3.5. Badanie funkcji – analiza drugiej pochodnej

(1) Warunek wystarczający ekstremum funkcji

W paragrafie 7.6 poznałeś pierwszy z warunków wystarczających na to, aby funkcja f miała w

punkcie x

0

ekstrema lokalne. Oto drugi z warunków wystarczających:

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu x

0

pochodną pierwszego rzędu i pochodną

rzędu drugiego ciągłą w punkcie x

0

oraz f’(x

0

) = 0 i f’’(x

0

)

≠

0,

to funkcja f ma w punkcie x

0

:

a) maksimum lokalne, gdy f’’(x

0

) < 0,

b) minimum lokalne, gdy f’’(x

0

) > 0.

Praktyczna reguła

Aby wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji różniczkowalnej f wystarczy:

•

ustalić dziedzinę D

f

funkcji f,

•

wyznaczyć jej pochodne

f

′

, f’’,

•

rozwiązać równanie

( )

0

=

′

x

f

,

•

jeśli równanie to nie ma rozwiązań, to funkcja

f

nie posiada ekstremów lokalnych,

•

gdy istnieją rozwiązania tego równania, wtedy ustalić, które z nich należą do dziedziny

D

f

funkcji f, wybrać te rozwiązania,

•

obliczyć wartość pochodnej rzędu drugiego f ‘’ dla każdego argumentu x

0

, który jest

rozwiązaniem równania f ’(x) = 0,

•

zinterpretować otrzymaną liczbę:

a) jeśli f’’ (x

0

)

≠

0, wówczas w x

0

funkcja ma ekstremum lokalne (ustalić, czy jest to

maksimum, czy minimum lokalne oraz wyznaczyć jego wartość f( x

0

) ),

b) jeśli f’’ (x

0

) = 0, wówczas należy posłużyć się innymi twierdzeniami w celu

wyznaczenia ekstremów lokalnych funkcji.

Przykład 1.

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem f(x) =

1

2

2

+

x

x

.

Rozwiązanie

1) Dziedziną funkcji f jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych; D

f

= R.

2) Funkcja f’ pochodna funkcji f wyraża się wzorem f’(x) =

2

2

2

)

1

(

)

1

(

2

+

−

x

x

; dziedziną tej pochodnej

jest również zbiór liczb rzeczywistych; D

f ’

= R.

3) Mamy f’(x) = 0

⇔

1 – x

2

= 0

⇔

x = 1 lub x = -1 .

Miejscami zerowymi pochodnej są liczby 1, -1.

4) Druga pochodna funkcji f wyraża się wzorem f’’(x) =

3

2

2

)

1

(

)

3

(

4

+

−

−

x

x

x

. Jest ona funkcją

ciągłą w całym zbiorze liczb rzeczywistych.

5) Ponieważ f’’(1) < 0 i f’’(- 1) > 0 , zatem funkcja f ma:

a) maksimum w punkcie 1 równe f(1) = 1,

b) minimum w punkcie -1 równe f(-1) = -1.

(2) Wypukłość i wklęsłość krzywej

Definicja

Niech funkcja

f

będzie różniczkowalna w przedziale

( )

b

a,

i niech

f

′

będzie ciągła

w każdym punkcie

( )

b

a,

.

•

Mówimy, że

f

jest funkcją

wypukłą w

( )

b

a,

, gdy wykres

f

położony jest nad styczną

poprowadzoną do wykresu

f

w dowolnym punkcie wykresu mającego pierwszą

współrzędną należącą do tego przedziału.

Mówimy również, że krzywa o równaniu y = f(x) jest wypukła w przedziale (a, b).

•

Mówimy, że

f

jest

wklęsła w

( )

b

a,

, gdy wykres

f

leży pod styczną poprowadzoną do

wykresu

f

w dowolnym punkcie wykresu mającego pierwszą współrzędną należącą do

tego przedziału.

Mówimy również, że krzywa o równaniu y = f(x) jest wklęsła w przedziale (a, b).

Rysunki przedstawiają krzywe wypukłą i wklęsłą w przedziale (a, b).

a x

0

b a x

0

b

Funkcja wypukła w

( )

b

a,

. Funkcja wklęsła w

( )

b

a,

.

Twierdzenie

a) Jeżeli

( )

0

>

′′

x

f

dla każdego

( )

b

a

x

,

∈

, to funkcja

f

jest wypukła w

( )

b

a,

,

b) Jeżeli

( )

0

<

′′

x

f

dla każdego

( )

b

a

x

,

∈

, to funkcja

f

jest wklęsła w

( )

b

a,

.

Zachowanie się funkcji

f

w zależności od znaków pierwszej i drugiej pochodnej ilustruje

tabelka.

( )

x

f

′

( )

x

f

′′

WARTOŚĆ FUNKCJI

f

SYMBOL GRAFICZNY

+

+

rośnie coraz szybciej

+

-

rośnie coraz wolniej

-

+

maleje coraz wolniej

-

-

maleje coraz szybciej

Przykład 2.

