1

I. LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW.

1.1 p i q elementy zdania logicznego
zdanie logiczne: jeżeli 0 to jest fałszywe
jeżeli 1 to prawdziwe

alternatywa „p

∨ q” koniunkcja „p ∧ q"

implikacja „p

⇒ q” równoważność „p ⇔ q” negacja „~ p”

1.2 Wartość logiczna zdania:

1

2

cos

2

3

6

sin

=

⇒

=

π

π

odp.: 1

)

0

100

(cos

18

7

11

4

0

>

∪













>

odp.: 0

)

0

5

(log

)

2

9

(log

3

1

3

>

⇔

=

odp.: 0

1.3

Tautologia:

a) sprawdź, czy podane zdanie logiczne jest tautologią – obliczenia wykonać tabelarycznie:

tak

:

odp.

)

(

tak

:

odp.

)

(

)

(

tak

:

odp.

)]

(

[

)

(

nie

:

odp.

)]

(

[

)

(

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

¬

⇒

¬

⇔

∧

⇒

¬

⇔

∨

¬

∧

⇔

⇒

¬

¬

∨

⇔

⇒

p

∧ ( p ⇒ q ) ⇒ q pokazać dowód nie wprost odp.: tak

[( p

⇒ q ) ∨ ( ~ p ∨ q )] ⇒ q odp.: tak

[( p

⇔ q ) ∧ ( p ∨ ~ q )] ⇒ p ∧ q odp.: nie

1.4

Kwantyfikatory:

-

istnieje takie x należące do zbioru A, że…

p q

p

∨

q

1

1

1

1 0 1
0 1 1
0 0 0

p q

p

∧

q

1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

p q

p

⇒

q

1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

p q

p

⇔

q

1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

p

~

p

1 0
0 1

A

x

A

x

∈

∈

∨

∃

2

A

x

A

x

∈

∈

∧

∀

- dla każdego x należącego do zbioru A….

Jaka jest wartość logiczna zdania:

1

:

odp.

)]

0

1

(

[

)]

0

5

(

[

0

:

odp.

)

(

1

:

odp.

)

(

1

:

odp.

)

sin

2

2

(sin

0

:

odp.

)

1

(

2

2

2

2

=

+

+

∃

⇒

<

+

∃

=

∀

=

∃

=

∃

<

∀

∈

∈

∈

∈

∈

∈

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

R

x

R

x

R

x

R

x

R

x

R

x

1.5

Zaprzeczenia zdaniom:

Zaprzeczenie koniunkcji:

- jest to pierwsze prawo De Morgana

Zaprzeczenie alternatywie:

- jest to drugie prawo De Morgana

Zaprzeczenie implikacji:

Zaprzeczenie równoważności:

przykład:
zaprzeczmy zdaniu: uczeń je lody wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciepło
odp: uczeń je lody i nie jest ciepło lub jest ciepło i uczeń nie je lodów
Powyższe przedstawić za pomocą p i q.

p

q

q

p

negacja

q

p

¬

∧

∨

¬

∧

⇔

:

1.6

Prawa De Morgana dla kwantyfikatorów

)]

(

[

)]

(

[

)]

(

[

)]

(

[

x

p

x

p

x

p

x

p

A

x

A

x

A

x

A

x

¬

∀

⇔

∃

¬

¬

∃

⇔

∀

¬

∈

∈

∈

∈

3

1.7

Proszę określić wartość logiczną zdań oraz zapisać ich negację; prawidłowa negacja daje

dla tych samych argumentów przeciwny wynik do zdania pierwotnego:

(

)

0

1

3

0

:

.

0

1

3

0

2

2

1

:

.

0

)

2

2

(

3

3

0

:

.

3

3

3

2

1

2

1

:

.

3

2

1

2

0

3

3

1

:

odp.

0

3

3

5

0

:

odp.

5

2

2

2

2

R

x

≠

+

+

∀

=

+

+

∃

≠

≠

∧

=

∧

=

∃

=

=

⇒

=

∧

=

∀

≠

∨

≠

∃

=

∧

=

∀

≥

+

−

∀

≤

+

−

∃

<

+

+

∃

>

+

+

∀

≠

∃

=

∀

∈

∈

∈

∈

∈

∈

∈

∈

∈

∈

∈

∈

x

x

odp

x

x

y

x

y

x

x

y

odp

y

x

y

x

x

y

y

x

x

y

odp

y

x

x

y

y

x

x

odp

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

C

x

C

x

R

x

R

x

R

x

R

x

R

x

R

x

R

x

R

x

R

x

1.8

Znaleźć taką liczbę M, aby zdanie:

n

n

M

n

n

n

N

n

a

a

n

a

>

∀

⇒

=

∀

+

>

∈

1

10

!

wskazówka: (n+1)! = n!*(n+1) odp.: M = 9

1.9

Algebra zbiorów.

A

∪ B = { x: x∈A ∪ x∈B }

A

∩ B = { x: x∈A ∩ x∈B }

A \ B = { x: x

∈A ∩ x∉B }

B \ A = { x: x

∈B ∩ x∉A }

A’ = { x: x

∈X ∩ x∉A }

A \ B

≠ B \ A !!!

