

xe

e

x

e

v

e

v

x

u

x

u

dx

e

x

x

x

x

x

x

x

+

+

+

−

=

+

−

=















−

=

=

=

=

=

−

−

−

−

−

−

∫

∫

2

2

2

'

2

'

2

2

2

2

2

2

2

2

lim

0

2

2

=













+













+

+

−

=

−

→∝

k

k

e

EX

k

k

1

1

2

2

2

2

2

=

−

=

−

=

m

EX

X

D

.

Przykład 4: Obliczyć wariancję zmiennej losowej o funkcji gęstości:

( )









<

≥

=

1

0

1

2

3

x

x

x

x

f

.

( )

( )

2

2

2

lim

2

lim

2

lim

2

0

1

1

2

1

3

=





















+

−

=







 −

=

=

⋅

=

∫

⋅

=

→∝

→∝

→∝

∝

∝

−∝

∫

∫

∫

∝

∝

−

k

x

dx

x

dx

x

x

dx

x

f

x

EX

k

k

k

k

k

dx

x

f

x







x

i

−1 0

1

p

i

3

1

3

1

3

1

x

i

−100 0 100

p

i

3

1

3

1

3

1

( )

[

]

+∞

=













−

=

=

=

⋅

=

=

→∝

→∝

→∝

∝

∝

−∝

∫

∫

∫

0

1

1

1

3

2

2

2

1

ln

2

ln

2

lim

ln

2

lim

2

lim

2

k

x

dx

x

dx

x

x

dx

x

f

x

EX

k

k

k

k

k

.

Definicja: Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy

X

D

2

=

σ

.

Własności wariancji:

1)

0

2

=

c

D

c-stała,

2)

(

)

( )

X

D

c

cX

D

2

2

2

=

,

3)

(

)

X

D

b

X

D

2

2

=

+

.

Dowód 1):

( )

( )

( )

(

)

0

2

2

2

2

2

=

−

=

−

=

c

c

c

E

c

E

c

D

.

Dowód 2):

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

X

D

c

EX

EX

c

EX

c

EX

c

cEX

EX

c

cX

E

X

c

E

cX

D

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

−

=

−

=

−

=

−

=

.

Dowód 3):

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

=

+

−

+

+

=

+

−

+

=

+

2

2

2

2

2

2

2

b

X

E

b

Xb

X

E

b

x

E

b

E

b

x

D

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

X

D

EX

EX

bEX

b

EX

b

E

Xb

E

EX

b

bEX

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

−

=

+

+

−

+

+

=















.

■

Wartość medialna (MEDIANA) i wartość modalna (MODA, DOMINANTA) zmiennej

losowej.

Definicja:

Wartością medialną lub środkową ozn.

e

m

nazywamy tę wartość x, dla której spełnione są

dwie nierówności:

(

)

2

1

≥

≥ x

X

P

,

(

)

2

1

≥

≤ x

X

P

.

(

)

(

)

2

1

2

1

≥

≤

∧

≥

≥

⇔

=

x

X

P

x

X

P

x

m

e

.

Twierdzenie:

Jeżeli X na rozkład ciągły o dystrybuancie F, to

( )

2

1

=

⇔

=

x

F

x

m

e

.

Dowód:

(

)

(

)

2

1

2

1

≥

≤

∧

≥

≥

⇔

=

x

X

P

x

X

P

x

m

e

1)

(

)

(

)

( )

( )

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

≤

⇔

≥

−

⇔

≥

<

−

⇔

≥

≥

x

F

x

F

x

X

P

x

X

P

.

2)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

2

1

2

1

)

(

2

1

2

1

0

≥

⇔

≥

=

+

⇔

≥

=

+

<

⇔

≥

≤

x

F

x

X

P

x

F

x

X

P

x

X

P

x

X

P









.

Z 1) i 2) mamy

( )

2

1

=

x

F

. ■

W przypadku zmiennej o rozkładzie ciągłym wygodniej jest posługiwać się dystrybuantą.

