Analiza Matematyczna

Zestaw D

Zadanie 1
Korzystaj¸

ac z twierdzenia o ci¸

agu monotonicznym i ograniczonym, prosz¸e uzasadnić

zbieżność ci¸

agu o wyrazie a

n

a

n

= 1 −

1
3

1 −

1

3

2

. . . 1 −

1

3

n

.

Rozwi¸

azanie

Przypomnijmy twierdzenie o ci¸

agu monotonicznym i ograniczonym.

Każdy ci¸

ag monotoniczny i ograniczony ma granic¸e właściw¸

a, czyli jest zbieżny.

Zauważmy, że ci¸

ag (a

n

) jest malej¸

acy, bo

a

n+1

a

n

= 1 −

1

3

n+1

< 1 Pokażemy jeszcze, że

ci¸

ag ten jest ograniczony z dołu przez liczb¸e 0.

a

n

= 1 −

1
3

1 =

1

3

2

. . . 1 −

1

3

n

> 1 −

1
3

n

= (

2
3

)

n

→ 0, gdy n → ∞.

Co mieliśmy wykazać.

Zadanie 2
Prosz¸e sprawdzić, korzystaj¸

ac z definicji pochodnej funkcji w punkcie, czy istnieje po-

chodna funkcji f w punkcie x

0

= 0, jeżeli

f (x) =



x

2

sin 3x

sin 5x

dla 0 < |x| <

π

3

0

dla x = 0

Rozwi¸

azanie

Korzystaj¸

ac z definicji pochodnej prawostronnej funkcji w punkcie

f

0

+

(0) = lim

h→0

+

h

2

sin 3h

sin 5h

− 0

h

= lim

h→0

+

h

sin 3h

3h

sin 5h

5h

3h

5h

= 0 ·

1

1

·

3

5

= 0

Istnieje zatem pochodna funkcji w punkcie x = 0 i jest równa 0.

Zadanie 3
Prosz¸e obliczyć granic¸e

lim

x→0

ln (1 − 2x

3

)

7x

3

Rozwi¸

azanie

lim

x→0

ln (1 − 2x

3

)

7x

3

= lim

x→0

−12

42 + 210x

4

= −

12

42

= −

2

7

Prosz¸e sprawdzić, stosuj¸

ac trzykrotnie reguł¸e markiza de’lHospitala.

1

Zadanie 4

Prosz¸e znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x

0

, f (x

0

)), jeśli

f (x) =

3

√

x

2

− 1.

Rozwi¸

azanie

Równanie stycznej w punkcie (x

0

, f (x

0

)) y = f

0

(x

0

)(x − x

0

) + f (x

0

).

f

0

(x) =

2x

3

3

√

(x

2

−1)

2

, f

0

(3) =

2
8

=

1
4

, f (3) = 2.

St¸

ad

y =

1

4

(x − 3) + 2

2