1.10

Definicja wartości bezwzględnej:

dla

0

≥

x

dla

0

<

x







−

=

x

x

x

4

1.11

Zapisać zbiór w innej postaci:

( )

( ) (

)

[

]

(

)













−

−

∈

<

+

+

∧

∈













+∞

∈

<

−

+

∧

∈

−

∈

<

−

∧

∈

∈

∩

+∞

∪

∈

>

−

∧

∈

∈

<

−

∧

∈

4

3

;

1

:

.

}

0

3

7

4

:

{

;

2

1

8

:

.

}

3

5

2

:

{

4

;

2

:

.

}

3

1

:

{

;

5

3

;

1

:

.

}

2

3

:

{

9

;

5

:

.

}

2

7

:

{

2

x

odp

x

x

R

x

x

x

odp

x

x

R

x

x

x

odp

x

R

x

x

C

x

x

odp

x

C

x

x

x

odp

x

R

x

x

1.12

Wyznaczyć nst. relacje zbiorów A i B:

A

∪ B

A

∩ B

A \ B
B \ A
A’
przy czym zbiory określono jak poniżej:
A = { x:

x> 4 }

B = { x:

x-2 < 3 }

(

) (

)

[

]

( )

(

)

[

]

4

;

4

'

4

;

1

(

\

)

;

5

4

;

\

5

;

4

;

1

4

;

:

.

−

∈

−

∈

+∞

∪

−

∞

−

∈

∈

∩

+∞

−

∪

−

∞

−

∈

∪

x

A

x

A

B

x

B

A

x

B

A

x

B

A

odp

A = { x:

x+3≤ 4 }

B = { x:

x-1 ≥ 3 }

[

]

[

]

(

) (

)

[

]

+∞

∪

−

∞

−

∈

+∞

∪

−

−∞

∈

−

∈

−

−

∈

∩

+∞

∪

−∞

∈

∪

;

1

7

;

'

)

;

4

)

7

;

(

\

1

;

2

(

\

2

;

7

;

4

1

;

(

:

.

x

A

x

A

B

x

B

A

x

B

A

x

B

A

odp

A = { (x,y):

x-y ≤ 4 }

B = { (x,y): x

∈R

∧ y < 3 }

(

)

(

)

[

]

(

)

[

]

(

)

(

) (

)

[

]

(

)

(

) (

)

[

]

+∞

+

∪

−

∞

−

∈

∩

+∞

∞

−

∈

+∞

+

∪

−

∞

−

∈

∩

−

∈

+

−

∈

∩

+∞

∪

−

∞

−

∈

+

−

∈

∩

−

∈

∩

−

∪

+

−

∈

∩

+∞

∞

−

∈

∪

;

4

4

;

;

'

;

4

4

;

3

;

3

\

4

;

4

)

;

3

3

;

(

\

4

;

4

3

;

3

3

;

3

4

;

4

;

:

.

x

x

y

x

A

y

y

x

y

A

B

y

y

x

y

B

A

y

y

x

y

B

A

x

x

y

x

B

A

odp

1.13

Niech A={x:

2

5

:

{

},

3

1

<

−

=

≥

−

x

x

B

x

} proszę wyznaczyć:

A

∪ B odp.:

(

)

+∞

∪

−

−∞

∈

;

3

2

;

(

x

A

∩ B odp.:

)

7

;

4

∈

x

A

∩ B’ odp.:

)

;

7

2

;

(

+∞

∪

−

−∞

∈

x

A \ B odp.:

)

;

7

2

;

(

+∞

∪

−

−∞

∈

x

B \ A odp.:

( )

4

;

3

∈

x

A’

∪ B odp.:

(

)

7

;

2

−

∈

x

5

1.14

Wyznaczyć iloczyn zbiorów:

}

0

4

3

:

{

2

≤

−

+

∧

∈

=

x

x

R

x

x

A

}

0

4

:

{

2

<

−

∧

∈

=

x

R

x

x

B

}

4

,

0

,

3

{

−

=

C

odp.:

φ

∈

x

1.15

Wyznaczyć graficznie: A

∪ B, A ∩ B, A \ B

}

16

:

)

,

{(

2

2

≤

+

∧

∈

∧

∈

=

y

x

R

y

R

x

y

x

A

}

9

:

)

,

{(

2

2

≥

+

∧

∈

∧

∈

=

y

x

R

y

R

x

y

x

B

1.16

Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiory (produkty) AxB oraz BxA

{

}

{ }

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

3

0

:

,

3

,

1

,

1

3

:

,

2

:

7

1

:

,

6

3

:

3

,

2

,

1

,

3

1

:

<

≤

∈

=

−

=

<

∈

=

≥

∈

=

≤

−

∈

=

≤

−

∈

=

=

≤

−

∈

=

x

R

x

B

A

x

R

x

B

x

R

x

A

x

R

x

B

x

N

x

A

B

x

R

x

A