Przykład: X – rzut dwoma monetami (ilość orłów).

Przykład: Dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X typu dyskretnego

X:

x

i

0

1

2

3

4

p

i

0,15

0,2

0,1

0,25

0,3





















>

≤

<

≤

<

≤

<

≤

<

≤

=

4

1

4

3

7

,

0

3

2

45

,

0

2

1

35

,

0

1

0

15

,

0

0

0

)

(

x

x

x

x

x

x

x

F

m

e

= 3

m

o

= 4

Definicja:

Wartością modalną (m

0

) lub dominantą lub modą zmiennej losowej X o rozkładzie

dyskretnym nazywamy tę jej wartość, której odpowiada największe prawdopodobieństwo.

Definicja:

Wartością modalną (m

0

) lub dominantą lub modą zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym

nazywamy tę jej wartość, której funkcja gęstości osiąga maximum.

i

x

0

1

2

i

p

4

1

4

2

4

1

Przykład: Zmienna losowa X ma rozkład ciągły o funkcji gęstości









≤

<

=

p.p.

w

0

0

dla

sin

2

1

)

(

π

x

x

x

f

⋮

.

Wyznaczyć wartość medialną i modalną.

1) Wartość medialna:

Wyznaczamy dystrybuantę:

dt

t

f

x

X

P

x

F

x

∫

∞

−

=

<

=

)

(

)

(

)

(

dt

x

F

x

x

∫

∞

−

=

=

≤

0

0

)

(

wtedy

0

( )

[

]

x

x

t

dt

t

dt

t

f

dt

t

f

x

F

x

x

x

x

x

cos

1

2

1

2

1

cos

2

1

cos

2

1

sin

2

1

)

(

)

(

wtedy

0

0

0

0

−

=

+

−

=

=









−

=

=

=

=

≤

<

∫

∫

∫

∞

−

π

( )

1

sin

2

1

)

(

wtedy

0

=

=

=

>

∫

∫

∞

−

dt

t

dt

t

f

x

F

x

x

x

π

[

]












>

≤

<

−

≤

=

π

π

x

x

x

x

x

F

1

0

cos

1

2

1

0

0

)

(

Mamy znaleźć taki x gdzie

( )

2

1

=

x

F

.

( )

(

)

2

0

cos

1

cos

1

2

1

cos

1

2

1

2

1

π

=

⇔

=

⇔

=

−

⇔

=

−

⇔

=

x

x

x

x

x

F

2

π

=

e

m

2) Wartość modalna:

π

π

<

<

=

⇔

=

⇔

=

x

gdy

x

x

x

f

0

2

0

cos

2

1

0

)

`(

3) Wyznaczamy wartość oczekiwaną:

[

]

[

]

(

)

2

sin

cos

2

1

cos

cos

2

1

cos

sin

`

1

`

sin

2

1

)

(

0

0

0

0

π

π

π

π

π

π

π

=

+

−

=













+

−

=

=

−

=

=

=

=

=

=

⋅

=

∫

∫

∫

∞

∞

−

x

xdx

x

x

x

v

x

v

u

x

u

xdx

x

dx

x

f

x

EX

Wartość EX = m

e

= m

0

. Taki rozkład nazywa się rozkładem symetrycznym.

Inne parametry zmiennych losowych jednowymiarowych.

Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej dzielimy na 3 grupy:

1) miary położenia:

●

wartość oczekiwana

●

kwanty rzędu α ( w szczególności kwantyl dolny i górny oraz mediana )

●

moda

2) miary rozproszenia:

● wariancja

● odchylenie standardowe

●

odchylenie przeciętne

●

współczynnik zmienności

3) charakterystyki kształtu

●

współczynnik skośności (asymetrii)

●

współczynnik skupienia

Definicja:

Kwantylem rzędu α gdzie 0<α<1 zmiennej losowej X nazywamy liczbę q

α

zdefiniowaną

nierównością: F(q

α

) ≤ α ≤ F(q

α

+

).

