RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Zadanie 1 Obliczyć granice funkcji:

a) lim

x→0

+

ln sin x + 1

x

2

m) lim

x→0

+

x +

√

x

x

b) lim

x→0

−

(x − 1)e

−

1
x

n) lim

x→∞

16

4 + e

−x

c) lim

x→∞

e

−3x

x

+ (4 + 3x) · ln

3 + 5x

4 + 3x

!

o) lim

x→∞

(xe

−

1
x

+ 2)

d) lim

x→0

+

ln cos x + 3 sin x

sin x − 2

p) lim

x→1

x −

√

2 − x

x − 1

e)

lim

x→−∞

(5 − x

2

)e

4x

2

r) lim

x→2





ln(x − 2 + e) +



1

π



x+4

(x−2)2





f ) lim

x→∞

(x −

√

x

2

+ 1)

s)

lim

x→−∞

4

x+2

+ 3

−x

− 1

2

2x−1

+ 3

x

− 5

g)

lim

x→−1

−

(x

2

+ 1)e

−

2

x+1

t) lim

x→−2

x

2

− 4

x

3

+ 8

h) lim

x→∞

(ln

x + 1

x

− 2arctg x)

u) lim

x→2

+

(x + 5)e

x

4−x2

i) lim

x→0

−



x − ln

2x

x

2

− 4



w) lim

x→∞



5x + 3

5x − 1



4x

j) lim

x→1

+

x

ln x

x) lim

x→∞

(3x −

√

16x

2

− 2x + 4)

k) lim

x→1

arctg x

1 + e

4

(1−x)2

y)

lim

x→−

π

2

−

2 − sin x

cos x

l)

lim

x→−∞

arcctg x

ln(4 − 3x)

z)

lim

x→−1

+

e

2−3x

1 − x

2

Zadanie 2 Korzystając z reguły de l’Hospitala obliczyć granice funkcji:

a) lim

x→0

+

e

2x

− 1

x

2

i) lim

x→0

+

xe

6
x

b) lim

x→∞

x + 3

e

x

+ 2x

j) lim

x→0

−

xe

−

2
x

c) lim

x→0

+

x

2

+ 3x

sin x

k) lim

x→0

+

x

3

ln x

d) lim

x→1

ln x

x − 1

l) lim

x→∞

xarcctg x

e) lim

x→0

+

x

arcsin x

m) lim

x→1

−



1

ln x

−

1

x − 1



f ) lim

x→∞

3

√

x

ln x

n) lim

x→0

+



1

x

−

1

e

2x

− 1



g) lim

x→∞

x

2

e

−2x

o) lim

x→∞



xe

1
x

− x



h)

lim

x→−∞

(2x + 5)e

4x

p)

lim

x→−∞



x − xe

−

2
x



Izabela Jóźwik

Małgorzata Terepeta

1

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Zadanie 3 Wyznaczyć dziedzinę funkcji i obliczyć granice funkcji w punktach brzegowych dziedzi-

ny

a) f (x) = ln

x − 1

x

g) f (x) = xe

−5

√

x−3

b) f (x) =

e

1
x

− 1

e

1
x

+ 1

h) f (x) =

1

1 + e

−

1
x

c) f (x) =

e

x

+ e

−x

e

x

− e

−x

i) f (x) =

7

ln(2 − 3x)

d) f (x) = arctg

x

2

x − 1

j) f (x) =

−3

x

2

− 4x − 5

e) f (x) =

1

2 − ln x

k) f (x) =

√

2x + 1

arcsin x

f ) f (x) =

x − 2

√

x − 1 − 1

l) f (x) =

3x + 5

√

9 − x

2

Zadanie 4 Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji:

a) f (x) = e

1

x3+4x2

g) f (x) = ln

3

x + 3 ln

2

x

b) f (x) = e

2x

(−2x

2

+ 2x + 7)

h) f (x) =

4 − ln x

x

c) f (x) = x

4

e

−x

i) f (x) = (x + 1)e

−

2
x

d) f (x) = 4x

2

ln

x

2

j) f (x) = ln(x

2

+ 12)

e) f (x) =

x

3

1 − ln x

k) f (x) = x

3

e

−3x

f ) f (x) = (x

2

− 8)e

x

l) f (x) = 4arctg x − ln x

Zadanie 5 Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia krzywej danej

wzorem:

