Opis metod przenoszenia współrzędnych

1. Metody wykorzystujące punkt pomocniczy.

1.1. Metoda Clarke’a (zadanie wprost)

1.2. Metoda Clarke’a (zadanie odwrotne).

1.3. Metoda Schreibera.

2. Metody wykorzystujące szeregi potęgowe Legendre’a.

2.1. Metoda średniej szerokości Gaussa - zadanie wprost

2.2. Metoda średniej szerokości Gaussa zadanie odwrotne.

3. Metody bezpośrednie.

3.1. Metoda Bessela zadanie wprost

3.2. Metoda Bessela zadanie odwrotne

4. Metody wykorzystujące cięciwy elipsoidy.

4.1. Metoda Mołodeńskiego

Klasyczny problem obliczania współrzędnych geodezyjnych na powierzchni elipsoidy obrotowej
oraz azymutów i długości linii geodezyjnych nosi nazwę przenoszenia współrzędnych.
Wyróżniamy dwa rodzaje problemu: tzw. zadanie wprost i zadanie odwrotne.

Zadanie pierwsze zwane zadaniem wprost dotyczy obliczenia współrzędnych geodezyjnych

B

2

, L

2

punktu P

2

i azymutu (odwrotnego) A

21

linii geodezyjnej, gdy znane są współrzędne

geodezyjne B

1

, L

1

punktu P

1

, długość linii geodezyjnej s

12

oraz azymut (wprost) A

12

, pod jakim

linia geodezyjna wychodzi z punktu P

1

.

Zadanie drugie zwane zadaniem odwrotnym dotyczy obliczenia długości linii geodezyjnej s

12

łączącej na powierzchni elipsoidy dwa punkty o znanych współrzędnych P

1

(B

1

, L

1

) i P

2

(B

2

, L

2

)

oraz obliczenia azymutów linii geodezyjnej (wprost i odwrotnego) A

12

i A

21

.

W wyniku przekroju elipsoidy dwoma przekrojami głównymi otrzymujemy na jej powierzchni
dwie

krzywe

, z których jedna ma krzywiznę największą, a druga – najmniejszą w danym punkcie.

Promienie krzywizn tych krzywych w tym punkcie nazywamy głównymi promieniami krzywizny.
Wyróżniamy dwa główne promienie krzywizny:

• Promień przekroju południkowego (podłużnego) – M

• Promień przekroju pierwszego wertykału (poprzecznego) – N

Długość promienia N jest liczona od punktu, w którym normalna do elipsoidy przebija jej
powierzchnię do punktu, w którym normalna do elipsoidy przecina oś obrotu Ziemi.

Elipsoidę GRS 80 stosowaną w ETRS charakteryzują następujące elementy:

• półoś równikowa a = 6378137 m,
• półoś biegunowa b = 6 356 752,3141,
• kwadrat mimośrodu e

2

= 0,006 694 380 022 90,

• kwadrat drugiego mimośrodu e’

2

= 0,006 739 496 775 48,

• trzecie spłaszczenie n = 0,001 679 220 394 63,

• długość łuku południka od równika do bieguna Q = 10 001 965,7293 m.

Linia geodezyjna na danej powierzchni to taka krzywa, której płaszczyzna, ściśle styczna w każdym
jej punkcie, przechodzi przez normalną do powierzchni w tym punkcie. Jest ona jednocześnie
najkrótszą odległością między dwoma punktami na powierzchni elipsoidy obrotowej. Ze względu
na to taką linię geodezyjną określa się jako ortodromę na powierzchni elipsoidy obrotowej.
Płaszczyznę ściśle styczną do pewnej powierzchni stanowi płaszczyzna, która przechodzi przez
styczną do krzywej jak i przez inny punkt na niej, leżący nieskończenie blisko punktu styczności.

Linia geodezyjna na powierzchni elipsoidy ( przy azymutach nie zbliżonych do

i

) dzieli

kąt między wzajemnymi przekrojami normalnymi w przybliżeniu w stosunku 1:2 i położona jest w

zawartego między przekrojem normalnym wprost a przekrojem odwrotnym w danym punkcie, tj.:

Linia geodezyjna jest najkrótszą odległością pomiędzy dwoma punktami na powierzchni elipsoidy.
Jej długość jest na pewno krótsza niż długość łuku przekroju normalnego. W praktyce jednak
długość przekroju normalnego i linii geodezyjnej jest wartością bardzo małą i z reguły pomija się
nawet w bardzo dokładnych obliczeniach.

1.2. Przekroje główne elipsoidy

W każdym punkcie P powierzchni elipsoidy można poprowadzić prostą n prostopadłą

(normalną) do powierzchni. Nieskończenie wiele płaszczyzn zawierających normalną n przecina
powierzchnię elipsoidy w nieskończenie wielu krzywych zbiegających się w punkcie P.

Płaszczyzny, które zawierają w danym punkcie normalną n, która jest prostopadła do elipsoidy
nazywamy płaszczyznami normalnymi.

Natomiast przekrojami tej normalnej są krzywe uzyskane na powierzchni elipsoidy w

wyniku przecięcia jej płaszczyznami normalnymi, zawierającymi normalną, w danym punkcie do
elipsoidy. Wśród nieskończenie wielu przekrojów normalnych elipsoidy wyróżnia się dwa przekroje
główne, których płaszczyzny normalne tworzą z sobą kąt prosty, a z otrzymanych krzywych na
powierzchni elipsoidy jedna ma krzywiznę największą a, druga zaś najmniejszą w punkcie P.
Jednym z przekrojów głównych jest przekrój prostopadły do południka, zwany pierwszym
wertykałem lub przekrojem poprzecznym, a drugim przekrój południkowy – krzywa uzyskana na
powierzchni elipsoidy w wyniku przecięcia jej płaszczyzną południkową.

Rys. 4. Przekroje główne elipsoidy w punkcie

Promień krzywizny przekroju południkowego jest najmniejszy, a więc krzywizna jest

największa. Natomiast promień krzywizny pierwszego wertykału jest największy, więc krzywizna

jest najmniejsza.

Przekroje normalne zawarte pomiędzy przekrojami głównymi mają krzywizny i promienie

pośrednie. Są to przekroje normalne dowolne.