Dr inż. Janusz Dębiński

Mechanika teoretyczna

−

ćwiczenia projektowe

3. Projekt numer 3

−

przykład 1

3.1.Temat projektu

Na rysunku 3.1 przedstawiono belkę złożoną obciążoną siłami czynnymi wykorzystywaną w projekcie

numer 3 z mechaniki teoretycznej.

[m]

19,6 kN∙m

16,3 kN/m

12,3

O

A

B

C

D

E

F

G

26,3 kN/m

17,4 kN

36,3

kN

15,8

O

1,8

1,8

3,6

2,7

3,6

1,8

Rys. 3.1. Belka złożona

3.2. Analiza kinematyczna belki złożonej

Na rysunku 3.2 przedstawiono belkę złożoną traktowaną jako płaski układ tarcz sztywnych. Warunek

konieczny geometrycznej niezmienności ma postać

3⋅3=5⋅12⋅2 .

Tarcza sztywna numer I jest połączona z tarczą podporową za pomocą trzech prętów podporowych numer 1,
2 oraz 3. Kierunki ich nie przecinają się w jednym punkcie. Wobec czego jest ona geometrycznie niezmien-
na i stanowi tarczę podporową dla tarcz sztywnych numer II i III. Tarcza sztywna numer II jest połączona
z tarczą podporową za pomocą przegubu C i pręta podporowego numer 4. Przegub C nie leży na kierunku
pręta podporowego numer 4. Czyli tarcza sztywna numer II jest także geometrycznie niezmienna i stanowi
tarczę podporową dla tarczy sztywnej numer III. Tarcza sztywna numer III jest połączona z tarczą podporo-
wą za pomocą przegubu E i pręta podporowego numer 5. Przegub E nie leży na kierunku pręta podporowego
numer 5. Tarcza ta jest więc także geometrycznie niezmienna. Ostatecznie belka złożona jest geometrycznie
niezmienna i statycznie wyznaczalna.

1

4

C

A

2

3

E

5

II

I

III

C

D

E

F

G

Rys. 3.2. Belka złożona traktowana jako płaski układ tarcz sztywnych

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Mechanika teoretyczna

−

ćwiczenia projektowe

−

Projekt numer 3

−

przykład 1

2

3.3. Analiza statyczna belki złożonej

Na rysunku 3.3a przedstawiono podporę przegubowo-przesuwną F. Składowe reakcji na tej podporze

R

FX

=

R

F

⋅

sin



12,3

O



=

0,2130⋅R

F

,

R

FY

=

R

F

⋅

cos



12,3

O



=

0,9770⋅R

F

.

Siły te są przyłożone w punkcie F. Na rysunku 3.3b przedstawiono siłę 36,3 kN. Składowe tej siły

P

X

=

36,3⋅cos



15,8

O



=

34,93 kN ,

P

Y

=

36,3⋅sin



15,8

O



=

9,884 kN .

R

F

0,9770∙R

F

0,2130∙R

F

a)

b)

36,3

kN

12,3

O

F

D

15,8

O

34,93 kN

9,884 kN

Rys. 3.3. Składowe sił ukośnych. a) składowe reakcji R

F

, b) składowe siły 36,3 kN

Na rysunku 3.4 przedstawiono założone zwroty wszystkich reakcji podporowych w belce złożonej. Pio-

nową reakcję w przegubie E wyznaczono z równania równowagi

Σ M

F



EF

=

V

E

⋅

3,617,4⋅1,8−

1
2

⋅

26,3⋅3,6⋅

2
3

⋅

3,6=0

V

E

=

22,86 kN .

Reakcję na podporze przegubowo-przesuwnej F wyznaczono z równania równowagi

Σ M

E



EF

=−

0,9770⋅R

F

⋅

3,617,4⋅5,4

1

2

⋅

26,3⋅3,6⋅

1
3

⋅

3,6=0

R

F

=

42,87 kN .

Równanie sprawdzające ma postać

Σ Y



EF

=

V

E



0,9770⋅R

F

−

17,4−

1

2

⋅

26,3⋅3,6=22,860,9770⋅42,87−17,4−

1
2

⋅

26,3⋅3,6=0,00399 kN≈0.

Składowe reakcji na podporze przegubowo-przesuwnej F

R

FX

=

0,2130⋅42,87=9,131 kN ,

R

FX

=

0,9770⋅42,87=41,88 kN .

Poziomą reakcję w przegubie E wyznaczono z równania równowagi

Σ X



EF

=

H

E



0,2130⋅R

F

=

0

H

E



0,2130⋅42,87=0

H

E

=−

9,131 kN .

