Granica i ciągłość funkcji

Pojęcie funkcji. Dane są zbiory X oraz Y.

Jeżeli każdemu elementowi zbioru X zostanie
przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru Y, to
mówimy, że została określona funkcja ze zbioru X w zbiór
Y.

Oznaczmy tę funkcję literą f. Piszemy:

Y

X

f



:

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji.

Każdy element zbioru X nazywamy argumentem funkcji f.

Element

Y

y



przyporządkowany argumentowi

X

x



nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x. Piszemy:

)

(x

f

y



.

W dalszym ciągu będziemy zajmować się funkcjami, dla
których zbiory X oraz Y są podzbiorami zbioru liczb
rzeczywistych R.

Są to funkcje liczbowe jednej zmiennej rzeczywistej.
Mówiąc: „funkcja” będziemy mieli na myśli takie funkcje.

Przykład 1. Dana jest funkcja

x

x

x

x

f

2

3

)

(

2







. Wyznaczmy

dziedzinę tej funkcji.

Funkcja ta nie jest określona, gdy mianownik ma wartość

zero. Zatem:

0

2

2





x

x

Stąd:

0

)

2

(





x

x

Czyli:

2

0





x

i

x

dziedzina funkcji f.

Uwaga: Powyższy warunek możemy zapisać na kilka
sposobów, np.

}

2

,

0

{





R

x

albo

)

;

2

(

)

2

;

0

(

)

0

;

(











x

. Często oznaczamy dziedzinę

literą D, wtedy możemy też napisać np.

}

2

,

0

{





R

D

albo

)

;

2

(

)

2

;

0

(

)

0

;

(











D

.

Przykład 2. Dana jest funkcja

6

2

)

(





x

x

f

. Wyznaczmy

dziedzinę tej funkcji.

Funkcja ta nie jest określona, gdy wyrażenie
podpierwiastkowe jest ujemne. Zatem:

0

6

2





x

. Stąd:

6

2



x

, czyli:

3



x

.

Uwaga: Powyższy warunek możemy zapisać inaczej, np.

)

;

3





x

albo

)

;

3







D

.

Funkcje różnowartościowe

Mówimy, że funkcja f jest różnowartościowa, gdy
różnym argumentom są przyporządkowane różne wartości
funkcji.

Wykres funkcji różnowartościowej ma własność: każda
prosta równoległa do osi OX przecina wykres w co
najwyżej jednym punkcie.

Funkcje parzyste

Mówimy, że funkcja f jest parzysta, gdy dla dowolnego
argumentu x liczba

x



też jest argumentem i zachodzi

równość:

)

(

)

(

x

f

x

f





Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi
OY.

Funkcje nieparzyste

Mówimy, że funkcja f jest nieparzysta, gdy dla
dowolnego argumentu x liczba

x



też jest argumentem i

zachodzi równość:

)

(

)

(

x

f

x

f







Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem
początku układu współrzędnych.

Otoczenie i sąsiedztwo liczby (punktu na osi)

Przypomnienie: Otoczeniem liczby g (punktu g – na osi) o
promieniu



nazywamy przedział

)

;

(









g

g

.

Sąsiedztwem liczby g (punktu g – na osi) o promieniu



nazywamy zbiór

}

{

)

;

(

g

g

g











.

Granica funkcji w punkcie

Niech

R

x



0

i niech f będzie funkcją określoną w

sąsiedztwie

0

x

.

Mówimy, że granica funkcji f w punkcie

0

x

jest równa g

jeżeli dla każdego ciągu

)

(

n

x

argumentów funkcji,

zbieżnego do

0

x

, o wyrazach różnych od

0

x

, ciąg

))

(

(

n

x

f

ma granicę g.

Piszemy:

g

x

f

x

x





)

(

lim

0

Uwaga: g może być liczbą lub





lub





.

Granica funkcji w plus nieskończoności

Niech f będzie funkcją określoną w przedziale

)

;

(



a

.

Mówimy, że granica funkcji f w plus nieskończoności
jest równa g jeżeli dla każdego ciągu

)

(

n

x

argumentów

funkcji, rozbieżnego do





, ciąg

))

(

(

n

x

f

ma granicę g.

Piszemy:

g

x

f

x







)

(

lim

Uwaga: g może być liczbą lub





lub





.

Granica funkcji w minus nieskończoności

Niech f będzie funkcją określoną w przedziale

)

;

(

a



.

Mówimy, że granica funkcji f w minus nieskończoności
jest równa g jeżeli dla każdego ciągu

)

(

n

x

argumentów

funkcji, rozbieżnego do





, ciąg

))

(

(

n

x

f

ma granicę g.

