Zadania z Teorii Drgań

Przygotował dr inż. Tomasz Korbiel na podstawie dostępnych materiałów.

Rozwiązywanie równań różniczkowych „metodą analogową”.

Metoda ta wywodząca się z czasów początku techniki komputerowej oparta została o analogie pomiędzy układami mechanicznymi a elektrycznymi. Stworzono między innymi komputery analogowe, składające się z funkcyjnych bloków, pozwalających realizować działania matematyczne. Programowanie takich komputerów polegało na odpowiednim połączeniu bloków funkcyjnych oraz odpowiednie zadania parametrów symulacji. Technika cyfrowa jest już w stanie realizować w dość dobrym przybliżeniu działania matematyczne. Sama metoda jest prosta i intuicyjna, pozwala w szybki sposób przygotować symulacji układów mechanicznych. Dogodnym do tego działania jest środowisko LabView, w którym w sposób graficzny można przedstawić równanie różniczkowe, modelujące układ mechaniczny. Przed przystąpieniem do ułożenia schematu połączeń bloków funkcyjnych należy przekształcić równanie różniczkowe do takiej postaci aby najwyższa pochodna przedstawiona był jako suma pozostałych członów. Dla równania drgań liniowych wymuszonych o jednym stopniu swobody:

$$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t)$$

Po przekształceniu otrzymamy sumę:

$$\ddot{x} = - \frac{c}{m}\dot{x} - \frac{k}{m}x + \frac{1}{m}F(t)$$

Ćwiczenie 1:

Podstawy modelowania układów mechanicznych w środowisku LabView

Drgania swobodne

Masa 1.2kg

k 1,2kg 8cm k=150N/m

cx=0,3 kg/s

równanie:

$$m\ddot{x} + c\dot{x^{3}} + kx - mg = 0$$

Rozwiązanie względem najwyższej pochodnej

$$\ddot{x} = - \frac{c}{m}\dot{x^{3}} - \frac{k}{m}x + mg$$

Budowa modelu w LabView

Block Diagram – Functions – Programming – Structures –For Loop

Functions – Signal Processing – Point By Point – Integral & Differential – Integral x(t)

Functions –Programming – Numeric Computed Arithmetic

Przechodzimy do front panelu I ustawiamy kontrolki związane ze zmiennymi

Controls – Modern – Numeric – Numeric Control

Ustawiamy zmienne nadając im odpowiednie nazwy

Po przejściu do Block Diagramu budujemy wyrażenia sumy

Z grupy Programing – Synchronization – first Call? – inicjujemy warunki początkowe oraz łączymy sumę z równaniem

Inicjujemy warunki początkowe jako stałe oraz budujemy wektor wyjściowy przemieszczenia

Na front panelu ustawiamy Waveform Graph oraz ustawiamy zmienne. Po odpowiednim podłączeniu uruchamiamy program

Uzupełniamy program o wymuszenie sinusoidalne oraz analizę częstotliwościowa otrzymanych sygnałów

Przebieg dalszy ćwiczenia:

1 wprowadzić tłumienie wiskotyczne

2 Przeprowadzić analizę amplitudowo- częstotliwościową dla układu w drganiach swobodnych oraz wymuszonych

3- Przeprowadzić analizę dla układu z szeregowo oraz równolegle podłączonych sprężystości

4 przeprowadzić analizę układu o 2 stopniach swobody

Sprawozdanie powinno zawierać:

1 modele fizyczne, równania ruchu oraz schematy Block Diagramu badanych układów

2 Wyniki pomiarów dla przeprowadzanych analiz w postaci parametrów, częstotliwości oraz amplitudy prędkości, przemieszczenia oraz przyśpieszenia

3 Wnioski

Wymagane umiejętności po zrealizowaniu ćwiczenia

1 Umiejętność napisania równania ruchu dla prostych układów mechanicznych

2 Uporządkowanie równania oraz ułożenia schematu rozwiązującego

3 Znajomość zależności pomiędzy przemieszczeniem, prędkością oraz przyśpieszeniem

4 umiejętność weryfikacji modelu na podstawie rozwiązań analitycznych

Ćwiczenia do samodzielnego wykonania

sin (α)  = α

1. Zbadać drgania wahadła matematycznego tłumionego tarciem wiskotycznym liniowym oraz tarciem suchym

2. Naczynie w kształcie U-rurki napełniono cieczą nieściśliwą o długości słupa l. Wyznaczyć numerycznie drgania słupa cieczy względem położenia równowagi, z uwzględnieniem lepkości. d– średnica rurki.