Analiza Matematyczna

Kolokwium 2

Zestaw D1

Zadanie 1

Prosz¸e obliczyć

Z

dx

√

4 − 3x

2

dx.

Rozwi¸

azanie

Z

dx

√

4 − 3x

2

dx =

1

2

Z

dx

q

1 − (

√

3/2)

2

=

√

3

3

Z

dy

p1 − y

2

=

=

√

3

3

arcsin y + C =

√

3

3

arcsin

√

3

2

x + C

gdzie zastosowaliśmy podstawienie y =

√

3

2

x.

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji f (x) = x

2

,

g(x) = x

2

− 2x + 4 .

Rozwi¸

azanie

Rozwi¸

azuj¸

ac układ równań y = x

2

i y = x

2

− 2x + 4, otrzymujemy współrz¸edne punktu

wspólnego parabol (2, 4).
St¸

ad pole obszaru

|P (O)| =

Z

2

0

(x

2

− 2x + 4 − x

2

)dx =

Z

2

0

(−2x + 4)dx = −4 + 8 = 4.

Zadanie 3

Prosz¸e wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji

f (x) =

√

x

3

e

−x

.

1

Rozwi¸

azanie

Dziedzin¸

a funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nieujemnych.

Obliczamy pochodn¸

a rz¸edu pierwszego funkcji f (x).

f

0

(x) =

3

2

x

1/2

e

−x

− x

3/2

e

−x

=

√

xe

−x

(3/2 − x)

.
f

0

(x) > 0, gdy x ∈ (0, 3/2).

f

0

(x) < 0, gdy x ∈ (3/2, ∞).

Funkcja f (x) jest ściśle rosn¸

aca na przedziale (0, 3/2)

i ściśle malej¸

aca na przedziale (3/2, ∞)

Funkcja f (x) posiada maksimum lokalne właściwe w punkcie (3/2, 3/4

√

6e

−3/2

).

Zadanie 4

Prosz¸e oszacować bł¸

ad jaki popełnia si¸e bior¸

ac 1 +

x
2

zamiast

√

x + 1, jeśli x ∈ [0, 1].

Rozwi¸

azanie

Obliczamy pochodne do rz¸edu drugiego wł¸

acznie funkcji f (x) =

√

x + 1 jej rozwini¸ecia

w szereg Maclaurina.

Mamy

f (x) =

√

x + 1 = (x + 1)

1/2

, f (0) = 1;

f

(1)

(x) ==

1

2

√

x+1

, f

(1)

(0) =

1
2

;

f

(2)

(x) = −

1

4

√

(x+1)

3

, f

(2)

(c) = −

1

4

√

(c+1)

3

;

gdzie c ∈ [0, x].

St¸

ad bł¸

ad przybliżenia

|

√

x + 1 − (1 +

x

2

)| = | −

1

8

p(c + 1)

3

x

2

| ≤

1

8

p(0 + 1)

3

1

2

=

1

8

2