Szczególnym przypadkiem kwantyla jest q

0,5

– mediana, q

0,25

– kwartyl dolny oraz

q

0,75

– kwartyl górny.

Kwantyl q

α

ma następującą interpretację:

α – masa prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nie przekracza liczby q

α

Uwaga: Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład ciągły, to

F(q

α

) = α

α

α

=

⇔

∫

∞

−

q

dx

x

f

)

(

Definicja: Odchyleniem przeciętnym (d) nazywamy liczbę:

i

i

i

p

m

x

d

∑

−

=

gdy X ma rozkład dyskretny

dx

x

f

m

x

d

)

(

∫

∞

∞

−

−

=

gdy X ma rozkład ciągły.

o ile szereg lub całka są zbieżne.

Zarówno odchylenie standardowe jak i przeciętne mówi -o ile przeciętnie różnią się wartości

zmiennej od wartości oczekiwanej m.

Wygodnie jest czasem scharakteryzować rozproszenie nie za pomocą odchylenia

standardowego lecz jego stosunku do wartości oczekiwanej.

Definicja: Stosunek odchylenia standardowego do wartości oczekiwanej nazywamy

współczynnikiem zmienności i oznaczamy:

1

2

)

(

)

(

)

(

m

x

E

x

x

V

µ

σ

=

=

.

Uwaga:

Współczynnik zmienności jest odchyleniem standardowym, gdy EX=1 , inaczej mówiąc

współczynnik zmienności jest miarą rozproszenia, gdy za jednostkę przyjmiemy wartość

oczekiwaną. Mówi on o zróżnicowaniu wartości zmiennej X względem wartości średniej.

Często wyrażany jest w %.

3) Parametry kształtu mówią o kształcie funkcji gęstości (w przypadku zmiennych

losowych o rozkładzie ciągłym) lub też kształtu funkcji masy prawdopodobieństwa (w

przypadku zmiennych losowych skokowych).

Wiadomo, że jeśli zmienna losowa ma rozkład symetryczny i skończoną wartość oczekiwaną,

to wartość oczekiwana jest środkiem symetrii. Wynika stąd, że dla rozkładu symetrycznego

momenty centralne rzędu nieparzystego są równe zeru. W przypadku rozkładów

niesymetrycznych potrzebne jest czasem ustalenie stopnia asymetrii układu.

Definicja: Liczba

(

)

















=

=

−

=

3

2

3

3

3

3

3

µ

µ

σ

µ

γ

σ

γ

m

X

E

nazywa się współczynnikiem

asymetrii lub współczynnikiem skośności zmiennej losowej X.

Uwaga:

Dla rozkładu symetrycznego γ=0, jeśli γ>0, to mówimy, że rozkład jest prawoskośny lub ma

asymetrię dodatnią. Jeżeli zaś γ<0, to rozkład jest lewoskośny lub ma asymetrię ujemną.

•

Drugim parametrem kształtu jest kurtoza lub inaczej współczynnik spłaszczania lub

współczynnik stromości zmiennej losowej X.

Definicja: Liczbę

(

)













=

−

=

2

2

4

4

4

µ

µ

σ

η

m

x

E

nazywa się kurtozą zmiennej losowej X.

Im wyższa jest wartość η, tym większa jest wysmukłość rozkładu. Inaczej mówiąc: małe

wartości η określają rozkład spłaszczony i przyjmuje się, że dla rozkładu normalnego η=3,

dla spłaszczonego η<3, a dla wysmukłego η>3.

Przy porównaniu dwóch rozkładów stosowana jest miara spłaszczenia zwana ekscesem.

Wartość ekscesy jest równa wartości kurtozy pomniejszonej o 3. Jeśli η-3=0, to rozkład ma

kształt normalny, jeżeli η-3<0, to rozkład ma kształt spłaszczony w stosunku do normalnego,

jeśli zaś η-3>0, to rozkład ma kształt bardziej wysmukły w stosunku do normalnego.

Eksces informuje, czy koncentracja wokół zmiennej jest mniejsza lub większa niż dla

rozkładu normalnego.