Strumień pola elektrycznego

θ

cos

⋅

⋅

=

Φ

E

A

Wektor powierzchni

A

strumie

ń

jednorodnego pola elektrycznego

przechodz

ą

cy przez płask

ą

powierzchni

ę

E

A

⋅

=

Φ

Wektor powierzchni

A

A

A

A

=

Strumień pola elektrycznego

i

i

i

E

A

⋅

∆

=

∆Φ

( )

∑

⋅

⋅

∆

=

Φ

→

∆

i

i

i

i

A

E

A

θ

cos

lim

0

∫

⋅

=

Φ

S

A

d

E

Prawo Gaussa

ε

ε

0

wew

Q

=

Φ

Przykład 1. Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego.

cos 0

o

E dA

E

dA

Φ =

⋅

=

⋅

∫

∫





cos 0

o

E dA

E

dA

Φ =

⋅

=

⋅

∫

∫





2

4

r

E

π

⋅

=

Φ

2

4 r

E

Q

o

wew

π

ε

ε

=

2

4

1

r

Q

E

wew

o

ε

πε

=

Przykład 2. Natężenie pola elektrycznego ładunku równomiernie
rozłożonego na nieskończonej powierzchni przewodnika.

∫

=

⋅

=

Φ

S

A

E

A

d

E

1

o

Q

EA

ε ε

=

Izolowany przewodnik naładowany

1

1

1

o

o

o

Q

A

A

EA

E

ε ε

σ

σ

ε ε

σ

ε ε

=

=

=

Dwie przewodz

ą

ce płyty

ε

ε

σ

ε

ε

σ

0

0

1

2

=

=

E

0

0

R

R

W

q E ds

q E ds

∞

∞

∞

=

⋅

= −

⋅

∫

∫

2

0

1

4

q

E

r

πε ε

=

Energia potencjalna pola elektrycznego

• Praca sił pola ładunku punktowego – przesuni

ę

cie z

niesko

ń

czono

ś

ci do R

0

0

2

0

0

0

0

0

0

1

1

4

4

1

1

1

4

4

R

R

qq

qq

W

dr

r

r

qq

qq

W

R

R

πε ε

πε ε

πε ε

πε ε

∞

∞

∞

∞





=

=

−









−

−





=

−

=

⋅





∞





∫

0

0

1

4

p

qq

E

W

R

πε ε

∞

= −

=

⋅

Potencjał elektryczny - definicja

0

W

V

q

∞

= −

- praca siła pola elektrostatycznego wykonana nad ładunkiem

q

0

w

czasie przesuwania cz

ą

stki

z niesko

ń

czono

ś

ci do danego punktu

∞

W

C

J

C

J

V

1

1

1

1

=

=

Jednostka potencjału

Praca pola elektrostatycznego

W

q V

= − ∆

Potencjał elektryczny ładunku punktowego

0

q

V dodatnie

>

⇒

0

1

4

q

V

R

πε ε

=

⋅

• Powierzchnie ekwipotencjalne

Potencjał elektryczny układu ładunków punktowych

3

1

2

0

1

0

2

0

3

1

1

1

4

4

4

dq

dq

dq

dV

r

r

r

πε ε

πε ε

πε ε

=

⋅ +

⋅ +

⋅

0

1

4

dq

V

r

πε ε

=

∫

Praca w polu elektrostatycznym

Pole elektrostatyczne jest polem sił zachowawczych

(

)

CA

A

C

W

q V

V

q V

qU

= − ⋅

−

= − ∆ = −

Praca pola elektrycznego przy przej

ś

ciu z punktu

C

do punktu

A

Obliczanie nat

ęż

enia pola na podstawie potencjału

s

d

F

dW

⋅

=

dW

qE ds

=

⋅

dW

dV

E ds

q

−

=

= − ⋅

Je

ż

eli przesuni

ę

cie jest wzdłu

ż

os OX i nat

ęż

enie

K

K

P

P

V

V

E ds

−

= −

⋅

∫

x

dV

E

V

dx

= −

= −∇

x

dV

dV

E

ds

dx

=

= −

Ogólnie

ˆ

ˆ

ˆ

dV

dV

dV

E

V

i

j

k

dx

dy

dz





= −∇ = −

+

+









Je

ż

eli przesuni

ę

cie jest wzdłu

ż

os OX i nat

ęż

enie

pola jest równoległe do przesuni

ę

cia

Przykład. Cienk

ą

metalow

ą

obr

ę

cz o promieniu a naładowano

ładunkiem Q. Wyznaczy

ć

potencjał i nat

ęż

enie pola w punkcie P

2

2

2

2

2

2

0

0

0

0

1

1

1

4

4

4

Q

dq

q

Q

V

a

x

a

x

a

x

πεε

πεε

πεε

=

=

=

+

+

+

∫

(

)

3/2

2

2

0

1

4

dV

x

E

Q

dx

a

x

πεε

= −

=

+

Dipol elektryczny

+

-

-q

+q

p

d

qd

p

=

Oś dipola A-A’

A

A’

P – wartość momentu dipolowego

qd

p

=

x

Dipol elektryczny w jednorodnym polu elektrycznym

•

Moment sił działaj

ą

cych na dipol

sin

sin

sin

M

Fd

qEd

M

qd E

θ

θ

θ

=

=

=

⋅ ⋅

E

p

M

×

=

• Praca sił pola

(

)

0

0

sin

cos

W

M

W

M d

qEl

d

W

pE

pE

θ

θ

α

α

α α

θ

∆ =

⋅ ∆

=

⋅

=

⋅

= −

− −

∫

∫

p

W

E

= −∆

Energia potencjalna dipola w jednorodnym polu
elektrycznym

pot

E

p E

= − ⋅

Dipole w polu elektrycznym