WM

6. Ćwiczenie projektowe numer 6 – przykład 2

1

6. Ćwiczenie projektowe numer 6 – przykład 2

6.1. Ćwiczenie projektowe numer 6

Wykazać geometryczną niezmienność oraz narysować wykresy siły poprzecznej i momentu zgina-

jącego dla belki przedstawionej na rysunku 6.1. Zaprojektować przekrój dwuteowy pręta. W przekroju,
w którym moment zginający osiąga wartość ekstremalną narysować wykres naprężenia normalnego

σ

X

.

A

B

C

8,0 kN

16,0 kN/m

4,0

2,0

[m]

12

0

Rys. 6.1. Belka zginana ukośnie

1

2

3

A

I

B

C

Rys. 6.2. Belka jako tarcza sztywna

A

B

C

8,0 kN

16,0 kN/m

2,0

[m]

H

A

V

B

Y

X

4,0

V

A

Rys. 6.3. Założone zwroty reakcji podporowych

6.2. Analiza kinematyczna belki

Rysunek 6.2 przedstawia belkę prostą traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę

sztywną. Jak widać na rysunku Z5/5.2 tarcza sztywna posiada trzy stopnie swobody. Tarcza ta jest podparta
trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem trzy stopnie swobody. Został
więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności. Belka może więc być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. Tarcza numer I jest podparta trzema prętami
podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony
także i warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona
geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

WM

6. Ćwiczenie projektowe numer 6 – przykład 2

2

6.3. Wyznaczenie reakcji podporowych

Rysunek 6.3 przedstawia założone zwroty reakcji podporowych. Pozioma reakcja na podporze A

wynosi



X =H

A

=

0

H

A

=

0,0 kN

.

Pionowa reakcja na podporze A wynosi



M

B

=

V

A

⋅

4,0−16,0⋅4,0⋅

1

2

⋅

4,08,0⋅2,0=0

V

A

=

28,0 kN

.

Pionowa reakcja na podporze B wynosi



M

A

=−

V

B

⋅

4,016,0⋅4,0⋅

1
2

⋅

4,08,0⋅6,0=0

V

B

=

44,0 kN

.

Równanie sprawdzające ma postać



Y =V

A



V

B

−

16,0⋅4,0−8,0=28,044,0−72,0=0

.

Rysunek 6.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych.

A

B

C

28,0 kN

16,0 kN/m

4,0

2,0

[m]

8,0 kN

44,0 kN

Rys. 6.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych

6.4. Wykres siły poprzecznej

W przedziale AB siła poprzeczna jest funkcją liniową natomiast w przedziale BC funkcją stałą.

Wartość siły poprzecznej w punkcie A wynosi

T

A

=

28,0 kN

.

Wartość siły poprzecznej z lewej strony punktu B wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

WM

6. Ćwiczenie projektowe numer 6 – przykład 2

3

T

B



L



=

28,0−16,0⋅4,0=−36,0 kN

.

Miejsce zerowe siły poprzecznej znajduje się w odległości

x

L

=

28,0

16,0

=

1,75 m

,

x

P

=

36,0
16,0

=

2,25 m

.

Wartość siły poprzecznej z prawej strony punktu B wynosi

T

B



P



=−

36,044,0=8,0 kN

.

Wartość siły poprzecznej w przedziale BC wynosi

T

BC

=

8,0 kN

.

Rysunek 6.8 przedstawia wykres siły poprzecznej w belce.

6.5. Wykres momentu zginającego

W przedziale AB moment zginający jest funkcją kwadratową stopnia natomiast w przedziale BC

funkcją liniową. Zgodnie z rysunkiem 6.5 a) moment zginający w punkcie A wynosi

M

A

=

0,0 kNm

.

Zgodnie z rysunkiem 6.5 b) moment zginający z lewej strony punktu B wynosi

M

B



L



=

28,0⋅4,0−16,0⋅4,0⋅

1

2

⋅

4,0=−16,0 kNm

.

Zgodnie z rysunkiem 6.6 ekstremalny moment zginający w przedziale AB wynosi

M

1

=

28,0⋅1,75−16,0⋅1,75⋅

1

2

⋅

1,75=24,5 kNm

,

M

1

=

44,0⋅2,25−8,0⋅



2,02,25



−

16,0⋅2,25⋅

1
2

⋅

2,25=24,5 kNm

.

