Polski opis programu fx Calc

- 1 -

Wersja 4.7.0.

9.11.2015

Instalka

http://www.fx-calc.de/index_en.html

Uniwersalny kalkulator naukowy

dla Windows

Przekład

Robert Wi

niewski

http://chomikuj.pl/bobwis

FX-Calc jest jednym z najbardziej zaawansowanych kalkulatorów przeznaczonych do definiowania,
wizualizacji i obliczania funkcji naukowych. Pozwala na definiowanie i natychmiastowe obliczanie
funkcji zawieraj

cych do 5 zmiennych. Działa równie

na liczbach zespolonych. Rozwi

zuje równania

i analizuje funkcje z graficzn

prezentacj

wyników w formacie 2D i 3D. Wyznacza ekstrema lokalne,

punkty przegi

cia, styczne oraz przeprowadza analiz

regresji liniowej i interpolacje. Dokumentacja

(w j, angielskim) znajduje si

w pliku PDF. Aplikacja działa w systemie Windows XP.

- 2 -

SPIS TRE

1. Fx-Calc – Uniwersalny kalkulator naukowy
1.1. Unikalne mo

liwo

2. Instalacja
3. Podstawowe koncepcje
4. Skrócona tablica składni wprowadzanych obiektów
5. Obliczenia przykładowe
6. Obliczenia z funkcjami i nawiasami
7. Funkcje definiowane przez u

ytkownika

7.1. Obliczanie przy korzystaniu z pami

8. Sumy i iloczyny
9. Inne operacje
9.1. Analiza funkcji
9.2. Obliczanie stycznych
9.3. Wykresy funkcji 2D
9.4. Wykresy funkcji 3D
9.5. Regresja liniowa
10. Baza danych warto

ci stałych

10.1. Obliczanie pierwiastków
10.2. Pierwiastki dla argumentów innych ni

10.3. Warto

ci ekstremalne

10.4. Całki oznaczone
10.5. Punkty nieokre

lone

10.6. Punkty brakuj

ce, pierwiastki i ekstrema

11. Od Autora.

- 3 -

1. Fx-Calc – Uniwersalny kalkulator naukowy

Program fx-Calc jest aktualnie jednym z z najbardziej zaawansowanych kalkulatorów pulpitowych dla
oblicze

naukowych w

rodowisku Windows. Pocz

wszy od prostego okna oblicze

, pozwala na

korzystanie z wbudowanych funkcji, sum i iloczynów.

Przykładowo, kilka klikni

ęć

myszk

uruchamia iteracj

Leibnitza do obliczania warto

ci liczby

ππππ

Program fx-Calc pozwala na definiowanie, analizowanie i obliczanie funkcji naukowych i jest
doskonałym zamiennikiem starego kalkulatora Windows.

Niezale

nie od oblicze

i wizualizacji, mo

na analizowa

i rozwi

zywa

funkcje naukowe oraz

przeprowadza

analiz

regresji liniowej.

Chocia

koncepcja Windows nie pozwala na zaawansowany wygl

d interfejsu, du

żą

zalet

programu

jest mo

liwo

ść

wielokrotnego otwierania okien i porównywania wyników w razie potrzeby.

Aplikacja ta wymaga mniej ni

750 kB pami

ci i jest mniejsza od programu calc.exe wbudowanego

w Windows.

Aby skorzysta

z interpretera DLL we własnych projektach, mo

na uzyska

jego kopi

oraz

dokumentacj

bezpo

rednio od autora programu.

1.1. Unikalne mo

liwo

•

Definiowanie i po

rednie obliczanie funkcji maj

cych do 5 zmiennych

•

Rozwi

zywanie równa

•

Analiza funkcji w poł

czeniu z graficzna prezentacj

wyników

•

Obliczanie parametrycznych sum i iloczynów

•

Wbudowana biblioteka funkcji

•

Wbudowana biblioteka stałych naukowych

•

Wykresy 2D zawieraj

ce zło

one grafiki

•

Mechanizm Open GL przy

pieszaj

cy tworzenie wykresów 3D

•

Wielokrotne okna wykresów i analiz w celu porównywania ró

nych charakterystyk funkcji

•

Interaktywny moduł analizy regresji liniowej

•

Zautomatyzowana historia polece

•

wietlanie aktualnej warto

ci pami

ci w osobnym polu

•

Wbudowane przykłady

•

Obsługa liczb zespolonych

•

Obliczanie punktów nieokre

lonych

- 4 -

2. Instalacja

Wymagania systemowe:

Procesor CPU

X86 Dual Core poczwszy od 1,6 GHz

Pami

ęć

RAM

5123 MB

Dysk twardy HDD

3 MB

Karta grafkii

Wymagana Open GL 2,0

Systemy operacyjne

Windows Vista, Windows 7, Windows 8 (32 i 64 bit),
Windows XP (w ograniczeniu, ale działa)

Fx-Calc wymaga Microsoft dotNET v. 4.0 lub wy

szej.

