Analiza Matematyczna

Zestaw C

Zadanie 1
Prosz¸e obliczyć granic¸e

lim

x→∞

 (2n + 1)

2n + 5



6n+3

Rozwi¸

azanie

lim

x→∞

 (2n + 1)

2n + 5



6n+3

= lim

x→∞

h

1 +

−4

2n+5

2n+5

i

3

1 +

−4

2n+5

12

=

(e

−4

)

3

1

= e

−12

Zadanie 2

Prosz¸e dobrać stałe a, b tak, aby funkcja f określona wzorem

f (x) =







ax + b

dla x < −2

|ax

2

+ b|

dla |x| ≤ 2

a log

2

x − bx dla x > 2

była ci¸

agła na R.

Rozwi¸

azanie

Z definicji ci¸

agłości funkcji w punkcie

lim

x→−2

−

(ax + b) = −2a + b, lim

x→−2

+

|ax

2

+ b| = |4a + b|,

lim

x→2

−

|ax

2

+ b) = |4a + b|, lim

x→2

+

(a log

2

x − bx) = a − 2b,

St¸

ad wynika, że

−2a + b = |4a + b| i |4a + b| = a − 2b. Dla 4a + b ≥ 0 otrzymujemy 4a + b = −2a + b i
4a + b = a − 2b. Czyli a = 0 i b = 0.
Dla przypadku 4a + b < 0 otrzymujemy sprzeczność.
Funkcja f (x) ≡ 0 jest ci¸

agła na R.

Zadanie 3
Prosz¸e obliczyć granic¸e

lim

x→0

e

5x

− 1

tan 2x

Rozwi¸

azanie

lim

x→0

e

5x

− 1

tan 2x

= lim

x→0

e

5x

−1

5x

tan 2x

2x

lim

x→0

5x

2x

=

1

1

·

5

2

=

5

2

1

Zadanie 4

Prosz¸e znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x

0

, f (x

0

)), jeśli

f (x) =

√

144 − x

2

, x

0

=

√

23.

Rozwi¸

azanie

Równanie stycznej w punkcie (x

0

, f (x

0

)), y = f

0

(x

0

)(x − x

0

) + f (x

0

).

f

0

(x) =

−2x

2

√

144−x

2

, f

0

(

√

23) = −

√

23

11

, f (

√

23) = 11.

St¸

ad

y = −

√

23

11

(x −

√

23) + 11

2