Zgodnie z rysunkiem 6.7 a) moment zginający z prawej strony punktu B wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

WM

6. Ćwiczenie projektowe numer 6 – przykład 2

4

A

28,0 kN

16,0 kN/m

4,0

[m]

A

28,0 kN

a)

b)

M

A

M

B

(L)

Rys. 6.5. Momenty zginające w przedziale AB

A

28,0 kN

1,75

16,0 kN/m

B

C

16,0 kN/m

2,0

[m]

8,0 kN

44,0 kN

2,25

M

1

M

1

a)

b)

Rys. 6.6. Ekstremalny moment zginający w przedziale AB

C

2,0

[m]

8,0 kN

M

B

(P)

a)

b)

C

8,0 kN

M

C

Rys. 6.7. Momenty zginające w przedziale BC

A

B

C

28,0 kN

16,0 kN/m

4,0

2,0

[m]

8,0 kN

44,0 kN

T(x) [kN]

M(x) [kNm]

28

,0

36

,0

8,0

0,0

0,0

1,75

2,25

1,75

2,25

24

,5

16

,0

Rys. 6.8. Wykresy sił przekrojowych w belce

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

WM

6. Ćwiczenie projektowe numer 6 – przykład 2

5

M

B



P



=−

8,0⋅2,0=−16,0kNm

.

Zgodnie z rysunkiem 6.7 b) moment zginający w punkcie C wynosi

M

C

=

0,0 kNm

.

Rysunek 6.8 przedstawia wykres momentu zginającego w belce.

6.6. Wykres naprężenia normalnego

Zgodnie z rysunkiem 6.8 wartość bezwzględna ekstremalnego momentu zginającego na długości belki

wynosi

∣

M

EXT

∣

=

24,5kNm=2450 kNcm

.

Na podstawie Tablic do projektowania przekrojów zginanych ukośnie przyjęto dwuteownik 240. Nośność
tego przekroju wynosi

M

R

=

27,75 kNm

.

Wymiary przekroju przedstawia rysunek 6.9. Główne momenty bezwładności odczytane z Tabli do projek-
towania konstrukcji metalowych wynoszą

J

Y

=

J

Ygl

=

4250 cm

4

,

J

Z

=

J

Zgl

=

221 cm

4

.

Rysunek 6.10 przedstawia rozkład momentu zginającego na składowe po kierunkach głównych osi bezwład-
ności. Wartości bezwzględne tych składowych wynoszą

∣

M

Y

∣

=

2450

⋅

cos



12°

=

2396 kNcm

,

∣

M

Z

∣

=

2450⋅sin



12°



=

509.4 kNcm

.

Składowe te mają wartości

M

Y

=

2396kNcm

,

M

Z

=−

509,4 kNcm

.

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

WM

6. Ćwiczenie projektowe numer 6 – przykład 2

6

10,6

[cm]

5,3

5,3

Z=Z

gl

Y=Y

gl

12

,0

12

,0

24

,0

Rys. 6.9. Wymiary przekroju belki

Z=Z

gl

Y=Y

gl

2450 kNcm

2396 k

Ncm

509,4 k

Ncm

12

0

12

0

Rys. 6.10. Rozkład momentu zginającego na momenty składowe po kierunkach głównych osi bezwładności

Funkcja naprężenia normalnego ma postać



X

=−

−

509,4
221

⋅

y

2396
4250

⋅

z=2,305⋅y0,5638⋅z

.

Oś obojętna ma postać

2,305⋅y0,5638⋅z=0

,

0,5638⋅z=−2,305⋅y

,

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

WM

6. Ćwiczenie projektowe numer 6 – przykład 2

7

σ

X

[M

Pa

]

18

9,8

1

Z=Z

gl

Y=Y

gl

2450 kNcm

12

0

2

18

9,8

Rys. 6.11. Wykres naprężenia normalnego

z=−4,088⋅y

.

Kąt nachylenia osi obojętnej wynosi

=−

76,25 °

.

Rysunek 6.11 przedstawia położenie osi obojętnej. Wartości naprężenia normalnego w punktach najdalej
oddalonych od osi obojętnej wynoszą



X



1



=

2,305⋅



−

5,3





0,5638⋅



−

12,0



=−

18,98

kN

cm

2

=−

189,8 MPa

,



X



2



=

2,305⋅5,30,5638⋅12,0=18,98

kN

cm

2

=

189,8 MPa

.

Rysunek 6.11 przedstawia wykres naprężenia normalnego w przekroju belki zginanej ukośnie.

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I