Biotechnologia, 3 rok, 6 semestr

Instrukcja do laboratorium nr 4 z Modelowania Biosystemów

Model Lotki-Volterry

Prowadzący: dr inż. Krzysztof Psiuk-Maksymowicz (p.629)

[e-mail]

1.

Zakres materiału do zajęć

Przygotowanie do zajęć obejmuje znajomość modelu Lotki-Volterry w wersji podstawowej, modelu

drapieżnik-ofiara z ograniczoną pojemnością środowiska dla ofiar oraz modelu drapieżnik-ofiara z
kryjówkami dla ofiar. Należy posiadać wiedzę na temat punktów równowagi modeli oraz ich zachowań
asymptotycznych (stabilność).

2.

Wprowadzenie

Model Lotki-Volterry to dwuwymiarowy model ekologiczny opisujący dynamikę zmian dwóch

populacji współistniejących w tym samym środowisku. Model dotyczy zmian liczebności populacji
drapieżników (ang. predator) i ich ofiar (ang. prey).

Oznaczając przez V(t) liczebność ofiar w chwili t oraz przez P(t) liczebność drapieżników w chwili t,

model przyjmuje postać układu dwóch równań różniczkowych zwyczajnych












−

=

−

=

,

sP

abVP

dt

dP

aVP

rV

dt

dV

gdzie r oznacza współczynnik rozrodczości ofiar, a współczynnik skuteczności polowań, b współczynnik
rozrodczości drapieżników (na jednostkę upolowanej ofiary) oraz s współczynnik śmiertelności
drapieżników.

Model posiada dwa punkty równowagi na przecięciu izoklin obu zmiennych.
Obliczenie tzw. całki pierwszej prowadzi do otrzymania wzoru na trajektorie fazowe na płaszczyźnie

(V,P). Zamknięte trajektorie na płaszczyźnie (V,P) oznaczają istnienie periodycznego (okresowego)
rozwiązanie liczebności P i V w czasie.


Model drapieżnik-ofiara z ograniczoną pojemnością środowiska dla ofiar

Jednym z nierzeczywistych założeń modelu Lotki-Volterry jest nieograniczony wzrost populacji ofiar

w przypadku braku drapieżników. Bardziej realistyczny model uwzględnia zmienność współczynnika
wzrostu ofiar w zależności od liczebności populacji (w ogólnym przypadku obu populacji). Przykładem
modelu stosującego taką zależności jest model, który zakłada konkurencję wewnątrzgatunkową
występującą w populacji ofiar (wprowadzenie dodatkowego członu ograniczającego wzrost populacji, tak
jak w modelu logistycznym, oznacza pojemność środowiska).

Okazuje się, że wprowadzenie dodatkowego czynnika ograniczającego wzrost populacji ofiar zmienia

dynamikę układu, a konkretne rozwiązanie uzależnione jest od wielkości parametru K.

Model drapieżnik-ofiara z kryjówkami dla ofiar

Kolejną modyfikacją oryginalnego modelu Lotki-Volterry jest model uwzględniający niedostępność

części z ofiar dla drapieżników. Parametr K w tym modelu określaja liczbę ofiar, która sie ukrywa. Okazuje
się, że dla dowolnych parametrów model z kryjówkami jest zawsze globalnie stabilny, a rozwiązanie wraz
z upływem czasu zbiega do jednego z rozwiązań stacjonarnych. Występujące w układzie oscylacje są
zawsze gasnące.

3.

Program zajęć laboratoryjnych

Treść zadań będzie podana na początku zajęć laboratoryjnych. W celu rozwiązania zadań wymagana

jest umiejętność budowania modeli LV z wykorzystaniem pakietu Simulink oraz umiejętność tworzenia
portretów fazowych.