Legalna ściąga egzamin Matematyka 2
MiBM; S-I
0
.inż.
17 czerwca 2014
+
Legalne ściąga na Egzamin
Uwaga: Zabrania się korzystania z innych materiałów (w tym tych z e-trapez.pl) jak
również dopisywania dodatkowych informacji. Ten materiał, jeżeli ktoś chce z niego
skorzystać, należy wydrukować samodzielnie oraz zszyć.
Trygonometria
ϕ
0
π
6
π
4
π
3
π
2
sin ϕ
0
1
2
√
2
2
√
3
2
1
cos ϕ
1
√
3
2
√
2
2
1
2
0
ϕ
I ćw.
II ćw.
III ćw.
IV ćw.
sin ϕ
+
+
−
−
cos ϕ
+
−
−
+
tg ϕ
+
−
+
−
ctg ϕ
+
−
+
−
ϕ
π
2
− α
π
2
+ α
π − α
π + α
3π
2
− α
3π
2
+ α
2π − α
sin ϕ
cos α
cos α
sin α
− sin α
− cos α
− cos α
− sin α
cos ϕ
sin α
− sin α
− cos α
− cos α
− sin α
sin α
cos α
tg ϕ
ctg α
− ctg α
− tg α
tg α
ctg α
− ctg α
− tg α
cos ϕ
tg α
− tg α
− ctg α
ctg α
tg α
− tg α
− ctg α
Pochodne funkcji jednej zmiennej i wielu zmiennych
Lp.
Wzór 1
Wzór 2
Uwagi
1.
(c)
0
= 0
c ∈ R
2.
(x
α
)
0
= αx
α−1
(
α
)
0
= α
α−1
·
0
α ∈ R \ {0}
3.
(
n
√
x)
0
=
1
n
n
√
x
n−1
n
√
0
=
0
n
n
√
n−1
n ∈ N \ {0, 1}; x > 0
4.
(sin x)
0
= cos x
(sin )
0
= (cos ) ·
0
5.
(cos x)
0
= − sin x
(cos )
0
= (− sin ) ·
0
6.
(tan x)
0
=
1
cos
2
x
(tan )
0
=
0
cos
2
x 6=
π
2
+ kπ, k ∈ N
7.
(cot x)
0
= −
1
sin
2
x
(cot )
0
= −
0
sin
2
x 6= kπ, k ∈ N
8.
(a
x
)
0
= a
x
· ln a
(a
)
0
= a
· ln a ·
0
a > 0
9.
(e
x
)
0
= e
x
(e
)
0
= e
·
0
10.
(ln x)
0
=
1
x
(ln )
0
=
0
x > 0
11.
(log
a
x)
0
=
1
x ln a
(log
a
)
0
=
0
ln a
a > 0, a 6= 0; x > 0
12.
(arcsin x)
0
=
1
√
1−x
2
(arcsin )
0
=
0
√
1−
2
|x| < 1
13.
(arccos x)
0
=
−1
√
1−x
2
(arccos )
0
=
−
0
√
1−
2
|x| < 1
14.
(arctan x)
0
=
1
1+x
2
(arctan )
0
=
0
1+
2
15.
(arc ctg x)’=
−1
1+x
2
(arc ctg
)
0
=
−
0
1+
2
Wzór Taylora z resztą Lagrange’a:
f (x) = f (x
0
) +
f
0
(x
0
)
1!
(x − x
0
) +
f
00
(x
0
)
2!
(x − x
0
)
2
+ . . . +
f
(n−1)
(x
0
)
(n−1)!
(x − x
0
)
n−1
+
f
(n)
(c
n
)
n!
(x − x
0
)
n
, gdzie
x
0
< c
n
< x gdy x > x
0
lub x < c
n
< x
0
gdy x < x
0
.
Wzóry na przybliżone wartości:
a) f (x) ≈ f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
).
b) f (x, y) ≈ f (x
0
, y
0
) +
∂f
∂x
(x
0
, y
0
)(x − x
0
) +
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)(y − y
0
).