a) f (x) =

2 + ln x

x

h) f (x) =

2 − 3 ln x

x

2

b) f (x) = (x

2

+ 1)e

−x

i) f (x) =

e

x

x + 2

c) f (x) = ln(4 − x

2

)

j) f (x) = x

3

ln x

d) f (x) = ln

2

x

k) f (x) =

1 − ln x

x

e) f (x) = ln(x

2

+ 16)

l) f (x) = x ln

3

x

f ) f (x) = e

arctg x

m) f (x) = e

−2x

2

g) f (x) = xe

−

2
x

n) f (x) = e

x

x−1

Izabela Jóźwik

Małgorzata Terepeta

2

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Zadanie 6 Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji:

a) f (x) =

x ln x

1 − 2 ln x

g) f (x) = e

1
x

− x

b) f (x) = x + ln

x

x + 2

h) f (x) = x

2

ln x

c) f (x) = 2 −

x

2

+ 1

3 − x

i) f (x) =

2x ln x − 1

ln x

d) f (x) = xe

x

x−5

j) f (x) =

√

x

2

+ 4

x

e) f (x) =

ln(x + 2)

x + 1

k) f (x) = xe

4
x

f ) f (x) = x − 2arctg x

l) f (x) =

ln

2

x + 1

ln x

Zadanie 7 Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć granice w punktach brzegowych dziedziny, wy-

znaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji oraz sporządzić jej wykres:

a) f (x) =

e

−2x

3 − x

g) f (x) =

x ln x

1 − 2 ln x

b) f (x) =

2 − ln x

x

2

h) f (x) =

2 − ln x

x

c) f (x) = e

−x

2

i) f (x) = e

1

1−x2

d) f (x) = xe

−

3
x

j) f (x) = (x − 6)e

−

1
x

e) f (x) =

x

ln x

k) f (x) =

ln

2

x

x

f ) f (x) = x

2

ln(−x)

l) f (x) = ln

x

x − 3

Zadanie 8 Zbadać przebieg zmienności funkcji:

a) f (x) =

1 − ln x

x

h) f (x) =

(x − 1)

3

x

2

b) f (x) = x ln

2

x

i) f (x) =

ln x

1 − ln x

c) f (x) = e

−x

2

j) f (x) =

x

4 − ln x

d) f (x) = xe

−

1
x

k) f (x) = ln

2

x − ln x

e) f (x) =

2 − ln x

x

2

l) f (x) = ln

x − 1

x

f ) f (x) = x

2

e

−x

m) f (x) =

e

x

x

2

g) f (x) = ln

3

x − 3 ln

2

x

n) f (x) = (9 − x)

√

x

Izabela Jóźwik

Małgorzata Terepeta

3

ODPOWIEDZI

LEKTURA UZUPEŁNIAJĄCA:

1. Arkusz- reguła de l’Hospitala (hasło: Reguła H)

2. K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow ”Matematyka 1” (rok wyd. 2002 lub później)

• Granice funkcji: str. 110 zad. 2-10

• Pochodna: str. 136 zad. 3, 6, 12, 16, 17

• Badanie funkcji: str. 152 zad. 3, 6; str. 162 zad. 5, 6, 7, 9 (a, b), 10; str. 169 zad. 5;

str. 175 zad. 3; str. 190 zad. 1 (a- k), 2 (a- f, i, l, o)

3. M.Terepeta, K.Dems, I.Jóźwik, D.Szymczak ”Analiza matem. i algebra. Kolokwia i egzaminy

cz.1” (zadania dotyczące rachunku różniczkowego)

ODPOWIEDZI

1.

a) −∞; b) −∞; c) ∞; d) 0; e) −∞; f) 0; g) ∞; h) −π; i) ∞; j) ∞; k) 0; l) 0; m) ∞; n) 4; o) ∞;

p)

3
2

; r) 1; s) −∞; t) −

1
3

; u) 0; w) e

16

5

; x) −∞; y) −∞; z) ∞.

2.

a) ∞; b) 0; c) 3; d) 1; e) 1; f) ∞; g) 0; h) 0; i) ∞; j) −∞; k) 0; l) 1; m)

1
2

; n) ∞; o) 1; p) 2.