Poziomą reakcję w przegubie C wyznaczono z równania równowagi

Σ X



CE

=

H

C

−

34,93−H

E

=

0

H

C

−

34,93−



−

9,131



=

0

H

C

=

25,80 kN .

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Mechanika teoretyczna

−

ćwiczenia projektowe

−

Projekt numer 3

−

przykład 1

3

16,3 kN/m

C

D

E

[m]

19,6 kN∙m

16,3 kN/m

A

B

C

1,8

1,8

3,6

2,7

3,6

1,8

E

F

G

26,3 kN/m

17,4 kN

34,93 kN

9,884 kN

0,9770∙R

F

0

,2

1

30

∙R

F

V

E

V

E

H

E

H

E

V

D

V

C

H

C

V

C

H

C

H

A

V

A

M

A

X

Y

Rys. 3.4. Założone zwroty wszystkich reakcji podporowych w belce złożonej

Pionową reakcję w przegubie C wyznaczono z równania równowagi

Σ M

D



CE

=

V

C

⋅

3,6V

E

⋅

2,7−16,3⋅3,6⋅

3,6

2

=

0

V

C

⋅

3,622,86⋅2,7−16,3⋅3,6⋅

3,6

2

=

0

V

C

=

12,20 kN .

Pionową reakcję na podporze przegubowo-przesuwnej D wyznaczono z równania równowagi

Σ M

C



CE

=−

V

D

⋅

3,6V

E

⋅

6,39,884⋅3,616,3⋅3,6⋅

3,6

2

=

0

−

V

D

⋅

3,622,86⋅6,39,884⋅3,616,3⋅3,6⋅

3,6

2

=

0

V

D

=

79,23 kN .

Sprawdzające równanie równowagi ma postać

Σ Y



CE

=

V

C



V

D

−

V

E

−

9,884−16,3⋅3,6=12,2079,23−22,86−9,884−16,3⋅3,6=0,006 kN≈0.

Moment w utwierdzeniu A wyznaczono z równania równowagi

Σ M

A



AC 

=

M

A



V

C

⋅

3,619,616,3⋅1,8⋅



1,8

1,8

2



=

0

M

A



12,20⋅3,619,616,3⋅1,8⋅



1,8

1,8

2



=

0

M

A

=−

142,7 kN⋅m .

Pionową reakcję w utwierdzeniu A wyznaczono z równania równowagi

Σ M

C



AC 

=

V

A

⋅

3,6M

A



19,6−16,3⋅1,8⋅

1,8

2

=

0

V

A

⋅

3,6−142,719,6−16,3⋅1,8⋅

1,8

2

=

0

V

A

=

41,53 kN .

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Mechanika teoretyczna

−

ćwiczenia projektowe

−

Projekt numer 3

−

przykład 1

4

Sprawdzające równanie równowagi ma postać

Σ Y



AC 

=

V

A

−

V

C

−

16,3⋅1,8=41,53−12,20−16,3⋅1,8=−0,01kN≈0 .

Poziomą reakcję w utwierdzeniu A wyznaczono z równania równowagi

Σ X



CE

=

H

A

−

H

C

=

0

H

A

−

25,80=0

H

A

=

25,80 kN .

Na rysunku 3.5 przedstawiono prawidłowe wartości i zwroty wszystkich reakcji podporowych w belce zło-
żonej.

16,3 kN/m

C

D

E

[m]

19,6 kN∙m

16,3 kN/m

A

B

C

1,8

1,8

3,6

2,7

3,6

1,8

E

F

G

26,3 kN/m

17,4 kN

34,93 kN

9,884 kN

22,86 kN

22,86 kN

41,88 kN

9,131

kN

9,131 kN

9,131 kN

25,80 kN

25,80 kN

12,20 kN

12,20 kN

79,23 kN

142,7 kN∙m

41,53 kN

25,80 kN

Rys. 3.5. Prawidłowe wartości i zwroty wszystkich reakcji podporowych w belce złożonej

3.4. Siły przekrojowe w przedziale AB

Na rysunku 3.6 przedstawiono siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału AB. Zmien-

na x zmienia się od zera do 1,8 m. Funkcja siły normalnej

N



x



=−

25,80 kN .

Funkcja siły poprzecznej

T



x



=

41,53 kN .

Funkcja momentu zginającego

M



x



=

41,53⋅x−142,7 .

Drugie różniczkowe równanie równowagi ma postać

dM



x



dx

=

41,53 kN=T



x



.