Równanie stycznej do wykresu funkcji: y − y
0
= f
0
(x
0
)(x − x
0
).
1
Legalna ściąga egzamin Matematyka 2
MiBM; S-I
0
.inż.
17 czerwca 2014
Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji
∂f
∂x
(x
0
, y
0
)(x − x
0
) +
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)(y − y
0
) − z − z
0
= 0.
(1)
Kąt przecięcia dwóch funkcji : φ = arctan
f
0
(x
0
)−g
0
(x
0
)
1+f
0
(x
0
)·g
0
(x
0
)
.
W przypadku gdy 1 + f
0
(x
0
) · g
0
(x
0
) = 0 to funkcje te są prostopadłe.
Szacowania błędów pomiarów:∆z ≤
∂f
∂x
· |x − x
0
| +
∂f
∂y
· |y − y
0
| +
∂f
∂z
· |w − w
0
|.
Gradient: gradf (x
0
, y
0
)
def
=
h
∂f
∂x
(x
0
, y
0
),
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)
i
.
Pochodna kierunkowa:
∂f
∂~
v
(x
0
, y
0
) = gradf (x
0
, y
0
) ◦ ~
v =
∂f
∂x
(x
0
, y
0
)v
1
+
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)v
2
.
lub
∂f
∂~
v
(x
0
, y
0
) =
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) cos α +
∂f
∂y
(x
0
, y
0
) cos β =
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) cos α +
∂f
∂y
(x
0
, y
0
) sin α,
Ekstrema funkcji dwóch zmiennych: Niech
∆
2
=
∂
2
f
∂x
2
(x
0
, y
0
)
∂
2
f
∂x∂y
(x
0
, y
0
)
∂
2
f
∂y∂x
(x
0
, y
0
)
∂
2
f
∂y
2
(x
0
, y
0
)
oraz
∆
1
=
∂
2
f
∂x
2
(x
0
, y
0
).
Wówczas:
a) jeśli ∆
2
> 0 oraz ∆
1
> 0, to w punkcie (x
0
, y
0
) funkcja f ma właściwe minimum lokalne;
b) jeśli ∆
2
> 0 oraz ∆
1
< 0, to w punkcie (x
0
, y
0
) funkcja f ma właściwe maksimum lokalne;
c) jeżeli ∆
2
< 0, to w punkcie(x
0
, y
0
) funkcja f nie ma ekstremum lokalnego.
Elementy teorii pola wektorowego
Dywergencja pola wektorowego ~
W (P, Q, R) : div ~
W = ∇ ◦ ~
W =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
.
Rotacja pola wektorowego ~
W (P, Q, R) :
rot ~
W = ∇ × ~
W =
~i
~j
~k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P
Q
R
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
~i +
∂P
∂z
−
∂R
∂x
~j +
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
~k.
Laplasjan funkcji skalarnej F : 4F =
∂
2
F
∂x
2
+
∂
2
F
∂y
2
+
∂
2
F
∂z
2
.
2
Legalna ściąga egzamin Matematyka 2
MiBM; S-I
0
.inż.
17 czerwca 2014
Całka nieoznaczona
Lp.
Wzór
Uwagi
1.
R dx = x + c
2.
R adx = ax + c
3.
R x
α
dx =
1
α+1
x
α+1
+ c
α ∈ R \ {−1}
4.
R sin xdx = − cos x + c
5.
R cos xdx = sin x + c
6.
R tg xdx = − ln | cos x| + c
x 6=
π
2
+ kπ, k ∈ N
7.
R ctg xdx = ln | sin x| + c
x 6= kπ, k ∈ N
8.
R sinh xdx = cosh x + c
9.
R cosh xdx = sinh x + c
10.
R
1
cosh
2
x
dx = tgh x + c
11.
R
1
sinh
2
x
dx = − ctgh x + c
12.
R a
x
dx =
1
ln a
a
x
+ c
a > 0
13.
