Analiza Matematyczna

Kolokwium 2

Zestaw B

Zadanie 1
Prosz¸e obliczyć

Z

1

5 − 3 cos x

dx.

Rozwi¸

azanie

Stosujemy podstawienia: cosx =

1−t

2

1+t

2

, dx =

2

1+t

2

dt, gdzie t = tan x/2.

Otrzymujemy

Z

2

1+t

2

5 −

3(1−t

2

)

1+t

2

dt =

Z

1

4t

2

+ 1

dt =

Z

1

(2t)

2

+ 1

dt =

=

1

2

arctan u + C =

1

2

arctan(2t) + C =

1

2

arctan(tan x/2) + C.

gdzie zastosowaliśmy podstawienie u = 2t.

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykres funkcji f (y) =

1
2

y

2

i okr¸

ag

o równaniu x

2

+ y

2

− 4x = 0.

Rozwi¸

azanie

Zauważmy, że obszar O jest symetryczny wzgl¸edem osi OX.
Rozwi¸

azuj¸

ac układ równań x =

1
2

y

2

i x

2

+ y

2

− 4x = 0 otrzymujemy punkty wspólne

okr¸egu i paraboli: (0, 0),(2, 2),(2, −2).
St¸

ad pole obszaru

|P (O)| = 2

R

2

0

(

√

4x − x

2

− x)dx = 2

R

2

0

(

√

4x − x

2

dx − 2

R

2

0

xdx = c1 − c2.

gdzie c1 = 2

R

2

0

(

√

4x − x

2

dx i c2 = 2

R

2

0

xdx.

Obliczamy każd¸

a z całek osobno.

c1 = 2

R

2

0

(

√

4x − x

2

dx = 2

R

2

0

(

p4 − (x − 2)

2

dx

1

Stosujemy podstawienie: x − 2 = 2sint, dx = 2costdt.

c1 = 4

R

0

−π/2

p

4 − 4 sin

2

t cos tdt = 4

R

0

−π/2

2 cos

2

tdt = 4

R

0

−π/2

(cos 2t + 1)dt = 2π

c2 = 2

R

2

0

xdx = 4

St¸

ad pole obszaru wynosi |P (O)| = 2π − 4.

Zadanie 3

Prosz¸e wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji

f (x) = e

−x

2

.

Rozwi¸

azanie

Obliczamy pochodn¸

a drugiego rz¸edu funkcji f (x).

f

0

(x) = −2xe

−x

2

, f ”(x) = −2e

−x

2

+4x

2

e

−x

2

= 2e

−x

2

(2x

2

−1) = 2e

−x

2

(

√

2x−1)(

√

2x+1).

f

0

(x) < 0, gdy x ∈ (0, ∞).

f

0

(x) > 0, gdy x ∈ (−∞, 0).

f ”(0) = −2 < 0.
Funkcja f (x) rośnie na półprostej (−∞, 0) i maleje na półprostej (0, ∞). oraz posiada
maksimum lokalne właściwe równe 1 w punkcie (0, 1).

Zadanie 4

Prosz¸e rozłożyć wielomian P (x) = 2x

3

− x

2

− 5x + 4 w szereg Taylora według pot¸eg

(x − 2).

Rozwi¸

azanie

Obliczamy kolejne pochodne do rz¸edu trzeciego wł¸

acznie funkcji P (x) jej rozwini¸ecia

w szereg Taylora w otoczeniu punktu x

0

= 2.

f (2) = 6.
f

(1)

(x) = 6x

2

− 2x − 5, f

0

(2) = 15.

f

(2)

(x) = 12x − 2, f ”(2) = 22.

f

(3)

(x) = 12

St¸

ad

2

P (x) = 2x

3

− x

2

− 5x + 4 = 6 + 15(x − 2) + 11(x − 2)

2

+ 2(x − 2)

3

.

3