Instalacja jest bardzo prosta i przeprowadzana w sposób standardowy.

Wymagane jest tylko jedno ustawienie: Lokalizacja.

- 5 -

Instalator tworzy odpowiedni wpis w menu Start i oferuje opcjonalne utworzenie ikony programu na
pulpicie. Istniej

ce dane z wcze

niejszej wersji s

automatycznie przenoszone do nowej wersji.

Niezale

nie od ikony programu, mo

na utworzy

skrót do pliku dokumentacji w formacie PDF.

Fx-Calc zawiera funkcj

automatycznego sprawdzania aktualizacji. Gdy dost

pna jest nowa wersja,

wówczas program oferuje skrót do

gania nowej wersji po zamkni

ciu aplikacji. Taki rodzaj

komunikacji internetowej jest tylko do czytania, tzn. Fx-Calc nie wysyła

adnych danych z komputera

do Internetu.

3. Podstawowe koncepcje

de obliczenie wymaga wprowadzenia danych w polu edycji. Fx-Calc oblicza natychmiast wyniki

podczas wpisywania. Format wyra

matematycznych jest podobny do BASIC, a wbudowana

klawiatura ułatwia wprowadzane funkcji. W razie popełnienia pomyłki w wyra

eniu matematycznym,

program wy

wietli odpowiedni komunikat o bł

dzie. Zniknie on automatyczne po wprowadzeniu

korekty.

Interpreter rozró

nia du

e i małe litery ! Korzystaj

c z klawiatury mo

na wstawia

poprawne nazwy

funkcji w polu edycji.

WA

Fx-Calc korzysta z normalnej logiki oblicze

naukowych o nazwie DAL (Direct Algebraic Logic).

Tak wi

c mno

enie * oraz dzielenie / jest wykonywane przed dodawaniem + i odejmowaniem -, np:

4 + 5 * 3 = 19, a nie 27

Z tego powodu wyra

enia matematyczne obliczane s

krok po kroku w zale

ci od hierarchii

operatorów.

- 6 -

4. Skrócona tablica składni wprowadzanych obiektów

Poni

sza tablica zawiera przegl

d składni wprowadzanych obiektów:

Temat

Podtemat

Przykłady

Komentarze

Liczby
proste

1; 2,579; 3,14256;
0,0015

Jako separator dziesi

tny mo

na stosowa

przecinek lub kropk

Format

naukowy

4e-4; 6.623e-23

Litera e poprzedza wykładnik pot

o podstawie 10

Liczby

zespolone

1+1i; 0-4i; 6e-12+i8e3;
(12-i3e-5)

Liczby zespolone w wyra

eniu musz

zawsze

zawiera

oba elementy: rzeczywisty i urojony.

Gdy cz

ęść

urojona jest zerwa, wpisujemy 0

5+3.14; 546+3+6

dy operator * lub / wykonywany jest wcze

niej

5-3.14; 546-3-6

dy operator * lub / wykonywany jest wcze

niej

5*3.14; 546*3*6

Operator ten ma pierwsze

stwo przed + lub -

W poni

szych przypadkach operator mno

enia

nie jest wymagany:

•

Mno

enie dwóch zmiennych x*y jest takie

samo jak xy

•

Liczba i otwarty nawias 2,5*( ... jest takie
samo jak 2,5 (...

•

Funkcja 2,5*sin(30) jest taka sama jak
2,5sin(30)

•

Zmienna 2,5*x jest taka sama jak 2,5x

•

Nawias zamkni

ty i otwarty ...)*(... jest taki

sam jak ...)(...

5/3.14; 546/3*6

Operator ten ma pierwsze

stwo przed + lub -

Przykłady

pierwsze

stwa

4+3*6 = 40
7+1/2 = 7,5

Najpierw obliczane jest 3*6 przed dodaniem 4
Dzielenie jest wykonywane przed dodaniem 7

Operatory

x^n; 4^3 = 64
5,23^2,77 = 97,77

W celu podniesienia liczby x do pot

gi n, liczby te

mog

całkowite, ułamkowe

a nawet zespolone

Korzystanie

z funkcji

sin(30); f(x)=sin(x)
3^(1.2); 4^2

Ona te przykłady pokazuj

jak korzysta si

z funkcji. Zwykle zaczynamy od identyfikatora
funkcji. po czym nast

puje argument funkcji

w nawiasach Jest to bardzo podobne do składni
j

zyka BASIC. Wyj

tkiem od tej zasady jest

funkcja pot

gowa z której mo

na korzysta

pomoc

operatora ^

Funkcje

wbudowane

Wszystkie wbudowane
funkcje

ln(x), exp(x), log(x), x^y, sqrt(x), abs(x), fac(x)
(facult), sin(x), cos(x), tan(x), cotan(x), pi,
arcsin(x), arccos(x), arctan(x), sinh(x), cosh(x),
tanh(x), Con(i); Rec(i);

