WM

Z2/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

1

Z2/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

Z2/2.1. Belka złożona numer 1

Sprawdzić czy belka złożona przedstawiona na rysunku Z2/2.1 jest układem geometrycznie niezmien-

nym.

Rys. Z2/2.1. Belka złożona

W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów

podporowych. Przedstawia to rysunek Z2/2.2.

4

5

1

2

3

A

B

I

II

III

Rys. Z2/2.2. Zastępczy układ tarcz sztywnych

4

5

A

B

II

III

Rys. Z2/2.3. Zastępczy układ tarcz sztywnych

5

B

III

Rys. Z2/2.4. Zastępcza tarcza sztywna

Jak widać na rysunku Z2/2.2 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast

liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać

3⋅3=5⋅12⋅2

.

(Z2/2.1)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić warunki dosta-
teczne geometrycznej niezmienności.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z2/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

2

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z2/2.3.

Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub

A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić
podłoże dla pozostałej tarczy sztywnej. Przedstawia to rysunek Z2/2.4.

Tarcza numer III jest podparta przegubem rzeczywistym B oraz prętem podporowym numer 5. Prze-

gub B nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że

belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z2/2.2. Belka złożona numer 2

Sprawdzić czy belka złożona przedstawiona na rysunku Z2/2.5 jest układem geometrycznie niezmien-

nym.

Rys. Z2/2.5. Belka złożona

W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów

podporowych. Przedstawia to rysunek Z2/2.6.

4

5

1

2

3

A

B

I

II

III

Rys. Z2/2.6. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z2/2.6 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast

liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać

3⋅3=5⋅12⋅2

.

(Z2/2.2)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić warunki
dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z2/2.7.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z2/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

3

4

5

A

B

C

∞

II

III

Rys. Z2/2.7. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcze numer II i III tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi A i B oraz przegubem

niewłaściwym C utworzonym z prętów podporowych numer 4 i 5. Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj
prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz sztywnych.
Wobec tego są one geometrycznie niezmienne.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że

belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z2/2.3. Belka złożona numer 3

Sprawdzić czy belka złożona przedstawiona na rysunku Z2/2.8 jest układem geometrycznie niezmien-

nym.

Rys. Z2/2.8. Belka złożona

W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów

podporowych. Przedstawia to rysunek Z2/2.9.

4

5

1

2

3

A

B

I

II

III

Rys. Z2/2.9. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z2/2.9 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast

liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać

3⋅3=5⋅12⋅2

.

(Z2/2.3)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić warunki
dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z2/2.10.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z2/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

4

4

5

A

B

II

III

Rys. Z2/2.10. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub

A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić
podłoże dla pozostałej tarczy sztywnej. Przedstawia to rysunek Z2/2.11.

5

B

III

Rys. Z2/2.11. Zastępcza tarcza sztywna

Tarcza numer III jest podparta przegubem rzeczywistym B oraz prętem podporowym numer 5. Prze-

gub B nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że

belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z2/2.4. Belka złożona numer 4

Sprawdzić czy belka złożona przedstawiona na rysunku Z2/2.12 jest układem geometrycznie nie-

zmiennym.

Rys. Z2/2.12. Belka złożona

W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów

podporowych. Przedstawia to rysunek Z2/2.13.

Jak widać na rysunku Z2/2.13 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast

liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać

3⋅3=5⋅12⋅2

.

(Z2/2.4)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić warunki dosta-
teczne geometrycznej niezmienności.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z2/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

5

4

5

1

2

3

A

B

I

II

III

Rys. Z2/2.13. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z2/2.14.

4

5

A

B

II

III

C

∞

Rys. Z2/2.14. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcze numer II i III tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi A i B oraz przegubem

niewłaściwym C utworzonym z prętów podporowych numer 4 i 5. Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj
prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz sztywnych.
Wobec tego są one geometrycznie niezmienne.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że

belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z2/2.5. Belka złożona numer 5

Sprawdzić czy belka złożona przedstawiona na rysunku Z2/2.15 jest układem geometrycznie nie-

zmiennym.

W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów

podporowych. Przedstawia to rysunek Z2/2.16.

Rys. Z2/2.15. Belka złożona

4

5

1

2

3

B

D

I

II

III

Rys. Z2/2.16. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z2/2.16 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast

liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z2/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

6

3⋅3=5⋅12⋅2

.

(Z2/2.5)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić warunki dosta-
teczne geometrycznej niezmienności.

4

5

1

2

3

B

D

I

II

III

C

∞

A

Rys. Z2/2.17. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Zgodnie z rysunkiem Z2/2.17 tarcze numer I i II tworzą układ trójprzegubowy z przegubem fikcyjnym

A utworzonym z prętów podporowych numer 1 i 2, przegubem rzeczywistym B oraz przegubem
niewłaściwym C z prętów podporowych numer 3 i 4. Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj prostej. Został
więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz sztywnych. Wobec tego są
one geometrycznie niezmienne i mogą stanowić podłoże dla tarczy numer III. Przedstawia to rysunek
Z2/2.18.

5

D

III

Rys. Z2/2.18. Zastępcza tarcza sztywna

Tarcza numer III jest podparta przegubem rzeczywistym D oraz prętem podporowym numer 5. Prze-

gub D nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że

belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z2/2.6. Belka złożona numer 6

Sprawdzić czy belka złożona przedstawiona na rysunku Z2/2.19 jest układem geometrycznie nie-

zmiennym.

Rys. Z2/2.19. Belka złożona

W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów

podporowych. Przedstawia to rysunek Z2/2.20.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z2/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

7

3

4

A

B

I

II

5

6

1

2

III

IV

C

Rys. Z2/2.20. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z2/2.20 liczba tarcz wynosi 4, liczba prętów podporowych wynosi 6 natomiast

liczba przegubów rzeczywistych wynosi 3. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać

3⋅4=6⋅13⋅2

.

(Z2/2.6)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić warunki
dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z2/2.21.

Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub

A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić
podłoże dla pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z2/2.22.

Tarcze numer III i IV tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi B i C oraz

przegubem niewłaściwym D utworzonym z prętów podporowych numer 5 i 6. Wszystkie przeguby nie leżą
na jednaj prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz
sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie niezmienne.

4

A

B

II

5

6

III

IV

C

Rys. Z2/2.21. Zastępczy układ tarcz sztywnych

B

5

6

III

IV

C

D

∞

Rys. Z2/2.22. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że

belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z2/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

8

Z2/2.7. Belka złożona numer 7

Sprawdzić czy belka złożona przedstawiona na rysunku Z2/2.23 jest układem geometrycznie nie-

zmiennym.

Rys. Z2/2.23. Belka złożona

W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów

podporowych. Przedstawia to rysunek Z2/2.24.

3

4

A

B

I

II

5

6

1

2

III

IV

C

Rys. Z2/2.24. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z2/2.24 liczba tarcz wynosi 4, liczba prętów podporowych wynosi 6 natomiast

liczba przegubów rzeczywistych wynosi 3. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać

3⋅4=6⋅13⋅2

.

(Z2/2.7)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić warunki
dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z2/2.25.

4

A

B

II

5

6

III

IV

C

Rys. Z2/2.25. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub

A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić
podłoże dla pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z2/2.26

Tarcze numer III i IV tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi B i C oraz

przegubem niewłaściwym D utworzonym z prętów podporowych numer 5 i 6. Wszystkie przeguby nie leżą

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z2/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

9

na jednaj prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz
sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie niezmienne.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że

belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

B

5

6

III

IV

C

D

∞

Rys. Z2/2.26. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Dr inż. Janusz Dębiński