1.

a. lim

x→3



9

x

2

−





>

6

2x − 1



9

x

2

− 5

=

9 − 6 − 1

9 − 5

=

2

4

=

1

2

b. lim

x→0

(





>

0

x + 1)





>

1

e

x







:

1

cos x

= 1

c. lim

x→2

x

2

− 4

x − 2

= lim

x→2





(x − 2)(x + 2)





x − 2

= 1

d. lim

x→1

x

3

− 1

x

2

− 1

= lim

x→1





(x − 1)(x

2

+ x + 1)

(x + 1)





(x − 1)

=

3

2

e. lim

x→1



1

x − 1

−

2

x

2

− 1



= lim

x→1

x + 1 − 2

(x − 1)(x + 1)

= lim

x→1





x − 1





(x − 1)(x + 1)

=

1

2

f. lim

x→∞

2x

3

+ x

2

− x − 1

5x

3

+ x

2

− x + 1

= lim

x→∞





1

x

3

(2 +



0

1
x

−







7

0

1

x

2

−



0

1

x

3

)





1

x

3

(5 +



0

1
x

−







7

0

1

x

2

+







7

0

1

x

3

)

=

2

5

g. lim

x→∞

2x

3

+ x

2

− x − 1

5x

2

+ x + 1

= lim

x→∞





1

x

2

(2x +



0

1
x

−







7

0

1

x

2

−







7

0

1

x

3

)





1

x

2

(5 +



0

1

x

+







7

0

1

x

2

)

= ∞

h. lim

x→∞

2x

2

+ x

2

− x − 1

5x

3

+ x

2

− x + 1

= lim

x→∞





1

x

3

(







7

0

2

x

3

+



0

1
x

−







7

0

1

x

2

−



0

1

x

3

)





1

x

3

(5 +



0

1
x

−







7

0

1

x

2

+







7

0

1

x

3

)

= 0

i. lim

x→−∞

2x

4

+ 1

5x

2

− x

j. lim

x→5

√

5x − 5

x − 5

k. lim

x→0

sin 3x

5x

= lim

x→0

sin 3x

3x

·

3

5

=

3

5

l. lim

x→0

tg 2x

7x

= lim

x→0

sin 2x

2x cos 2x

·

2

7

=

2

7

m. lim

x→0

1 − cos x

x

2

= lim

x→0

1 − cos

2

x

x

2

(1 + cos x)

= lim

x→0



sin x

x



2

·

1

1 + cos x

=

1

2

n. lim

x→0

sin 3x

sin 2x

= lim

x→0

sin 3x

3x

sin 2x

2x

·

3

2

=

3

2

o. lim

x→0

tg x − sin x

x

3

= lim

x→0

sin x

cos x

− sin x

x

3

= lim

x→0

sin x(1 − cos x)

x

3

cos x

= lim

x→0

sin x(1 − cos x)

x

3

cos x

·

1 + cos x

1 + cos x

=

lim

x→0

sin

3

x

x

3

(cos x + cos

2

x)

= lim

x→0



1

sin

3

x

x

3

·

1







:

1

cos x +







:

1

cos

2

x

=

1

2

p. lim

x→0

4x

3 sin 2x

= lim

x→0

2

3







>

1

sin 2x

2x

=

2

3

1

q. lim

x→

π

2

sin x

x

r. lim

x→∞

sin x

x

= 0

(na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach)

s. lim

x→∞



1 +

1

x



x

2

= lim

x→∞



1 +

1

x



x



x

= +∞

t. lim

x→−∞



1 +

1

x



x

2

= lim

x→−∞



1 +

1

x



x



x

= 0

u. lim

x→∞



1 +

3

x



x

= lim

x→∞



1 +

3

x



x
3

!

3

= e

3

v. lim

x→∞



x + 1

x − 3



x

= lim

x→∞



x − 3 + 4

x − 3



x

= lim

x→∞



1 +

4

x − 3



x

=

= lim

x→∞







1 +

4

x − 3



x−3

4





4



1 +

4

x − 3



3

= e

4

w. lim

x→∞

(

√

x + 5 −

√

x) = lim

x→∞



√

x + 5 −

√

x

 

√

x + 5 +

√

x



√

x + 5 +

√

x

= lim

x→∞

5

√

x + 5 +

√

x

= 0

x. lim

x→∞

(x +

3

√

1 − x

3

)

y. lim

x→0

x

2

+ x

1 −

√

x + 1

2