Stopnie

i radiany

Funkcje
trygonometryczne

Dla funkcji trygonometrycznych mo

na wybra

argumenty w stopniach lub w radianach przy
korzystaniu z przycisków radiowych w górnym
prawym rogu kalkulatora

Funkcje

Funkcje

definiowane

f(x)=sin(x);
f(hight)=sqrt(hight*9,91

Wszystkie funkcje definiowane zaczynaj

od f(,

po czym nast

puje do 5 parametrów, przy czym

ich separatorem jest przecinek, a na ko

znajduje si

nawias zamykaj

cy i znak równo

oraz wyra

enie z tymi parametrami:

f(argument 1, argument 2,...) = Wyra

enie

Program fx-Calc rozpoznaje te argumenty oraz
uaktywnia automatycznie odpowiednie pola.

- 7 -

O czym nale

y pami

•

Ogólna zasada jest taka,

e gdy mamy w

tpliwo

ci co do operatorów lub nawiasów, lepiej

skorzysta

z nawiasów aby wyra

enie było bardziej zrozumiałe

•

Obowi

zuje hierarchia operatorów

•

Wej

cia rozró

niaj

wielko

ci liter

•

Liczby zespolone musz

zawsze zawiera

ęść

rzeczywist

i urojon

– nawiasy mog

pomóc przy ich wpisywaniu, ale nie s

konieczne

•

Kalkulator ten jest bardzo tolerancyjny na brak operatorów mno

enia, ale korzystanie z nich

zmniejsza mo

liwo

ść

popełnienia bł

du,

5. Obliczenia przykładowe

W celu wykonywania prostych oblicze

, wprowadza

wymagane zadania w polu tekstowym – wyniki

oblicze

pojawiały si

w miar

wpisywania danych. Program fx-Calc przetwarza wyra

enia

korzystaj

c z hierarchii operatorów, np.:

lub:

na korzysta

z naukowego formatu liczb, np. 5e-5, co jest równe 0,00005. Ponadto, fx-Calc

obsługuje liczby zespolone korzystaj

c z poni

szego formatu:

r +/- i z

gdzie r jest cz

ęś

rzeczywist

, z jest cz

ęś

urojon

, znak plus lub minus przed liter

i definiuje

znak składowej z., np.:

4-ie-3 lub 0+2i

- 8 -

Poni

ej podano przykład takich oblicze

na liczbach zespolonych:

W celu wykonania zło

onych oblicze

na liczbach zespolonych, fx-Calc oferuje funkcje sprz

ęż

enia

liczb zespolonych i obliczania odwrotno

ci liczb zespolonych. Typowym przykładem jest obliczanie

pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej:

6. Obliczenia z funkcjami i nawiasami

Podstaw

jest równie

porównywanie prostych operacji arytmetycznych bez zbytniej komplikacji.

Takie funkcje wymagaj

ce korzystania z nawiasów mo

na wstawia

w polu tekstowym pry korzystaniu

z odpowiednich przycisków. Pami

ęć

dynamiczna pozwala przynajmniej teoretycznie na stosowanie

nieograniczonych poziomów nawiasów w wyra

eniach matematycznych. Przy dzisiejszych rozmiarach

pami

ci, nie ma

adnych ogranicze

w tym zakresie, np.:

lub przy korzystaniu z funkcji sinus:

- 9 -

Wszystkie zaimplementowane funkcje wyst

puj

ce w wi

kszo

ci kalkulatorów naukowych mo

znale

źć

wskazuj

c kursorem przycisk funkcyjny. Szczególnym przypadkiem jest obliczanie

pierwiastków innych ni

kwadratowe. Poni

sze dwa przykłady pokazuj

jak to mo

na w prosty sposób

wykona

korzystaj

c z funkcji pot

gowej y^x (np. do obliczenia pierwiastka 3-go i 4-go stopnia):

7. Funkcje definiowane przez u

ytkownika

Krotko mówi

c, funkcje te definiuj

jak mo

na obliczy

okre

lony wynik na podstawie pewnych

parametrów lub zmiennych. Takie zmienne mog

mie

własne nazwy, a fx-Calc mo

e zarz

dza

funkcjami definiowanymi korz6staj

ąć

z własnej, malej bazy danych. Program pozwala na korzystanie

do 5 zmiennych w tych funkcjach.
Ka

da nazwa zmiennej musi zaczyna

liter

i musi by

inna od nazwy wbudowanej funkcji, np.

takiej jak sin lub ln. Zmienne s

automatycznie wykrywane podczas ich wpisywania w polu tekstowym

przy czym jednocze

nie aktywowane s

odpowiednie pola (pod polem tekstowym) zgodne z nazwami

zmiennych.