3.

a) D = (−∞, 0) ∪ (1, ∞), lim

x→−∞

f (x) = lim

x→∞

f (x) = 0, lim

x→0

−

f (x) = ∞, lim

x→1

+

f (x) = −∞;

b) D = (−∞, 0) ∪ (0, ∞), lim

x→−∞

f (x) = lim

x→∞

f (x) = 0, lim

x→0

−

f (x) = −1, lim

x→0

2

f (x) = 1;

c) D = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) lim

x→−∞

f (x) = −1, lim

x→0

−

f (x) = −∞, lim

x→0

+

f (x) = ∞, lim

x→∞

f (x) = 1;

d) D = (−∞, 1) ∪ (1, ∞), lim

x→−∞

f (x) = −

π

2

, lim

x→1

−

f (x) = −

π

2

, lim

x→1

+

f (x) =

π

2

, lim

x→∞

f (x) =

π

2

;

e) D = (0, e

2

) ∪ (e

2

, ∞), lim

x→0

+

f (x) = lim

x→∞

f (x) = 0, lim

x→e

2−

f (x) = ∞, lim

x→e

2+

f (x) = −∞;

f) D = h1, 2) ∪ (2, ∞), f (1) = 1, lim

x→2

−

f (x) = lim

x→2

+

f (x) = 2, lim

x→∞

f (x) = ∞;

g) D = (3, ∞), lim

x→3

+

f (x) = 0, lim

x→∞

f (x) = ∞;

h) D = (−∞, 0) ∪ (0, ∞), lim

x→−∞

f (x) = lim

x→∞

f (x) =

1

2

, lim

x→0

−

f (x) = 0, lim

x→0

+

f (x) = 1;

Izabela Jóźwik

Małgorzata Terepeta

4

ODPOWIEDZI

i) D = (−∞,

1
3

) ∪ (

1
3

,

2
3

), lim

x→−∞

f (x) = lim

x→

2
3

−

f (x) = 0, lim

x→

1
3

−

f (x) = ∞, lim

x→

1
3

+

f (x) = −∞;

j) D = (−∞, −1) ∪ (−1, 5) ∪ (5, ∞), lim

x→−∞

f (x) = lim

x→∞

f (x) = 0,

lim

x→−1

−

f (x) = lim

x→5

+

f (x) = −∞, lim

x→−1

+

f (x) = lim

x→5

−

f (x) = ∞;

k) D = h−

1
2

, 0) ∪ (0, 1i, f h−

1
2

i = 0, lim

x→0

−

f (x) = −∞, lim

x→0

+

f (x) = ∞, f (1) =

2

√

3

π

;

l) D = (−3, 3), lim

x→−3

+

f (x) = −∞, lim

x→3

−

f (x) = ∞.

4.

Zdanie ”funkcja jest malejąca na przedziale” zastępujemy symbolem: ”f &:” (analogicznie, jeśli

funkcja jest rosnąca piszemy ”f %:”).

a) f

min

= f



−

8
3



= e

27

256

;

f &: (−∞, −4),



−4, −

8
3



, (0, ∞);

f %:



−

8
3

, 0



.

b) f

min

= f (−2) = −5e

−4

, f

max

= f (2) = 3e

4

;

f &: (−∞, −2), (2, ∞);

f %: (−2, 2).

c) f

min

= f (0) = 0, f

max

= f (4) = 4

4

e

−4

;

f &: (−∞, 0), (4, ∞);

f %: (0, 4).

d) f

min

= f



2e

−

1
2



= −8e

−1

;

f &:



0, 2e

−

1
2



;

f %: (2e

−

1
2

, ∞).

e) f

max

= f



e

4
3



= −3e

4

;

f &:



e

4
3

, ∞



;

f %: (0, e),



e, e

4
3



.

f) f

min

= f (2) = −4e

2

, f

max

= f (−4) = 8e

−4

;

f &: (−4, 2);

f %: (−∞, −4), (2, ∞).

g) f

min

= f (1) = 0, f

max

= f (e

−2

) = 4;

f &: (e

−2

, 1) ;

f %: (0, e

−2

), (1, ∞).

h) f

min

= f (e

5

) = −e

−5

;

f &: (0, e

5

) ;

f %: (e

5

, ∞).

