BADANIE FUNKCJI

1. Minimum lokalne funkcji

Funkcja f ma w punkcie
minimum lokalne jeżeli :

2. Maksimum lokalne funkcji

Funkcja f ma w punkcie
minimum lokalne jeżeli :

3. Minimum lokalne właściwe funkcji

Funkcja f ma w punkcie
maksimum lokalne właściwe jeżeli :

4. Maksimum lokalne właściwe funkcji

Funkcja f ma w punkcie
maksimum lokalne właściwe jeżeli :

5. I warunek wystarczający istnienia ekstremum

Jeżeli funkcja f spełnia warunki :

1. 
   

2. 
   dla każdego
   

To w punkcie
funkcja f ma maksimum lokalne właściwe

6. II warunek wystarczający istnienia ekstremum

Jeżeli funkcja f spełnia warunki :

1. 
   

2. 
   

3. n jest liczbą parzystą większą lub równą 2

to w punkcie
funkcja f ma maksimum lokalne właściwe

Jeżeli założenie 2 twierdzenia ma postać
to funkcja ma w punkcie
minimum lokalne . Natomiast jeżeli założenie 3. ma postać n jest liczbą nieparzystą

a założenie 2 ma postać
to funkcja w punkcie
nie ma ekstremum lokalnego

7. Wartość najmniejsza funkcji na zbiorze

Liczba m należąca do zbioru liczb rzeczywistych jest wartością najmniejszą funkcji f na zbiorze jeżeli :

oraz

8. Wartość największa funkcji na zbiorze

Liczba m należąca do zbioru liczb rzeczywistych jest wartością największą funkcji f na zbiorze jeżeli :

oraz

9. Algorytm szukania wartości ekstremalnych funkcji na przedziale domkniętym

Niech funkcja f będzie ciągła na przedziale [a,b] i niech ma pochodną właściwą lub niewłaściwą poza skończoną liczbą punktów tego przedziału . Wartości największej i najmniejszej tej funkcji na tym przedziale szukamy postępując według algorytmu :

1. znajdujemy punkty
   zerowania się pochodnej funkcji f na przedziale (a,b) oraz punkty
   w których pochodna właściwa tej funkcji nie istnieje .

2. obliczamy wartości funkcji f w punktach końcowych a,b ,w punktach zerowania się pierwszej pochodnej
   oraz w punktach pochodnej właściwej
   

3. spośród liczb

Wybieramy najmniejszą i największą . Będą to odpowiednio wartości najmniejsza m i największa M funkcji na przedziale [a,b]

10. Funkcja wypukła

Funkcja f jest wypukła na przedziale (a,b) gdzie
jeżeli :

11. Funkcja wklęsła

Funkcja f jest wklęsła na przedziale (a,b) gdzie
jeżeli :

12. Funkcja ściśle wypukła

Funkcja f jest ściśle wypukła na przedziale (a,b) gdzie
jeżeli :

13. Funkcja ściśle wklęsła

Funkcja f jest ściśle wklęsła na przedziale (a,b) gdzie
jeżeli :

14. Warunek wystarczający wypukłości

Jeżeli
dla każdego
to funkcja f jest ściśle wypukła

15. Punkt przegięcia wykresu

Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu
. Ponadto niech funkcja f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą . Punkt
jest punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy gdy istnieje liczba
taka że funkcja f jest ściśle wypukła na
oraz ściśle wklęsła
albo jest odwrotnie

16. Warunek konieczny istnienia pkt. Przegięcia

Jeżeli funkcja f spełnia warunki :

1. 
   jest punktem przegięcia

2. istnieje
   

to :

17. Warunek wystarczający istnienia pkt. Przegięcia

Jeżeli funkcja spełnia warunki :

1. ma pochodną właściwą lub niewłaściwą

2. 
   dla każdego
   

18. Pochodna a wykres funkcji

19. Algorytm Badania funkcji

1. Ustalenie dziedziny funkcji

2. Wskazanie podstawowych własności funkcji

- parzystość lub nieparzystość

- okresowość

- miejsca zerowe

- ciągłość

3. Obliczanie granic lub wartości funkcji na krańcach dziedziny

4. Znaleźnie asymptot pionowych i ukośnych

5. Zbadanie pierwszej pochodnej funkcji

- wyznaczenie dziedziny pochodnej i jej obliczenie

- wyznaczenie punktów ,w których funkcja może mieć ekstrema

- ustalenie przedziałów monotoniczności funkcji

- ustalenie ekstremów funkcji

- obliczenie granic lub wartości pochodnej na krańcach jej dziedziny

6. Zbadanie drugiej pochodnej

- wyznaczenie dziedziny drugiej pochodnej i jej obliczenie

- wyznaczenie miejsc w których funkcja może mieć punkty

przegięcia

- ustalenie przedziałów wklęsłości i wypukłości

- wyznaczenie punktów przegięcia wykresu funkcji

- obliczenie pierwszej pochodnej w punktach przegięcia

7. Sporządzenie tabeli (nieobowiązkowe)

8. Sporządzenie wykresu funkcji

---