Nale

y pami

e wszystkie funkcje definiowane zaczynaj

od f(, po czym nast

puje do

5 parametrów, przy czym ich separatorem jest przecinek, np w postaci f(a1,b2,c3,.... Na ko

znajduje si

nawias zamykaj

cy oraz znak równo

ci i wyra

enie z tymi parametrami, npi:

f(a1, b2, c3) = a1*b2*c3

Najłatwiej to zapami

na podstawie przykładów:

Wszystkie warto

ci zmiennych (w naszym przykładzie x1 i x2) mo

na zmienia

w celu obliczania

nowego wyniku funkcji.

- 10 -

da funkcja definiowana jest przechowywana bazie danych funkcji Function Database (otwieranej

po klikni

ciu przycisku

), co pozwala na ich wywoływanie przez podwójne klikni

cie wymaganej

funkcji

Inn

liwo

jest wywołanie historii polece

, po klikni

ciu przycisku Calculation History

NE :

Po podwójnym klikni

ciu zaznaczonej pozycji, zostanie ona natychmiast wstawiona do kalkulatora.

Odnosi si

to do wszystkich okienek baz danych.

7.1. Obliczanie przy korzystaniu z pami

Program fx-Calc obsługuje rozszerzon

manipulacj

aktualnej warto

ci w pami

ci za pomoc

czterech podstawowych operacji. Aktualna zawarto

ść

pami

ci jest wy

wietlana w dolnym prawym

rogu głównego okna Value in Memory.

Warto

ść

pocz

tkowa wynosi 0 i mo

na j

przede wszystkim zmienia

przyciskami

oraz

- 11 -

Przycisk

wywołuje zawarto

ść

pami

ci wstawia j

w polu edycji, a przycisk

oczyszcza

zawarto

ść

pami

ci nadaj

c jej warto

ść

Program fx-Calc wykonuje poni

sze obliczenia na pami

ci:

Dodaje wynik do pami

Odejmuje wynik z pami

Mno

y wynik w pami

Dzieli wynik w pami

8. Sumy i iloczyny

Sumy i iloczyny s

nieco bardziej zło

one ni

definiowane funkcje. W odró

nieniu od wyra

enia

funkcji, sumy i iloczyny wymagaj

punktu startowego oraz liczy iteracji. Chocia

samo sumowanie jest

proste, to punkt startowy = 0 nie zawsze jest poprawny dla iloczynu
nnym wa

nym aspektem jest obserwowanie jak zachowuje si

okre

lone wyra

enie i program musi

mie

znale

źć

koniec iteracji podany przez u

ytkownika. Mo

na to sprawdzi

ustawiaj

c liczb

iteracji

na 0 lub wciskaj

c przycisk

gdy chcemy zatrzyma

proces oblicze

. Najlepiej to ilustruj

poni

sze przykłady.

Aby zsumowa

wszystkie liczby od 0 do 100, wystarczy wprowadzi

poni

sze wyra

enie:

Poni

szy przykład ilustruje korzystanie z wyra

enia funkcyjnego:

- 12 -

Warto

ść

na ustawi

w odpowiednim polu zmiennej je

li nie jest aktywowane automatycznie Nawet

li n jest rozpoznawane i prezentowane w polu zmiennej, wszelkie warto

ci tego pola b

ignorowane i nadpisywane przez warto

ci z wyra

enia.

Wyra

enie S

;

100

(

)

(

))

zawiera poni

sze elementy:

•

S = suma (P = iloczyn)

•

Licznik n od 0

•

Licznik n do 100

•

Wyra

enie to korzysta z funkcji f

(

)

(

))

Jak wspomniano wcze

niej, obowi

zuje to równie

dla iloczynu za wyj

tkiem zmiany litery S na P.

Drugi parametr naszego przykładu jest ustawiony na 0, a program oblicza sum

lub iloczyn do chwili

klikni

cia przycisku

przez u

ytkownika (oczywi

cie, zatrzymanie nast

puje automatycznie po

zako

czeniu oblicze

Wszystkie cztery przyciski sumy i iloczynu znajduj

w lewym górnym rogu klawiatury kalkulatora.

Chocia

ten kalkulator wykonuje wszystkie obliczenia w trakcie wprowadzania danych, to jednak nie

ma to miejsca w przypadku sum i iloczynów. Powód jest oczywisty. Obliczenia wymagaj

iteracji.

Dlatego trzeba klikn

ąć

zielony przycisk

w celu uruchomienia oblicze

Poni

ej przytoczono przykład stosowania sumy do obliczania liczby

S(0;1000;f(n)=((-1)^n/4^n)(2/(4n+1)+2/(4n+2)+1/(4n+3)))

9. Inne operacje

Program fx-Calc pozwala na:

•

Wykre

lanie funkcji w 2D i 3D`

•

Rozwi

zywanie i analizowanie funkcji

•

Przeprowadzanie analizy regresji liniowej.

dy z tych modułów zaczyna si

wbudowanym przykładem, który ilustruje stosowane parametry

oraz składni

modułu.