R e
x
dx = e
x
+ c
14.
R
1
x
dx = ln |x| + c
x 6= 0
15.
R
1
cos
2
x
dx = tg x + c
x 6=
π
2
+ kπ, k ∈ N
16.
R
1
sin
2
x
dx = −ctg x + c
x 6= kπ, k ∈ N
17.
R
1
√
a
2
−x
2
dx = arcsin
x
a
+ c
a 6= 0
18.
R
1
a
2
+x
2
dx =
1
a
arctg
x
a
+ c
a 6= 0
19.
R
1
√
x
2
+a
dx = ln
x +
√
x
2
+ a
+ c
a ∈ R
20.
R
1
a
2
−x
2
dx =
1
2a
ln
a+x
a−x
+ c
a > 0, |x| 6= a
21.
R
f
0
(x)
f (x)
dx = ln |f (x)| + c
22.
R
1
ax+b
dx =
1
a
ln |ax + b| + c
23.
R cos
n
xdx =
1
n
sin x cos
n−1
x +
n−1
n
R cos
n−2
xdx
n ≥ 2
24.
R sin
n
xdx = −
1
n
cos x sin
n−1
x +
n−1
n
R sin
n−2
xdx
n ≥ 2
25.
R
√
x
2
+ adx =
1
2
x
√
x
2
+ a +
a
2
ln |x +
√
x
2
+ a| + c
26.
R
dx
(x
2
+1)
n
=
1
2n−2
x
(1+x
2
)
n−1
+
2n−3
2n−2
R
1
(1+x
2
)
n−1
dx
n ≥ 2
27.
R
√
a
2
− x
2
dx =
a
2
2
arcsin
x
|a|
+
x
2
√
a
2
− x
2
+ c
Całkowanie przez części:
R f (x)g
0
(x)dx = f (x)g(x) −
R f
0
(x)g(x)dx.
Całkowanie pewnych całek niewymiernych:
1. Jeżeli funkcja podcałkowa jest iloczynem funkcji wymiernej oraz pewnej ilości potęg postaci
(ax+b)
n1
m1
, (ax+b)
n2
m2
, . . . lub
ax+b
cx+d
n1
m1
,
ax+b
cx+d
n2
m2
, . . . gdzie n
i
, m
i
∈ N są względnie pierwsze
to stosujemy odpowiednio podstawienia
M
√
ax + b = t lub
M
r
ax + b
cx + d
= t
(2)
3
Legalna ściąga egzamin Matematyka 2
MiBM; S-I
0
.inż.
17 czerwca 2014
gdzie M to najmniejsza wspólna wielokrotność m
1
, m
2
, . . .
2a. Całkę postaci
R
dx
√
ax
2
+bx+c
sprowadzamy do
R
dx
√
a(x−p)
2
+q
i podstawiamy x − p =
q
1
|a|
t.
2b. Całkę postaci
R
√
ax
2
+ bx + cdx sprowadzamy do
R pa(x − p)
2
+ qdx i podstawiamy x−p =
q
1
|a|
t, a następnie stosujemy wzory(wymiennie)
Z
√
x
2
+ adx =
1
2
x
√
x
2
+ a +
a
2
ln |x +
√
x
2
+ a| + c;
lub
Z
√
a
2
− x
2
dx =
a
2
2
arcsin
x
|a|
+
x
2
√
a
2
− x
2
+ c.
3. Całkę postaci
R
W
n
(x)
√
ax
2
+bx+c
dx przedstawiamy jako:
Z
W
n
(x)
√
ax
2
+ bx + c
dx = (A
n−1
x
n−1
+ . . . A
1
x + A
0
)
√
ax
2
+ bx + c + B
Z
dx
√
ax
2
+ bx + c
,
w celu wyliczenia A
n−1
, . . . , A
1
, A
0
, B obustronnie różniczkujemy, mnożymy przez
√
ax
2
+ bx + c
i otrzymujemy równanie wielomianowe.
