BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

x

x

x

f

1

)

(

2





1) Dziedzina funkcji

Mianowniki muszą być różne od zera, stąd:

0



x

D=

 \{0}=





)

;

0

(

0

;











2) Punkty przecięcia z osiami.

Punkt leży na osi x , gdy:

0

)

(



x

f

1

0

1

0

1

3

2

















x

x

x

x

x

 Do wykresu funkcji należy punkt (-1 ; 0).

Punkt leży na osi

y

, gdy:

0



x

.

Liczba 0 nie należy do dziedziny, a zatem nie ma punktów na osi

y

.

3) Parzystość i nieparzystość funkcji.

Funkcja jest parzysta, gdy

)

( x

f



=

)

(x

f

)

( x

f



=

 

x

x

x

x

1

1

2

2











, czyli

)

( x

f





)

(x

f

. Funkcja nie jest parzysta.

Funkcja jest nieparzysta, gdy

)

( x

f



=

)

(x

f



)

(x

f



=

















x

x

1

2

=

x

x

1

2





, czyli:

)

( x

f





)

(x

f



. Funkcja nie jest nieparzysta.

4) Granice na końcach przedziałów określoności funkcji.

lim







x

















x

x

1

2







 0

lim







x

















x

x

1

2







 0

5) Asymptoty.

a) Asymptota pionowa istnieje gdy w punktach nieokreśloności granica funkcji jest równa





.

lim

0





x

















x

x

1

2





0

=





lim

0





x

















x

x

1

2







0





Funkcja ma asymptotę pionową:

0



x

.

b) Funkcja ma asymptotę poziomą

a

y



gdy istnieje granica funkcji w nieskończoności.

lim







x

















x

x

1

2







 0

lim







x

















x

x

1

2







 0

Funkcja nie ma asymptoty poziomej..

c) Funkcja ma asymptotę ukośną:

b

ax

y





, gdy granica funkcji

x

x

f )

(

w nieskończoności

równa a jest różna od zera i

lim







x

(

ax

x

f



)

(

) =

b



lim







x

(

ax

x

f



)

(

) =

b

lim







x



x

x

f

)

(

lim







x

















x

x

x

1

1

2

lim







x















 

2

1

x

x

Funkcja

x

x

x

f

1

)

(

2





nie ma asymptoty ukośnej, ponieważ liczba a nie istnieje.

6) Pochodna funkcji.

)

(

' x

f

=

















'

2

1

x

x

'

1

2

)

(



 x

x

=

2

2



 x

x

=

2

1

2

x

x



7) Przedziały monotoniczności

Funkcja jest rosnąca w przedziale, jeżeli

0

)

(

'



x

f

w tym przedziale.

Funkcja jest malejąca w przedziale, jeżeli

0

)

(

'



x

f

w tym przedziale.

2

1

2

x

x



> 0

0

1

2

2

3





x

x

1

2

3



x

> 0



0



x



8

,

0

2

1

2

1

1

2

3

3

3













x

x

x

)

;

5

,

0

(

3







x

 funkcja jest rosnąca.

)

5

,

0

;

0

(

)

0

;

(

3







x

 funkcja jest malejąca.

8) Ekstrema lokalne funkcji.

Funkcja ma ekstremum lokalne lub punkt przegięcia w punkcie

)

;

(

0

0

y

x

, jeżeli pochodna funkcji w

tym punkcie równa się zero.

2

1

2

x

x



= 0 

0

1

2

2

3





x

x



1

2

3



x



8

,

0

2

1

3





x

)

8

,

0

(

f

=

9

,

1

25

,

1

64

,

0

8

,

0

8

,

0

1

2









Funkcja ma ekstremum w punkcie (0,8 ;1,9)
9) Tabela i wykres funkcji.

x





...

-1

...

0

...

0,8

...





)

(

' x

f

-

-

-

-

#

-

0

+

+

)

(x

f





0

#





1,9