Wszystkie przykłady mo

na łatwo zmienia

i stosowa

wg uznania.

- 13 -

ne wskazówki:

Wszystkie moduły zawieraj

metody sprawdzania wprowadzanych danych. Gdy wpis zawiera

niepoprawne dane, wowczas obliczenia zostan

przerwane i zasygnalizowany jest bł

d, który nale

skorygowa

Bł

dy sygnalizowane s

przez:

•

Czerwony kolor tekstu w polach edycji`

•

Tekst informuj

cy w osobnym polu pod polem edycji.

9.1. Analiza funkcji

Analiza funkcji

e by

czasochłonna, zwłaszcza przy bardziej zło

onych wyra

eniach.

Program oferuje mo

liwo

ść

ogl

dania wielu pierwiastków i ekstremów lokalnych w

zdefiniowanym przedziale. Obliczenia oparte s

na algorytmach numerycznych co ułatwia skanowanie

przedziałów i zmiany ich znaków lub pochodnych funkcji. Jest bardzo elastyczne i stabilne, ale ma
pewne ograniczenia. W szczególno

ci nale

y korzysta

z odpowiednich przedziałów i parametrów.

Ponadto mo

na korzysta

z wykresów funkcji w celu weryfikacji rozwi

Moduł analizy oblicza:

•

Pierwiastki funkcji

•

Ekstrema lokalne

•

Punkty przegi

cia

•

Interaktywn

iteracj

Newtona

•

Całki oznaczone

ne: Zakładka definicji funkcji Function mo

e by

stosowana równie

dla innych zakładek.

Tak wi

c gdy chcemy zmieni

funkcj

lub jej przedział, mo

na korzysta

z tej pierwszej zakładki.

Rozwi

zywanie równa

jest bardzo proste. Wystarczy wybra

zakładk

Solution, zmieni

warto

ść

docelow

i klikn

ąć

przycisk

- 14 -

Korzystaj

c z zakładki Function Plot, mo

na łatwo zweryfikowa

wszystkie wyniki na wykresie:

Na koniec, moduł ten pozwala w zakładce Integration na obliczanie całki oznaczonej funkcji.
Program umo

liwia jednoczesne otwieranie wielu instancji tego okna w celu porównywania ró

nych

scenariuszy

- 15 -

9.2. Obliczanie stycznych

Obliczanie stycznych do równa

w zakładce Tangent jest oparte na obliczeniach numerycznych

pierwszej pochodnej danej funkcji w okre

lonym punkcie x danych. Punkt startowy x jest zwykle

redni

z przedziału analizowanej funkcji i mo

e by

łatwo zmieniony przez ustawienie jego warto

w pierwszym polu tekstowym. Uzyskanie poprawnych wyników wymaga aby dana funkcja była
ró

niczkowalna w wybranym przedziale.

Program fx-Calc oblicza styczn

do równania za pomoc

przycisku

oferuje mo

liwo

ść

transferu

uzyskanego równania bezpo

rednio do okna kalkulatora. Na dole tego okna znajduje si

przycisk

pozwalaj

cy na wykonanie nast

pnej iteracji Newtona. Podczas tej operacji mo

obserwowa

jak styczna zbli

a si

do nast

pnego rozwi

zania danej funkcji. Zwykle proces tej jest

szybko zbie

ny i najcz

ęś

ciej wystarczy 5 kroków aby uzyska

wynik ko

cowy.

9.3. Wykresy funkcji 2D

Przycisk

w prawym górnym rogu kalkulatora otwiera okno wykresów dwuwymiarowych

2D Graphics z aktywn

zakładk

Ordinary Function pozwalaj

ce na wykre

lanie jednej lub kilka

zwykłych funkcji. Program mo

e wy

wietla

tabel

zawarto

ci i pole zawarto

ci edytora.

- 16 -

Korzystaj

c z pól zaznaczania na dole tego okna, mo

na wybiera

poni

sze opcje:

•

Wykres funkcji zawarty w polu edycji Plot function in editor field (opcja domy

lna)

•

Wykresy funkcji zawartych w tabeli Plot functions in table

•

Wykresy z edytora i z tabeli funkcji

Korzystaj

c z dolnych i górnych granic funkcji, mo

na wizualizowa

funkcje i istotnych ró

nicach. Inn

liwo

jest wykre

lanie funkcji parametrycznych, co pozwala na wizualizacj

okre

lonych

wła

ciwo

ci funkcji w zale

ci od wybranych parametrów. W celu zmiany funkcji lub jej opcji, klikn

ąć

funkcj

w dolnej tabeli. Zawarto

ść

górnego pola edycji automatycznie zmieni si

wietlaj

c klikni

funkcj

. Ka

da zmiana opcji, zmieni natychmiast odpowiedni pola tabeli. Tryb ten jest wskazywany

przez zmian

koloru tła i nagłówka pola edytora.