Wartości funkcji momentu zginającego konieczne do jej jednoznacznego wyznaczenia

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Mechanika teoretyczna

−

ćwiczenia projektowe

−

Projekt numer 3

−

przykład 1

5

A

x

142,7 kN∙m

41,53 kN

25,80 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. 3.6. Siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału AB

M



0,0



=

41,53⋅0,0−142,7=−142,7 kN⋅m ,

M



1,80



=

41,53⋅1,80−142,7=−67,95 kN⋅m .

3.5. Siły przekrojowe w przedziale BC

Na rysunku 3.7 przedstawiono siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału BC. Zmienna

x zmienia się od zera do 1,8 m. Funkcja obciążenia ciągłego

q=16,3

kN

m

.

Funkcja siły normalnej

N



x



=−

25,80 kN .

Funkcja siły poprzecznej

T



x



=

12,2016,30⋅x .

Pierwsze różniczkowe równanie równowagi ma postać

dT



x



dx

=

16,30

kN

m

=

q



x



.

Wartości funkcji siły poprzecznej konieczne do jej jednoznacznego wyznaczenia

T



0,0



=

12,2016,30⋅0,0=12,20 kN ,

T



1,80



=

12,2016,30⋅1,80=41,54 kN .

Funkcja momentu zginającego

M



x



=−

12,20⋅x−16,30⋅x⋅

x

2

=−

8,150⋅x

2

−

12,20⋅x .

Drugie różniczkowe równanie równowagi ma postać

dM



x



dx

=−

2⋅8,150⋅x−12,20=−16,30⋅x−12,20=−T



x



.

Wartości funkcji momentu zginającego konieczne do jej jednoznacznego wyznaczenia

M



0,0



=−

8,150⋅0,0

2

−

12,20⋅0,0=0,0 kN⋅m ,

M



0,90



=−

8,150⋅0,90

2

−

12,20⋅0,90=−17,58 kN⋅m ,

M



1,80



=−

8,150⋅1,80

2

−

12,20⋅1,80=−48,37 kN⋅m .

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Mechanika teoretyczna

−

ćwiczenia projektowe

−

Projekt numer 3

−

przykład 1

6

16,3 kN/m

C

x

25,80 kN

12,20 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. 3.7. Siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału BC

3.6. Siły przekrojowe w przedziale CD

Na rysunku 3.8 przedstawiono siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału CD. Zmien-

na x zmienia się od zera do 3,6 m. Funkcja obciążenia ciągłego

q=16,3

kN

m

.

Funkcja siły normalnej

N



x



=−

25,80 kN .

Funkcja siły poprzecznej

T



x



=

12,20−16,30⋅x .

Pierwsze różniczkowe równanie równowagi ma postać

dT



x



dx

=−

16,30

kN

m

=−

q



x



.

Wartości funkcji siły poprzecznej konieczne do jej jednoznacznego wyznaczenia

T



0,0



=

12,20−16,30⋅0,0=12,20 kN ,

T



3,60



=

12,20−16,30⋅3,60=−46,48 kN .

Miejsce zerowe funkcji siły poprzecznej

12,20−16,30⋅x

0

=

0

x

0

=

0,7485 m .

Funkcja momentu zginającego

M



x



=

12,20⋅x−16,30⋅x⋅

x
2

=−

8,150⋅x

2



12,20⋅x .

Drugie różniczkowe równanie równowagi ma postać

dM



x



dx

=−

2⋅8,150⋅x12,20=−16,30⋅x12,20=T



x



.

Wartości funkcji momentu zginającego konieczne do jej jednoznacznego wyznaczenia

M



0,0



=−

8,150⋅0,0

2



12,20⋅0,0=0,0 kN⋅m ,

M



0,7485



=−

8,150⋅0,7485

2



12,20⋅0,7485=4,566 kN⋅m ,

M



3,60



=−

8,150⋅3,60

2



12,20⋅3,60=−61,70 kN⋅m .

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Mechanika teoretyczna

−

ćwiczenia projektowe

−

Projekt numer 3

−

przykład 1

7

16,3 kN/m

C

x

25,80 kN

12,20 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. 3.8. Siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału CD

3.7. Siły przekrojowe w przedziale DE

Na rysunku 3.9 przedstawiono siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału DE. Zmienna

x zmienia się od zera do 2,7 m. Funkcja siły normalnej

N



x



=

9,131 kN .

Funkcja siły poprzecznej

T



x



=

22,86 kN .

Funkcja momentu zginającego

M



x



=−

22,86⋅x .

Drugie różniczkowe równanie równowagi ma postać

dM



x



dx

=−

22,86 kN=−T



x



.

Wartości funkcji momentu zginającego konieczne do jej jednoznacznego wyznaczenia

M



0,0



=−

22,86⋅0,0=0,0 kN⋅m ,

M



2,70



=−

22,86⋅2,70=−61,72 kN⋅m .