Piszemy:

g

x

f

x







)

(

lim

Uwaga: g może być liczbą lub





lub





.

Rachunek granic

Dla granic funkcji prawdziwe są twierdzenia analogiczne
do twierdzeń – rachunku granic dla ciągów.

Przykład 1.

a)





























1

)

1

)(

1

(

lim

0

0

1

1

lim

1

2

1

x

x

x

x

x

x

x

2

)

1

(

lim

1







x

x

b)





















0

0

1

1

lim

0

x

x

x

x

























)

1

1

(

)

1

1

)(

1

1

(

lim

0

x

x

x

x

x

x

x

x



















)

1

1

(

)

1

(

1

lim

0

x

x

x

x

x

x











)

1

1

(

2

lim

0

x

x

x

x

x

1

2

2

1

1

2

lim

0















x

x

x

c)





















2

2

2

2

2

2

4

7

5

3

lim

4

7

5

3

lim

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

7

3

0

7

0

3

4

7

5

3

lim

2



















x

x

x

Ważna granica:

1

sin

lim

0





x

x

x

Przykład 1. c.d.

d)





















x

x

x

x

x

x

3

3

sin

5

3

lim

0

0

5

3

sin

lim

0

0

5

3

1

5

3

sin

5

3

lim

)

3

.

(

0

















y

y

y

x

podst

y

e)

3

2

3

3

sin

3

2

2

sin

2

lim

0

0

3

sin

2

sin

lim

0

0























x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Granice jednostronne

Mówimy, że lewostronna granica funkcji f w punkcie

0

x

jest równa g jeżeli dla każdego ciągu

)

(

n

x

argumentów

funkcji o wartościach mniejszych od

0

x

, zbieżnego do

0

x

,

o wyrazach różnych od

0

x

, ciąg

))

(

(

n

x

f

ma granicę g.

Piszemy:

g

x

f

x

x







)

(

lim

0

0

Mówimy, że prawostronna granica funkcji f w punkcie

0

x

jest równa g jeżeli dla każdego ciągu

)

(

n

x

argumentów

funkcji o wartościach większych od

0

x

, zbieżnego do

0

x

, o

wyrazach różnych od

0

x

, ciąg

))

(

(

n

x

f

ma granicę g.

Piszemy:

g

x

f

x

x







)

(

lim

0

0

Twierdzenie. Funkcja f ma w punkcie

0

x

granicę g

wtedy i tylko wtedy gdy istnieją granice lewo- i
prawostronna funkcji f w tym punkcie i obie te granice są
równe g.

Przykład 2. Obliczmy granice jednostronne funkcji

2

5

3

)

(







x

x

x

f

w punkcie

2



x

:

























0

11

2

5

3

lim

0

2

x

x

x

























0

11

2

5

3

lim

0

2

x

x

x

Ponieważ te granice nie są sobie równe, więc

2

5

3

lim

2







x

x

x

nie istnieje.

Przykład 3. Obliczmy granice jednostronne funkcji

2

3

)

1

(

1

)

(







x

x

x

f

w punkcie

1



x

:

























0

2

)

1

(

1

lim

2

3

0

1

x

x

x

























0

2

)

1

(

1

lim

2

3

0

1

x

x

x

Ponieważ obie te granice są sobie równe, więc:











2

3

1

)

1

(

1

lim

x

x

x

Ciągłość funkcji w punkcie

Funkcję f określoną w otoczeniu punktu

0

x

nazywamy

funkcją ciągłą w punkcie

0

x

gdy istnieje granica

)

(

lim

0

x

f

x

x



i jest równa wartości funkcji w tym punkcie:

)

(

)

(

lim

0

0

x

f

x

f

x

x





Przykład 3. Zbadamy ciągłość funkcji



















1

1

1

1

)

(

2

x

dla

x

dla

x

x

x

x

f

w punkcie

1



x

.

Rozwiązanie. Obliczmy najpierw granicę:

1

lim

1

)

1

(

lim

0

0

1

lim

1

1

2

1































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Ze wzoru funkcji:

1

)

1

(



f

.

Ponieważ

)

1

(

1

lim

2

1

f

x

x

x

x









, więc dana funkcja jest

ciągła w punkcie

1



x

.

Uwaga. Ta funkcja jest ciągła także w każdym innym
punkcie – wielomiany, funkcje trygonometryczne, funkcja
wykładnicza i logarytmiczna oraz funkcje utworzone z
nich przez działania arytmetyczne są funkcjami ciągłymi.

Ciągłość funkcji w przedziale

Niech f będzie funkcją określoną w przedziale E.

Funkcję f nazywamy funkcją ciągłą w przedziale E gdy
ta funkcja jest ciągła w każdym punkcie przedziału E.