W celu opuszczenie tego trybu, wystarczy klikn

ąć

w pustym miejscu tabeli.

Inn

now

opcj

jest wykre

lanie funkcji przy korzystaniu z liczb zespolonych. W tym przypadku

program wykre

la dwa wykresy funkcji: jeden dla składowej rzeczywistej a drugi dla składowej

urojonej. Ponadto, mo

na wzbogaca

wykresy dodaj

c do nich wykresy pochodnych. Tak wi

obydwie linie mo

na wizualizowa

na jednym diagramie:

•

Kilka funkcji (pole edytora i tabela)

•

da z nich mo

e mie

poni

sze opcje:

Pochodna funkcji
Rozszerzenie zespolone (cz

ęść

urojona)

Drugi wynik pierwiastka kwadratowego

Stopnie lub radiany dla funkcji trygonometrycznych

•

W razie potrzeby, mo

na zmniejszy

zdefiniowane granice.

Przyciski radiowe na dole tego okna pozwalaj

na prezentacj

wykresów w postaci linii, punktów lub

wypełnie

kolorami.

Przycisk

wykre

la odpowieni wykres:

- 17 -

W celu wizualizacji funkcji parametrycznej, druga zakładka Parametric Function otwiera okienko
dialogowe pozwalaj

ce na definiowanie poni

szych wielko

ci:

•

Liczby wy

wietlanych funkcji

•

Warto

ci pocz

tkowej ka

dego parametru

•

Warto

ci ko

cowej ka

dego parametru

•

Kolorów

•

Przedziału

•

Warto

ci granicznych

Po klikni

ciu przycisku

uzyskujemy poni

szy diagram:

- 18 -

Na diagramie funkcji parametrycznej, program pozwala na wstawienie do 40 kroków parametrów na
jednym wykresie. Kursor graficzny umo

liwia ogl

danie współrz

dnych okre

lonych punktów. Program

fx-Calc pozwala na otwieranie wielu instancji wykresów parametrycznych w tym oknie w celu
porównywania ró

nych scenariuszy.

9.4. Wykresy funkcji 3D

Klikni

cie przycisku

w prawym górnym rogu kalkulatora otwiera okno 3D Function Plot

pozwalaj

ce na tworzenie wykresów powierzchni trójwymiarowych Z = f(x,y). Sterownik Open GL

pozwala na manipulacj

wykresów w czasie rzeczywistym przy korzystaniu z przyspieszanego

sprz

towo interfejsu graficznego komputera.

Program fx-Calc oferuje dwie metody definiowania obiektów 3D:

•

Definiowanie obiektów w postaci funkcji Z = f(x,y)

•

Definiowanie x, y, z jako wektorów za pomoc

współrz

dnych biegunowych r oraz phi (

Nie działa to w komputerach bez zainstalowanego sterownika Open GL.

- 19 -

Podobnie do wykresów 2D,m wykresy 3D oferuj

liwo

ść

ustawiania granic warto

ci Z Klikni

cie

zakładki OpenGL 3D pozwala na uzyskanie poni

szego wykresu funkcyjnego.

W oknie tym mo

na:

•

Obraca

cznie wykres 3D myszk

przy wci

tym jej lewym klawiszu

•

wietla

siatk

zamiast powierzchni gładkiej

•

Przybli

(powi

ksza

) i oddala

(pomniejsza

)

•

Uruchamia

automatyczne obracanie

W przypadku modelu biegunowego (zakładka 3D vector) otwiera si

poni

sze okno: deklarowania

ustawie

Natomiast klikni

cie zakładki OpenGL 3D wy

wietla odpowiadaj

cy wykres wektorowy:

- 20 -

Program fx-Calc pozwala na otwieranie wielu instancji wykresów w tym oknie w celu porównywania
ró

nych scenariuszy.

9.5. Regresja liniowa

W statystyce, prosta regresja liniowa jest estymacj

metod

najmniejszych kwadratów modelu regresji

liniowej o jednej zmiennej obja

niaj

cej. Inaczej mówi

c, prosta regresja liniowa dopasowuje lini

prost

do zestawu punktów w taki sposób, aby suma kwadratów reszt modelu (tzn. pionowych

odległo

ci mi

dzy punktami zestawu danych a dopasowan

lini

) była mo

liwie jak najmniejsza.

Po klikni

ciu przycisku

w prawym górnym rogu kalkulatora, otwiera si

okno analizy regresji

Regression zawieraj

ce dwie pary warto

ci danych x i y. Program oblicza funkcj

liniow

oraz tworzy

odpowiedni wykres.