E

x

22,86 kN

9,131 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. 3.9. Siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału DE

3.8. Siły przekrojowe w przedziale EF

Na rysunku 3.10 przedstawiono siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału EF. Zmien-

na x zmienia się od zera do 3,6 m. Funkcja obciążenia ciągłego

q



x



=

26,30

3,60

⋅

x=7,306⋅x .

Funkcja siły normalnej

N



x



=

9,131 kN .

Funkcja siły poprzecznej

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Mechanika teoretyczna

−

ćwiczenia projektowe

−

Projekt numer 3

−

przykład 1

8

[m]

x

1,8

F

G

17,4 kN

41,88 kN

9,131

kN

7,306∙x

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. 3.10. Siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału EF

T



x



=

17,40−41,88

1
2

⋅

7,306⋅x⋅x=3,653⋅x

2

−

24,48 .

Pierwsze różniczkowe równanie równowagi ma postać

dT



x



dx

=

2⋅3,653⋅x=7,306⋅x=q



x



.

Wartości funkcji siły poprzecznej konieczne do jej jednoznacznego wyznaczenia

T



0,0



=

3,653⋅0,0

2

−

24,48=−24,48 kN ,

T



3,60



=

3,653⋅3,60

2

−

24,48=22,86 kN .

Miejsce zerowe funkcji siły poprzecznej

3,653⋅x

0

2

−

24,48=0

x

0

=

2,589 m .

Funkcja momentu zginającego

M



x



=−

17,40⋅



x1,8





41,88⋅x−

1
2

⋅

7,306⋅x⋅x⋅

1
3

⋅

x=−1,218⋅x

3



24,48⋅x−31,32 .

Drugie różniczkowe równanie równowagi ma postać

dM



x



dx

=−

3⋅1,218⋅x

2



24,48=−3,654⋅x

2



24,48=−T



x



.

Wartości funkcji momentu zginającego konieczne do jej jednoznacznego wyznaczenia

M



0,0



=−

1,218⋅0,0

3



24,48⋅0,0−31,32=−31,32 kN⋅m ,

M



1,00



=−

1,218⋅1,00

3



24,48⋅1,00−31,32=−8,058 kN⋅m ,

M



2,589



=−

1,218⋅2,589

3



24,48⋅2,589−31,32=10,92 kN⋅m ,

M



3,60



=−

1,218⋅3,60

3



24,48⋅3,60−31,32=−0,01901 kN⋅m=0,0 kN⋅m .

3.9. Siły przekrojowe w przedziale FG

Na rysunku 3.11 przedstawiono siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału FG. Zmien-

na x zmienia się od zera do 1,8 m. Funkcja siły normalnej

N



x



=

0,0 kN .

Funkcja siły poprzecznej

T



x



=

17,40 kN .

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Mechanika teoretyczna

−

ćwiczenia projektowe

−

Projekt numer 3

−

przykład 1

9

x

G

17,4 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. 3.11. Siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału FG

Funkcja momentu zginającego

M



x



=−

17,40⋅x .

Drugie różniczkowe równanie równowagi ma postać

dM



x



dx

=−

17,40 kN=−T



x



.

Wartości funkcji momentu zginającego konieczne do jej jednoznacznego wyznaczenia

M



0,0



=−

17,40⋅0,0=0,0 kN⋅m ,

M



1,80



=−

17,40⋅1,80=−31,32 kN⋅m .

3.10. Wykresy sił przekrojowych w belce złożonej

Na rysunku 3.121 przedstawiono wykresy sił normalnej i poprzecznej oraz momentu zginającego w belce

złożonej.

N(x)

[kN]

T(x)
[kN]

M(x)

[kN∙m]

[m]

19,6 kN∙m

16,3 kN/m

12,3

O

A

B

C

D

E

F

G

26,3 kN/m

17,4 kN

36,3

kN

15,8

O

1,8

1,8

3,6

2,7

3,6

1,8

79,23 kN

142,7 kN∙m

41,53 kN

25,80 kN

42

,8

7

kN

25,80

25,80

25,80

9,131

9,131

0,0

41,53

12

,2

0

46

,4

8

22,86

2

4,

4

8

17,40

2,589

1,011

0,7485

2,852

2,589

1,011

0,7485

2,852

0,90

0,90

1

42

,7

67

,9

5

48

,3

7

1

7,

5

8

0,

0

4

,5

6

6

61,72

0,

0

10

,9

2

1,00

2,60

8,

05

8

3

1,

3

2

0,

0

Rys. 3.12. Wykresy sił przekrojowych w belce złożonej

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I