i) brak ekstremów,

f %: (−∞, 0), (0, ∞).

j) f

min

= f (0) = ln 12;

f &: (−∞, 0);

f %: (0, ∞).

k) f

max

= f (1) = e

−3

;

f &: (1, ∞);

f %: (−∞, 1).

l) f

min

= f



2 −

√

3



= 4arctg



2 −

√

3



+ ln



2 −

√

3



;

f

max

= f



2 +

√

3



= 4arctg



2 +

√

3



+ ln



2 +

√

3



;

f &:



0, 2 −

√

3



;



2 +

√

3, ∞



; f %:



2 −

√

3, 2 +

√

3



.

5.

Literą P oznaczamy punkt przegięcia krzywej y = f (x).

a) P =



e

−

1
2

,

3
2

e

1
2



, krzywa jest wypukła na



e

−

1
2

, ∞



, wklęsła na



0, e

−

1
2



.

b) P = (1, 2e

−1

) , P = (3, 10e

−3

), krzywa jest wypukła na (−∞, 1), (3, ∞), wklęsła na (1, 3).

c) brak punktów przegięcia, krzywa jest wklęsła na całej dziedzinie.

Izabela Jóźwik

Małgorzata Terepeta

5

ODPOWIEDZI

d) P = (e, 1), krzywa jest wypukła na (0, e), wklęsła na (e, ∞).

e) P = (−4, ln 32), P = (4, ln 32), krzywa jest wypukła na (−4, 4), wklęsła na (−∞, −4), (4, ∞).

f) P =



1
2

, e

arctg

1
2



, krzywa jest wypukła na



−∞,

1
2



, wklęsła na



1
2

, ∞



.

g) brak punktów przegięcia, krzywa jest wypukła na (0, ∞), wklęsła na (−∞, 0).

h) P =



e

3
2

,

1
2

e

−3



, krzywa jest wypukła na



0, e

3
2



, wklęsła na



e

3
2

, ∞



.

i) brak punktów przegięcia, krzywa jest wypukła na (−2, ∞), wklęsła na (−∞, −2).

j) P =



e

−

5
6

, −

5
6

e

−

5
2



, krzywa jest wypukła na



e

−

5
6

, ∞



, wklęsła na



0, e

−

5
6



.

k) P =



e

5
2

, −

3
2

e

−

5
2



, krzywa jest wypukła na



0, e

5
2



, wklęsła na



e

5
2

, ∞



.

l) P = (e

−2

, −8e

−2

) , P = (1, 0), krzywa jest wypukła na (0, e

−2

), (1, ∞), wklęsła na (e

−2

, 1).

m) P =



−

1
2

, e

−

1
2



, P =



1
2

, e

−

1
2



, krzywa jest wypukła na



−∞, −

1
2



,



1
2

, ∞



,

wklęsła na



−

1
2

,

1
2



.

n) P =



1
2

, e



, krzywa jest wypukła na



1
2

, 1



, (1, ∞), wklęsła na



−∞,

1
2



.

6.

a) asymptota pionowa (obustronna) x =

√

e;

b) asymptoty pionowe x = −2 (lewostronna), x = 0 (prawostronna); asymptota ukośna y = x

w ±∞;

c) asymptota pionowa (obustronna) x = 3; asymptota ukośna y = x + 5 w ±∞;

d) asymptota pionowa (prawostronna) x = 5, asymptota ukośna y = ex + 5e w ±∞;

e) asymptota pionowa (prawostronna) x = −2, asymptota ukośna y = 0 w ∞;

f) asymptoty ukośne: y = x + π w −∞ oraz y = x − π w ∞;

g) asymptota pionowa (prawostronna) x = 0, asymptota ukośna y = −x + 1 w ±∞;

h) brak asymptot;

i) asymptota pionowa (obustronna) x = 1, asymptota ukośna y = 2x w ∞;

j) asymptota pionowa (obustronna) x = 0, asymptoty ukośne: y = 1 w ∞ oraz y = −1 w −∞;

k) asymptota pionowa (prawostronna) x = 0, asymptota ukośna y = x + 4 w ±∞;

l) asymptota pionowa (prawostronna) x = 0, asymptota pionowa (obustronna) x = 1.

Izabela Jóźwik

Małgorzata Terepeta

6