1

Jednostki podstawowe

Równania matematyczne (opisujace zjawiska fizyczne) wyrażają

ilościowe relacje między wielkościami fizycznymi

Pomiary określające liczbowo stosunek danej wielkości do

przyjętej jednostki

2

Równania matematyczne (opisujace zjawiska fizyczne) wyrażają

ilościowe relacje między wielkościami fizycznymi

Pomiary określające liczbowo stosunek danej wielkości do

przyjętej jednostki

liczba Avogadra
N

A

= 6,022137·10

23

mol

-1

Równania matematyczne (opisujace zjawiska fizyczne) wyrażają

ilościowe relacje między wielkościami fizycznymi

Pomiary określające liczbowo stosunek danej wielkości do

przyjętej jednostki

3

Równania matematyczne (opisujace zjawiska fizyczne) wyrażają

ilościowe relacje między wielkościami fizycznymi

Pomiary określające liczbowo stosunek danej wielkości do

przyjętej jednostki

Równania matematyczne (opisujace zjawiska fizyczne) wyrażają

ilościowe relacje między wielkościami fizycznymi

Pomiary określające liczbowo stosunek danej wielkości do

przyjętej jednostki

ś

wiatłość jest równa 1

kandeli dla światła
monochromatyczne o
częstości 5,4×1014 Hz i
i energetycznym
natężeniu
promieniownia 1/683
W/sr.

(wizualną jasność źródła światła)

4

Definicja sekundy i pomiar czasu:

•Do

1967

roku: 1s = 1 / 31 556 925.9747 roku

• Od

1967

roku: sekunda to 9 192 631 770 drgań fali w przejściu HFS

(struktura nadsubtelna - hyperfine structure) w

133

Cs

Dokładność 7x10

-15

Błąd 1s na 4,5 mln lat

Historia definicji metra:

• 1 kilogram - jest to masa międzynarodowego
wzorca (walca o wysokości i średnicy podstawy
39 mm wykonanego ze stopu platyny z irydem)
przechowywanego w Międzynarodowym
Biurze Miar w Sèvres koło Paryża.

Definicja kilograma:

5

Wstawka matematyczna

1. Rachunek wektorowy

siła F

prędkość v

przyspieszenie a

pęd p

wielkości fizyczne

wielkości wektorowe

wektor – uporz

ą

dkowana

para punktów (pocz

ą

tek i koniec).

Cechy wektora:

* moduł (warto

ść

, długo

ść

)

* kierunek
* zwrot
* punkt przyło

ż

enia

masa m

czas t

energia E

temperatura T

wielkości skalarne

skalary – do okre

ś

lenia

wielko

ś

ci skalarnej wystarczy

jedna liczba

6

układ kartezjański

układ sferyczny

θ

φ

θ

φ

θ

cos

sin

sin

cos

sin

r

z

r

y

r

x

=

=

=

układy współrzędnych

- wersor to wektor jednostkowy

iˆ

r - wektor poło

ż

enia

położenie r

prędkość v

przyspieszenie a

pęd p

a

x

=x

B

-x

A

, a

y

=y

B

-y

A

, a

z

=z

B

-z

A

AB = a = [ a

x

, a

y

, a

z

]

wektory

długo

ść

wektora:

a

x

=b

x

, a

y

=b

y

, a

z

=b

z

.

współrz

ę

dne wektorów:

równo

ść

wektorów:

2

2

2

z

y

x

a

a

a

a

+

+

=

b = [ b

x

, b

y

, b

z

]

7

dodawanie wektorów:

mno

ż

enie wektora

przez liczb

ę

:

a + b = c

c

x

=a

x

+b

x

, c

y

=a

y

+b

y

, c

z

=a

z

+b

z

c

x

= k a

x

, c

y

= k a

y

, c

z

= k a

z

c = k a

iloczyn skalarny wektorów:

a·

·

·

·b = a b cos

α

a·

·

·

·b =a

x

b

x

+ a

y

b

y

+ a

z

b

z

a = [ a

x

, a

y

, a

z

]

b= [ b

x

, b

y

, b

z

]

8

k

j

i

a

ˆ

ˆ

ˆ

z

y

x

a

a

a

+

+

=

k

j

i

r

ˆ

ˆ

ˆ

P

P

P

z

y

x

+

+

=

......zapis za pomoca wersorów

iloczyn wektorowy :

a x

x

x

x b = c

c=a b sin

α

k

j

i

c

ˆ

ˆ

ˆ

z

y

x

c

c

c

+

+

=

z

y

x

z

y

x

b

b

b

a

a

a

k

j

i

c

ˆ

ˆ

ˆ

=

a = [ a

x

, a

y

, a

z

]

b= [ b

x

, b

y

, b

z

]

c= [ b

x

, c

y

, c

z

]