Korzystaj

c z przycisku

na kopiowa

uzyskany wykres do schowka, a klikaj

c przycisk

na wklei

aktualn

funkcj

wynikow

do pola edycji kalkulatora w celu jej

wykorzystania w dalszych obliczeniach.

Program fx-Calc pozwala na otwieranie wielu instancji wykresów w tym oknie w celu porównywania
ró

nych scenariuszy.

- 21 -

10. Baza danych warto

ci stałych

Klikni

cie przycisku

z lewej strony klawiatury kalkulatora otwiera okno Scentific Constants

zawieraj

ce mał

baz

stałych naukowych. Podwójne klikni

cie dowolnej stałej kopiuje j

do pola

edycji kalkulatora i okno bazy danych zostaje zamkni

te.

W celu skopiowania stałej do kalkulatora mo

na równie

klikn

ąć

przycisk

Obliczenia i metody numeryczne

W celu wykonywania oblicze

, program fx-Calc musi interpretowa

wszystkie wej

cia. Realizuje si

za pomoc

specjalnie ładowanego programu, który przekształca wej

cia na szybszy kod wykonawczy.

Kod ten jest nast

pnie wykorzystywany w obliczeniach i w indywidualnych iteracjach.

Program fx-Calc korzysta tylko z metod numerycznych do rozwi

zywania równa

, całek oznaczonych

oraz do wyznaczania warto

ci ekstremalnych. Metody te s

dobrze znane i dostosowane specjalnie

dla fx-Calc. Zarówno interpreter jak i metody obliczeniowe s

składnikami tego programu.

Metody numeryczne

Do obliczania pierwiastków, rozwi

, całek oznaczonych i ekstremów, istniej

na ogół dwa sposoby.

Pierwszy z nich analizuje wyra

enie matematyczne (symboliczne), rozwi

zuje je oblicza. Tworzy to

najbardziej dokładne wyniki i zawiera reguły stosowane do wszystkich funkcji. Wad

tej metody jest

rosn

ca zło

ono

ść

przy zagnie

aniu funkcji i w wyra

eniach trudniejszych do analizy. Dotyczy to

zwłaszcza całek oznaczonych, ale pierwiastki równa

obliczane szybko. Program fx-Calc korzysta

najcz

ęś

ciej z tej metody do rozwi

zywania wi

kszo

ci zada

. W pozostałych przypadkach program

korzysta z metod numerycznych. Jednak i te metody maj

swoje zalety i wady.

Te ostatnie s

ej wymienione:

•

Konieczno

ść

zdefiniowania analizowanego przedziału (nic poza nim nie b

dzie wynikiem)

•

Okre

lona niedokładno

ść

(kryterium przerwania oblicze

w przypadku iteracji)

•

Pierwiastki wy

szych rz

dów nie s

definiowane jako takie.

Zalet

metod numerycznych jest ich uniwersalno

ść

. Tak wi

c s

one bardzo przydatne do

weryfikowania wyników na podstawie wykresów, które pozwalaj

natychmiast na porównywanie

wszystkich wyników.

- 22 -

Przykładowo, klikni

cie przycisku

w prawym górnym rogu głównego okna kalkulatora

otwiera okno analizy funkcji f(x) Analyse (patrz rozdział 9.1).
Klikni

cie w nim zakładki Function Plot otwiera okno aktualnego wykresu z wynikami analizy funkcji.

W odró

nieniu od weryfikacji wyników, wykres ten ilustruje zachowanie si

funkcji.

10.1. Obliczanie pierwiastków

Obliczanie pierwiastków równa

(w postaci f(x) = 0) jest bardziej zło

one ni

na s

dzi

pierwszy rzut oka. Niezale

nie od zmiany znaku, istniej

tutaj specjalne sytuacje:

•

Wierzchołki funkcji, które nie wykazuj

zmiany znaku

•

Funkcje o małym zakresie analizowanego przedziału

Przy poszukiwania pierwiastków, funkcja jest analizowana w celu wyznaczenia zakresu warto

ci oraz

opcjonalnie jest odpowiednio przekształcana. Program korzysta przy tym z metody zagnie

ania

przedziałów (metoda bisekcji), która sprawdza zmiany znak funkcji w przedziale.

- 23 -

Nast

pnie wyznaczane s

wierzchołki funkcji – równie

numerycznie. Jest to numeryczne szukanie

ró

nic. Odnajdywane s

przy tym pierwiastki. Metoda Newtona jest tutaj nieprzydatna, poniewa

nie

zawsze uzyskuje si

zbie

ść

li funkcje nie s

gle ró

niczkowalne.