4. Całkę postaci
R P (x)
√
ax
2
+ bx + cdx poprzez pomnożeni i podzielenie funkcji podcałkowej
przez
√
ax
2
+ bx + c przekształcamy do postaci
R
(ax
2
+bx+c)P (x)
√
ax
2
+bx+c
dx.
c) Całkowanie pewnych wyrażeń trygonometrycznych:
1. Całkę
R W (sin x, cos x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg
x
2
. Wówczas mamy:
dx =
2
1 + t
2
dt,
sin x =
2t
1 + t
2
,
cos x =
1 − t
2
1 + t
2
.
2. Całkę
R W (sin
2
x, cos
2
x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg x. Wówczas mamy:
dx =
1
1 + t
2
dt,
sin
2
x =
t
2
1 + t
2
,
cos
2
x =
1
1 + t
2
.
3. Całkę postaci
R sin
m
x cos
n
xdx, n, m ∈ N liczmy:
a) gdy m, n są parzyste jak podpunkcie 2;
b) gdy m jest nieparzyste, przez podstawienie t = cos x,
c) gdy n jest nieparzyste, przez podstawienie t = sin x.
4. Całki postaci
R sin ax sin bxdx, R cos ax cos bxdx, R sin ax cos bx obliczmy korzystając ze wzo-
rów:
sin x sin y =
1
2
[cos(x − y) − cos(x + y)],
cos x cos y =
1
2
[cos(x − y) + cos(x + y)],
sin x cos y =
1
2
[sin(x − y) + sin(x + y)].
Inne przydatne wzory trygonometryczne:
cos
2
x =
1+cos 2x
2
,
sin
2
x =
1−cos 2x
2
,
cos 2x = cos
2
x − sin
2
x,
sin 2x = 2 sin x cos x.
4
Legalna ściąga egzamin Matematyka 2
MiBM; S-I
0
.inż.
17 czerwca 2014
Całka oznaczona
Uwaga: wzory na pole ograniczone krzywymi należy pamiętać!!!
Długość krzywej: |Γ| =
b
R
a
p1 + (f
0
(x))
2
dx.
Objętość brył obrotowych:
a) obrotu wokół osi Ox : V = π
b
R
a
f
2
(x)dx,
b) obrotu wokół osi Oy : V = 2π
b
R
a
xf (x)dx.
Całka niewłaściwa
Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju:
a)
∞
R
a
f (x)dx := lim
B→∞
B
R
a
f (x)dx.
b)
b
R
−∞
f (x)dx := lim
A→−∞
b
R
A
f (x)dx.
Całka niewłaściwa drugiego rodzaju:
a) Niech funkcja f określona na przedziale (a, b] oraz niech funkcja będzie nieograniczona na pra-
wostronnym sąsiedztwie punktu a :
b
R
a
f (x)dx := lim
t→a
+
b
R
t
f (x)dx.
b) Niech funkcja f określona na przedziale (a, b] oraz niech funkcja będzie nieograniczona na lewo-
stronnym sąsiedztwie punktu b :
b
R
a
f (x)dx := lim
t→b
−
t
R
a
f (x)dx.
Równania różniczkowe
a) Rozwiązanie równania jednorodnego y
00
+ ay
0
+ by = 0
Niech ∆ = a
2
− 4b będzie wyróżnikiem równania charakterystycznego
λ
2
+ aλ + b = 0
(3)
Jeżeli
1. jeżeli ∆ > 0, to równanie (3) posiada dwa pierwiastki rzeczywiste λ
1
, λ
2
i wówczas y
0
(x) jest
postaci:
y
0
(x) = c
1
e
λ
1
x
+ c
2
e
λ
2
x
;
(4)
2. jeżeli ∆ = 0, to równanie (3) posiada jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty λ i wówczas
y
0
(x) jest postaci:
y
0
(x) = (c
1
x + c
2
)e
λx
;
(5)
3. jeżeli ∆ < 0, to równanie (3) posiada dwa pierwiastki zespolone (sprzężone ) λ
1
= α + βi,
λ
2
= α − βi, wówczas y
0
(x) jest postaci:
y
0
(x) = c
1
e
λ
1
x
+ c
2
e
λ
2
x
co na mocy wzoru e
(α±βi)x
= e
αx
(cos βx ± i sin βx) sprowadzamy do:
y
0
(x) = e
αx
(c
1
cos βx + c
2
sin βx).