9

c = a x

x

x

x b

k

j

b

j

i

a

ˆ

ˆ

)

1

,

1

,

0

(

ˆ

ˆ

2

)

0

,

1

,

2

(

+

=

=

+

=

=

Przykład iloczynu wektorowego:

Wstawka matematyczna

2. Pochodne

10

x

x

f

x

x

f

dx

df

x

f

x

∆

−

∆

+

=

=

→

∆

)

(

)

(

lim

)

(

'

0

Pochodna funkcji f(x)

α

tg

dx

df

=

Pochodna funkcji

Podstawowe własności pochodnej :

dx

dg

dx

df

g

f

dx

d

+

=

+

)

(

dx

dg

f

g

dx

df

g

f

dx

d

⋅

+

⋅

=

⋅

)

(

2

)

/

(

g

dx

dg

f

g

dx

df

g

f

dx

d

⋅

−

⋅

=

[

]

)

(

:

)

(

)

(

))

(

(

x

g

u

gdzie

dx

x

dg

du

u

df

x

g

f

dx

d

=

⋅

=

Przykłady:

1

)

(

−

=

n

n

nx

x

dx

d

)

0

(

1

)

(ln

>

=

x

x

x

dx

d

x

x

e

e

dx

d

=

)

(

x

x

dx

d

cos

)

(sin

=

x

x

dx

d

sin

)

(cos

−

=

11

Pochodna wektora

Jeśli w przedziale czasu

∆

t przyrost wektora r(t) wynosi

∆

r:

∆

r = r(t+

∆

t) – r(t),

to stosunek:

t

t

t

t

dt

d

t

t

t

t

t

t

∆

−

∆

+

=

→

∆

−

∆

+

=

∆

∆

→

∆

)

(

)

(

lim

)

(

)

(

0

r

r

r

r

r

r









∆

−

∆

+

∆

−

∆

+

∆

−

∆

+

=

→

∆

t

t

z

t

t

z

t

t

y

t

t

y

t

t

x

t

t

x

dt

d

t

)

(

)

(

,

)

(

)

(

,

)

(

)

(

lim

0

r









=

dt

dz

,

dt

dy

,

dt

dx

dt

dr

12

Całka nieoznaczona

∫

=

)

(

)

(

x

f

dx

x

g

Wynik operacji całkowania:
znaleziona funkcja pierwotna f(x) ma taką własność, że po zróżniczkowaniu
jej otrzymujemy funkcję podcałkową g(x):

C

x

f

dx

x

g

+

=

∫

)

(

)

(

ściślej:

[f (x)+C]' = g(x)

Przykłady:

C

x

1

n

1

dx

x

1

n

n

+

+

=

+

∫

∫ e

x

dx = e

x

+ C

∫ (1/x) dx = ln x + C

∫ cos x dx = sin x + C

∫ sin x dx = - cos x + C

Całka oznaczona:

[

] [

]

∫

∫

=

=

+

−

+

=

−

b

a

b

a

dx

x

g

dx

x

g

C

a

f

C

b

f

a

f

b

f

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

C

x

f

dx

x

g

+

=

∫

)

(

)

(

Niech :

przyrost funkcji pierwotnej na przedziale [a,b]:

nazywamy całką oznaczoną.

)

(

)

(

)

(

a

f

b

f

dx

x

g

b

a

−

=

∫

CZYLI CAŁKA OZNACZONA TO:

C

x

f

dx

x

g

+

=

∫

)

(

)

(

gdzie:

13

S

x

x

g

x

x

f

x

a

f

b

f

dx

x

g

i

N

i

i

i

N

i

i

i

b

a

=

∆

→

∆

=

∆

→

∆

=

−

=

∑

∑

∫

)

(

0

lim

)

(

0

lim

)

(

)

(

)

(

Znaczenie całki oznaczonej:

i

i

i

i

i

x

x

f

x

x

f

x

g

∆

∆

→

∆

=

=

)

(

0

lim

)

(

'

)

(

i

i

i

x

x

g

x

f

∆

=

∆

)

(

)

(

∫

=

b

a

dx

x

g

S

)

(