10.2. Pierwiastki dla argumentów innych ni

Obliczanie pierwiastków ma równie

miejsce przy szukaniu rozwi

równania fx(x), nawet je

funkcja jest zdefiniowana jako:

0 = f(x) - stała

Jest ona analizowana pry korzystaniu z tej samej metody jak przy poszukiwaniu pierwiiastków

10.3. Warto

ci ekstremalne

Obliczanie ekstremów pozwala na szybkie sprawdzenie rozmieszczenia pierwiastków oraz na
stosowanie transformacji. Jednak tworzenie drugiej pochodnej ró

nic mo

e by

niestabilne i dlatego

pomija si

je przy obliczaniu pików drugiej pochodnej. To równie

tłumaczy dlaczego fx-Calc nie

oblicza punktów po

rednich. W ka

dym przypadku zmiana znaku pierwszej pochodnej odpowiada

realnym ekstremom.

10.4. Całki oznaczone

Całki oznaczone s

ęś

ciej przedmiotem metod numerycznych ni

warto

ci pierwiastków oraz

ekstremów, chocia

rzadko wyst

puj

w analizie funkcji f(x). W tym konkretnym przypadku, fx-Calc

korzysta z metody trapezów, która dzieli badany obszar na 1000 podprzedziałów z du

żą

precyzj

Przed ka

dym obliczaniem całki, fx-Calc analizuje funkcj

wyznaczaj

c jej pierwiastki oraz ekstrema.

Program korzysta z tych wyników do definiowania cz

stkowych zakresów całkowania w celu

uzyskania mo

liwie jak najwi

kszej dokładno

ci.

10.5. Punkty nieokre

lone

W celu obliczania nieokre

lono

ci funkcji gdy mianownik funkcji ułamkowej staje si

zerem, program

łamie funkcj

w mianowniku i w odpowiednich punktach. W takich przypadkach s

to punkty

nieokre

lone.

Istniej

pewne ograniczenia dokładno

ci przy obliczaniu tych punktów.

Program fx-Calc rozwi

zuje ten problem numerycznie gdy warto

ść

bezwzgl

dna mianownika jest

mniejsza od 1e-5. Inny przypadek nieokre

lono

ci ma miejsce przy trygonometrycznej funkcji tangens.

Program fx-Calc wyznacza ten punkt dla argumentu równego

ππππ

/2.

- 24 -

10.6. Punkty brakuj

ce, pierwiastki i ekstrema

Wszystkie wcze

niej opisane metody były testowane i dopasowane do najwi

kszej przydatno

ci.

Tym niemniej mog

wyst

pewne braki oczekiwanych wyników i dlatego warto je porównywa

oraz

sprawdza

korzystaj

c z wykresów. Wy

wietlaj

one wyniki uzyskiwane metodami numerycznymi dla

najlepiej ustawionych parametrów.

•

Pierwszym sposobem jest zwi

kszenie liczby podprzedziałów i wykonanie dokładnego

skanowania funkcji

•

liwo

ci te obejmuj

Ustawienie pełnego przedziału funkcji

Zmiana dokładno

ci parametrów.

Oczywi

cie, kombinacja wszystkich mo

liwo

ci zwi

ksza szanse powodzenia zgodnie z wybran

precyzj

. Dokładno

ść

odchyle

mniejsza od 1e-15 jest praktycznie bezu

yteczna nawet dla danych

podwójnej dokładno

ci.

Krytyczne przypadki s

funkcjami o bardzo małych lub bardzo du

ych zakresach:

•

|F(x)| < 1e-50

•

|F(x)| < 1e+100

Program optymalizuje te przypadki przez odpowiedni

transformacj

warto

ci funkcji Jednak nie

zawsze jest to skuteczne. Dokładne sprawdzanie wykresów pozwala na wykrywanie niezgodno

ci.

11. Od Autora

Przede wszystkim pochodz

z Niemiec i mam nadziej

e mój przekład jest wystarczaj

cy. Je

li nie,

prosz

o kontakt ze mn

Program fx-Calc mo

e by

bardzo silnym narz

dziem w wi

kszym stopniu do badania funkcji ni

algebry. Wi

kszo

ść

oblicze

statystycznych i algebraicznych jest zwykle cz

ęś

typowych arkuszy

kalkulacyjnych, np. takich jak Excel lub Open Office i dlatego nie implementowano szerzej tych
zagadnie

Moim drugim celem było utworzenie aplikacji mo

liwie jak najłatwiejszej w stosowaniu. Mam nadziej

e zostało to osi

gni

te.

Bardzo prosz

o nadsyłanie swoich uwag i propozycji, zwłaszcza w zakresie poprawy tej aplikacji

ycz

powodzenia przy korzystaniu z fx-Calc,

Hans Jörg ;-)

Author: Hans Jörg Schmidt, Fasanenweg 10, 99869 Drei Gleichen, Germany

Google+

E-mail:

info@fx-calc.de