(6)
5
Legalna ściąga egzamin Matematyka 2
MiBM; S-I
0
.inż.
17 czerwca 2014
b) Rozwiązanie równania niejednorodnego y
00
+ay
0
+by = f (x) (metoda przewidywań)
Niech λ
1
, λ
2
będą pierwiastkami równania charakterystycznego λ
2
+ aλ + b = 0 oraz µ = α ± βi,
gdzie α, β ∈ R. Wówczas rozwiązania
e
y(x), w zależności od przypadku, poszukujemy zgodnie z
tabelą
Lp.
postać funkcji f (x)
przewidywanie
e
y(x)
postać funkcji
e
y(x)
warunek
1.
P
n
(x)
Q
n
(x)
λ
1
6= 0, λ
2
6= 0
x · Q
n
(x)
λ
1
= 0 lub λ
2
= 0
x
2
· Q
n
(x)
λ
1
= λ
2
= 0
2.
Ae
αx
Be
αx
λ
1
6= α, λ
2
6= α
x · Be
αx
λ
1
= α lub λ
2
= α
x
2
· Be
αx
λ
1
= λ
2
= α
3.
e
αx
P
n
(x)
e
αx
Q
n
(x)
λ
1
6= α, λ
2
6= α
x · e
αx
Q
n
(x)
λ
1
= α lub λ
2
= α
x
2
· e
αx
Q
n
(x)
λ
1
= λ
2
= α
4.
A cos βx + B sin βx
C cos βx + D sin βx
λ
1,2
6= ±βi
x · (C cos βx + D sin βx)
λ
1,2
= ±βi
5.
e
αx
[A cos βx + B sin βx]
e
αx
[C cos βx + D sin βx]
λ
1,2
6= α ± βi
x · e
αx
[C cos βx + D sin βx]
λ
1,2
= α ± βi
gdzie l = max{n, m}.
Całka podwójna
Całki iterowane:
a) dla prostokąta
RR
[a,b]×[c,d]
f (x, y)dxdy =
b
R
a
d
R
c
f (x, y)dy
dx =
d
R
c
b
R
a
f (x, y)dx
dy.
b) dla obszaru D normalnego względem osi Ox, tzn. jeżeli
D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(x)}
mamy:
RR
D
f (x, y)dxdy =
b
R
a
h(x)
R
g(x)
f (x, y)dy
!
dx;
c) dla obszaru D normalnego względem osi Oy, tzn. jeżeli
D = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, p(y) ≤ x ≤ q(y)}
mamy:
RR
D
f (x, y)dxdy =
d
R
c
q(y)
R
p(y)
f (x, y)dx
!
dy.
6
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
egz jakas sciaga na egzamin id Nieznany
sciaga ZAGADNIENIA NA EGZAMIN Z Nieznany
ŚCIĄGA NA EGZAMIN rozród
sciaga na egzamin. z fizy, PWR, Chemia, Fizyka II, Egzamin
etr2 sciaga na egzamin koziola, Mechatronika, 2 Rok
DMK Ściąga na egzamin
sciaga na egzamin
!!!Ściąga na egzamin Starosta!!! 7FES4X73YD5BCFEM3LSA23PTZXHXYHFFEGJGVQI
ściąga na egzamin
ściąga na egzamin z tłuszczów
jakaś ściąga na egzamin, Surowce nieorganiczne
ściąga na egzamin z genetyki, Rolnictwo, Genetyka
sciaga na egzamin gleba
Ściąga na egzamin z zabezpieczeń
ściągi i egzaminy, ściąga na egzamin, 1
więcej podobnych podstron