Funkcja Z dana jest wzorem

( )

50

36

6

2

3

+

+

+

−

=

q

q

q

q

Z

, dla

0

≥

q

.

Wykorzystując własności pierwszej i drugiej pochodnej, omów własności tej funkcji.

f(x

0

)

y

y

f(x

0

)

y=f(x)

P

0

x

x

Rozwiązanie

Zgodnie z założeniem dziedziną D

Z

funkcji Z jest przedział [ 0,

∞

)

Mamy

( )

36

12

3

2

+

+

−

=

′

q

q

q

Z

, stąd

( )

6

lub

2

0

12

4

0

36

12

3

0

2

2

=

−

=

⇔

=

+

+

−

⇔

=

+

+

−

⇔

=

′

q

q

q

q

q

q

q

Z

( )

(

)

),

6

,

0

[

)

,

0

[

6

,

2

0

=

∞

∩

−

∈

⇔

>

′

q

q

Z

bo D

Z

= [ 0,

∞

).

( )

(

)

)

,

6

(

)

,

0

[

]

,

6

)

2

,

[(

0

∞

=

∞

∩

∞

∪

−

−∞

∈

⇔

<

′

q

q

Z

.

Natomiast

( )

12

6

+

−

=

′′

q

q

Z

, dla

0

≥

q

, więc

( )

(

)

+∞

∈

⇔

<

′′

,

2

0

q

q

Z

,

( )

( )

2

,

0

0

∈

⇔

>

′′

q

q

Z

.

Wyniki obliczeń przedstawiamy schematycznie:

Z

′′

+

-

-

Z

′

+

+

-

0 2 6

Z przeprowadzonego rozumowania wynika, że:

•

dla

( )

2

,

0

∈

q

funkcja Z rośnie coraz szybciej,

•

dla

( )

6

,

2

∈

q

funkcja Z rośnie coraz wolniej,

•

dla

(

)

+∞

∈

,

6

q

funkcja Z maleje coraz szybciej,

•

funkcja Z ma maksimum w 6 równe 266.

Definicja

Punkt P = (x

0

, f(x

0

)) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy,

gdy w punkcie P „zmienia się” wypukłość wykresu funkcji f.

Praktyczna reguła

Aby wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji f różniczkowalnej wystarczy:

•

ustalić dziedzinę funkcji f,

•

obliczyć drugą pochodną funkcji f,

•

wyznaczyć te argumenty funkcji f, dla których pochodna f ’’ jest 0, czyli rozwiązać

równanie f ’’(x) = 0,

•

zbadać znak pochodnej f ’’ w pewnym otoczeniu każdego argumentu x

0

, który jest

rozwiązaniem równania f ’’(x) = 0, czyli rozwiązać nierówności f ’’(x) > 0,

f ’’(x) < 0 w otoczeniu punktu x

0

,

•

zinterpretować otrzymany rezultat:

a) jeśli w otoczeniu punktu x

0

pochodna f ’’ zmienia znak, wówczas w x

0

wykres

funkcji f ma punkt przegięcia,

b) jeśli w otoczeniu punktu x

0

pochodna f ’’ nie zmienia znaku, wówczas w x

0

funkcja

f nie ma punktu przegięcia.

Zadania do samodzielnego rozwiązywania

Zadanie 1.

Ustal przedziały wypukłości (wklęsłości) wykresu funkcji f, gdy:

a) f(x) = x

4

–6 x

2

– 6x + 1, b) f(x) = 4 x

2

+ x

-1

, c) f(x) = x

-1

ln x,

d) f(x) =

2

1

1

x

−

, e) f(x) =

2

)

1

(

1

2

x

x

−

−

.

Zadanie 2.

Wyznacz punkty przegięcia wykresu funkcji f, gdy:

a) f(x) = 0,25x

4

– x

3

- 2 x

2

– 6x + 1, b) f(x) = x

3

1

−

x

, c) f(x) = x + e

2x

,

d) f(x) =

2

1

x

x

+

, e) f(x) =

x

x

−

1

3

.

Zadanie 3.

Wyznacz przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji f danej wzorem

( )

x

x

x

f

ln

2

−

=

.

Odpowiedzi

Zad. 1.: a) wypukły w ( -

∞

, -1), (1,

∞

), wklęsły w (-1,1) , b) wypukły w ( -

∞

, -

3

4

1

),

(0,

∞

), wklęsły w (-

3

4

1

, 0), c) wypukły w ( 0, e

-1,5

), wklęsły w (e

-1,5

,

∞

),

d) wypukły w (-1,1), wklęsły w ( -

∞

, -1), (1,

∞

), e) wypukły w (1,

∞

),

(- ½ ,1), wklęsły w ( -

∞

, - ½ ).

Zad. 2.: a) punkty przegięcia A = (0,1), B = (2, -15) , b) punkty przegięcia A = (1,0),

B = (1,5;

3

16

3

) , c) nie ma , d) punkty przegięcia A = (

3

; 0,25

3

),

B = (-

3

; -0,25

3

), e) punkt przegięcia A = (0,0).

Zad. 3.: D

f

= (0,

∞

) ; wypukła w całej dziedzinie.